第1章 三角形的初步知识 章节（24知识点回顾+38题型巩固）（讲义）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备考系列（浙教版2024）

第1章 三角形的初步知识 章节（24知识点回顾+38题型巩固） 目录 知识梳理 1. 三角形的有关概念 2 .三角形的分类 3. 三角形的内角和 4. 三角形的三边关系 5. 三角形的角平分线、中线与高线 6. 定义 7. 命题的定义与结构 8. 命题的分类 9. 基本事实与定理 10. 证明的定义 11. 三角形的外角 12. 三角形的内角和定理的推论 13. 证明几何命题的一般格式 14. 全等图形 15. 全等三角形的有关概念 16. 全等三角形的性质 17. 两个三角形全等的基本事实：边边边 18. 三角形的稳定性 19. 两个三角形全等的基本事实：边角边 20. 两个三角形全等的基本事实：角边角 21. 两个三角形全等的判定定理：角角边 22. 线段的垂直平分线 23. 角平分线的性质 24. 作已知角的平分线 题型巩固 一、三角形的识别与有关概念 二、三角形的个数问题 三、与平行线有关的三角形内角和问题 四、与角平分线有关的三角形内角和问题 五、三角形折叠中的角度问题 六、三角形内角和定理的应用 七、三角形的分类 八、构成三角形的条件 九、确定第三边的取值范围 十、三角形三边关系的应用 十一、三角形角平分线的定义 十二、根据三角形中线求面积 十三、画三角形的高 十四、与三角形的高有关的计算问题 十五、判断是否是命题 十六、写出命题的题设与结论 十七、判断命题真假 十八、举例说明假（真）命题 十九、定理与证明 二十、以代数为背景的推理与论证 二十一、逻辑推理与论证 二十二、三角形的外角的定义及性质 二十三、图形的全等 二十四、全等三角形的性质 二十五、用SSS证明三角形全等 二十六、用SAS证明三角形全等 二十七、全等的性质和SAS综合 二十八、用ASA（AAS）证明三角形全等 二十九、全等的性质和ASA（AAS）综合 三十、利用全等图形求正方形网格中角度之和 三十一、添加条件使三角形全等 三十二、倍长中线模型 三十三、线段垂直平分线的性质 三十四、作已知线段的垂直平分线 三十五、作垂线(尺规作图) 三十六、角平分线的性质定理 三十七、角平分线性质的实际应用 三十八、作角平分线(尺规作图) 知识梳理 知识点1. 三角形的有关概念 1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2.三角形的基本要素： （1）边、组成三角形的线段.（2）顶点、三角形中相邻两边的公共端点.（3）内角、在三角形的内部，由相邻两边组成的角. 3.三角形的表示方法：“三角形”用符号“ △ ”表示，顶点是 A ，B ， C的三角形，记做“ △ABC”，读做“三角形 ABC ”. 知识点2 .三角形的分类 三角形可以按内角的大小进行分类： 知识点3. 三角形的内角和 三角形三个内角的和等于180∘. 注意 在任意一个三角形中，最多有一个钝角或直角，最多有三个锐角，最少有两个锐角. 知识点4. 三角形的三边关系 重点 三角形的三边关系 1、 图形 2、文字语言、三角形任何两边的和大于第三边. 3、数学语言、a+b>c ， a+c>b ， c+b>a . 4、理论依据、两点之间线段最短. 知识点5. 三角形的角平分线、中线与高线 重点 1.三角形的角平分线 （1）定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.如图 符号语言：∵线段AD是△ABC的一条角平分线，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC或 ∠BAC=2∠BAD=2∠CAD . 注意 三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线. （2）作法：①用量角器；②尺规作图（后面会学习）. （3）三角形的角平分线的位置：三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点（称为内心）. 2.三角形的中线 （1）定义：连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段，叫做三角形的中线. 如图 符号语言：∵线段 AD 是△ABC的BC边上的中线， ∴BD=DC=BC或 BC=2BD=2DC . （2） 作法：①通过度量找中点；②尺规作图（后面会学习）. （3）三角形的中线的位置：三角形的三条中线都在三角形的内部，并且三条中线交于三角形内一点（称为重心）. 知识点6. 定义 一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义. →定义必须是严密的，尽量避免使用含糊不清的词语，如“一些”“大概”“差不多”等词语 知识点7. 命题的定义与结构 （重点） 内容 举例 注意 定义 一般地，判断某一件事情的句子叫做命题. 对顶角相等. 命题一定是陈述句，是对某件事情作出肯定或否定的判断的句子. 结构 命题一般由条件和结论两部分组成. “对顶角相等”中的条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”. 条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项. 改写成“如果 …… 那么 …… ”的形式 “如果”开始的部分是条件，“那么”后面的部分是结论. “对顶角相等”可改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”. 不能改变原来的意思. 知识点8. 命题的分类 （重点） 分类 举例 判断 真命题 正确的命题称为真命题. 对顶角相等. 要判定一个命题是真命题，常常通过推理的方式，即根据已知事实来推断未知事实；也有一些命题是人们经过长期实践，公认为正确的. 假命题 不正确的命题称为假命题. 相等的角是对顶角. 要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的 方法.命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题 的结论的实例. 知识点9. 基本事实与定理 1.基本事实：挑选一部分人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，这些命题称为基本事实.例如：“两点之间线段最短”，“两点确定一条直线”，“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”等. 2.定理 （1）定义：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理.例如“对顶角相等”，“三角形任何两边的和大于第三边”，“两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行”等. →定理是真命题，但真命题不一定是定理,定理需要经过推理论证 （2）作用：可以作为判断其他命题真假的依据. 知识点10. 证明的定义 1.定义：从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论的成立，这样的推理过程叫做证明. 2.证明的格式： 证明的基本格式：因为 ……，所以 …… 或 ∵…… ， ∴……. 注意 ∵（因为）后面是已知条件，已证，定义、定理、基本事实，∴（所以）后面是由已知条件推出的结果. 知识点11. 三角形的外角 1.三角形的外角的定义：三角形的外角是由三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角.如图所示， ∠ACD 就是△ABC的外角. （1）一个三角形的每个顶点处有两个外角，这两个外角是对顶角； （2）三角形的外角和与它相邻的内角互补 2.外角的特征：（1）顶点是三角形的顶点； （2）一条边是三角形内角的一边； （3）另一条边是该内角另一边的反向延长线. 知识点12. 三角形的内角和定理的推论 （重点） 由三角形的内角和定理直接推理可得到一个推论.推论也可以作为推理的依据. 内容 集合语言 图示 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 如图所示， ∵∠1 是 △ABC 的一个外角（已知）， ∴∠1=∠2+∠3 （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）. 知识点13. 证明几何命题的一般格式 （难点） 1.证明的一般顺序和格式： 有些几何命题已经包括了相应的图形、已知及求证，那么直接写出证明的推理过程即可 （1）按题意画出图形；→标上必要的字母 （2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；→用字母、符号表示命题的条件和结论 （3）在“证明”中写出推理过程. 2.辅助线：在解决几何问题时，有时需要添加辅助线.添辅助线的过程要写入证明中. 辅助线通常画成虚线 知识点14. 全等图形 1.定义：能够重合的两个图形称为全等图形. 注意 两个图形是否为全等图形与图形的位置无关，唯一的标准是能够完全重合. 2.特点：全等图形的形状和大小都相同. 知识点15. 全等三角形的有关概念 （重点） 1.全等三角形的概念及表示方法 定义 能够重合的两个三角形叫做全等三角形. 对应元素 对应顶点 两个三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点. A 和 A′ , B 和 B′ , C 和 C′ . 对应元素 对应边 两个三角形重合时，互相重合的边叫做全等三角形的对应边. BC 和 B′C′ ， CA 和 C′A′ ， AB 和 A′B′ . 对应角 两个三角形重合时，互相重合的角叫做全等三角形的对应角. ∠A 和 ∠A′ ， ∠B 和 ∠B′ ， ∠C 和 ∠C′ . 表示方法 “全等”可用符号“ ≅ ”来表示，读作“全等于”. △ABC 与 △A′B′C′ 全等，记做“ △ABC≅A′B′C′ ”，读做“三角形 ABC 全等于三角形 A′B′C′ ”. 注意 用符号“ ≅ ”表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上. 2.确定全等三角形对应元素的方法： （1）图形特征法： ①最长边对最长边，最短边对最短边. ②最大角对最大角，最小角对最小角. （2）位置关系法： ①公共角（对顶角）为对应角，公共边为对应边. ②对应角的对边为对应边，两个对应角所夹的边是对应边. ③对应边的对角为对应角，两条对应边所夹的角是对应角. （3）字母顺序法： 根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角. ↓举例 (△ABC≅△DEF): 3.三种常见的全等类型： （1）平移型 （2）翻折型 （3）旋转型 知识点16. 全等三角形的性质 （重点） 1.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2.几何语言：如图. ∵△ABC≅△DEF ， ∴AB=DE ， AC=DF ， BC=EF（全等三角形的对应边相等）， ∠A=∠D， ∠B=∠E ， ∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）. 注意 在运用全等三角形的这个性质时，关键是要结合图形或根据几何语言中字母的对应位置，正确地找到对应边或对应角. 全等三角形的其他性质 全等三角形的对应边上的高线、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等，但周长（或面积）相等的两个三角形不一定全等. 利用全等三角形的性质求角的度数的方法 先利用全等三角形的性质确定两个三角形中角的对应关系，再由这种关系实现已知角与未知角之间的转换，从而求出所要求的角的度数. 知识点17. 两个三角形全等的基本事实：边边边（SSS） 重点 1.基本事实：三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“ SSS ”）. 2.几何语言： 如图，在 △ABC 和 △A′B′C′ 中， 知识点18. 三角形的稳定性 当三角形的三条边长确定时，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫做三角形的稳定性. 稳定性是三角形特有的性质，其他多边形不具备稳定性.该性质在生产和日常生活中有广泛的应用，如房屋的人字架、大桥的钢梁、起重机的支架等. 知识点19. 两个三角形全等的基本事实：边角边（SAS） 重点 1.基本事实：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“ SAS” ）. 注意 应用“边角边”时必须满足相等的角是对应相等的两边的夹角，即“两边夹一角” ，不可出现“边边角”的错误. “ SSA ”不能判定两个三角形全等.如图，在 △ABC 和 △ADC 中， AC=AC ， CB=CD ， ∠CAD=∠CAB ，但 △ABC与 △ADC不全等 2.几何语言： 如图，在 △ABC 和 △A′B′C′ 中， 要按照“边—角—边”的顺序来写，即把夹角相等写在中间，以突出两边及其夹角对应相等 ∴△ABC≅△A′B′C′(SAS). 知识点20. 两个三角形全等的基本事实：角边角（ASA） 重点 1.基本事实：两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ ASA ” ）. 2.几何语言： 如图，在 △ABC和 △A′B′C′中， 在书写两个三角形全等的条件“角边角”时，要按照“角—边—角”的顺序来写，即把夹边相等写在中间，以突出两角及其夹边对应相等 ∴△ABC≅△A′B′C′(ASA). 知识点21. 两个三角形全等的判定定理：角角边（AAS） 重点 1.判定定理：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“ AAS ”）. 两角和一边分别相等的两个三角形不一定全等，不要忽略“对应”关系. 如图所示，在 △ADE和 △ABC中， ∠A=∠A，∠ADE=∠ABC ， AD=BC，但△ADE与 △ABC不全等 注意 由“ ASA ”和“ AAS ”可知，如果两个三角形具备两个角和一条边对应相等，就可判定其全等. 可以是夹边也可以是对边 2.几何语言： 如图，在 △ABC和 △A′B′C′中， 辨析 “ ASA ”与“ AAS ”的区别与联系 “ S ”的意义 书写格式 联系 ASA “ S ”是两角的夹边. 把夹边相等写在两角相等的中间. 由三角形的内角和定理可知，“ AAS ”可由“ ASA ”推导得出. AAS “ S ”是其中一角的对边. 把两角相等写在一起，边相等放在最后. 如果可以用“角边角”判定两个三角形全等，那么也可以转化为用“角角边”判定两个三角形全等，反之亦然 3. 三角形全等的条件的灵活选用 已知条件 作出图形 是否全等 形成结论 三条边 是 SSS 两边一角 两边夹角 是 SAS 两边对角 否 两角一边 两角夹边 是 ASA 两角对边 是 AAS 三个角 否 无 知识点22. 线段的垂直平分线 （重点） 1.线段的垂直平分线：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线. 线段的垂直平分线必须满足两个条件：①经过这条线段的中点；②垂直于这条线段 几何语言：如图所示，∵直线 ⊥AB于点 D ，且 AD=BD ， ∴直线 就是线段 AB 的垂直平分线. 拓展 三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等. 2.线段的垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 垂直平分线上的任意一点 几何语言：如图所示， ∵CD⊥AB ， OA=OB，点 P是直线 CD 上任意一点， ∴PA=PB. 知识点23. 角平分线的性质 （重点） 1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 2.几何语言：如图所示， ∵OC 是 ∠AOB的平分线， P是 OC 上一点， PD⊥OA， PE⊥OB ，垂足分别为 D， E ， ∴PD=PE. 注意 利用角平分线的性质定理证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段” ，如图（1）所示，而不是“垂直于角平分线的线段”，如图（2）所示. 知识点24. 作已知角的平分线 已知 ∠BAC （如图所示），用直尺和圆规作 ∠BAC的平分线 AD . 作法 以点 A 为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于 E , F 两点. 分别以 E ， F 为圆心，大于 EF 长为半径作圆弧，两条圆弧交于 ∠BAC 内一点 D . 过点 A ， D 作射线 AD .射线 AD 就是所求作的 ∠BAC 的平分线. 示范 原理 连结 DF ， DE .由作法可得 AF=AE ， DF=DE ，又 ∵AD=AD ， ∴△ADF≅△ADE(SSS) ,∴∠FAD=∠EAD ，即 AD 平分 ∠BAC . 注意 要以大于 EF 长为半径作圆弧，因为以小于 EF 长为半径作圆弧时，两圆弧没有交点，以等于 EF 长为半径作圆弧不易操作. 题型巩固 题型一、三角形的识别与有关概念 1．下面各项都是由三条线段组成的图形，其中属于三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 题型二、三角形的个数问题 2．如图中三角形的个数共有 个． 【答案】6 【知识点】三角形的个数问题 【分析】根据三角形的定义进行求解即可． 【详解】解：由题意得，图中的三角形有， ∴一共有6个三角形， 故答案为；6． 【点睛】本题主要考查了三角形的个数，熟知三角形的定义是解题的关键． 题型三、与平行线有关的三角形内角和问题 3．如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查三角形内角和及平行线的性质，熟练掌握三角形内角和及平行线的性质是解题的关键；如图，由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∴， ∴； 故选D． 题型四、与角平分线有关的三角形内角和问题 4．如图，点O是内一点，，、分别是和的角平分线，则等于 ． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和角平分线定义的应用，根据三角形内角和定理求出，根据角平分线求出，求出，根据三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵、分别是和的角平分线， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型五、三角形折叠中的角度问题 5．如图，将沿、翻折，顶点A，B均落在点O处，且与重合于线段，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查三角形内角和定理；由折叠的性质可得，，可得，由三角形内角和定理可得，即可求的度数． 【详解】解：将沿，翻折，顶点，均落在点处， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 题型六、三角形内角和定理的应用 6．（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）有一个三角形的三个内角都不相等，其中最小的角为，这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理； 根据三角形内角和为，结合最小角为，分析其余两角的范围，确定最大角是否可能超过，从而判断三角形类型． 【详解】解：设三个角分别为、a、b，且， 由三角形内角和定理得：， ∴， 若最大角，则， 但a必须大于，矛盾， 因此， ∴所有角均小于， 即这个三角形为锐角三角形， 故选：A． 题型七、三角形的分类 7．如图，在中，是直角，，垂足为D，点E在线段上，找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 【答案】是锐角三角形；，，，是直角三角形；是钝角三角形 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查了锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的定义； 根据是直角，，可得，，是锐角，是锐角，是钝角，然后进行分类即可． 【详解】解：∵是直角， ∴，，是锐角， ∵，点E在线段上， ∴是锐角，是钝角， ∴是锐角三角形；，，，是直角三角形；是钝角三角形． 题型八、构成三角形的条件 8．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）以下列长度的各组线段为边，能够组成三角形的是（   ） A．3，5，8 B．3，4，6 C．10，9，1 D．5，2，2 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，不能组成三角形，故A不符合题意； B、，能组成三角形，故B符合题意； C、，不能组成三角形，故C不符合题意； D、，不能组成三角形，故D不符合题意； 故选：B． 题型九、确定第三边的取值范围 9．已知三角形的两边长分别为和，则第三边的长可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】先确定第三边的取值范围，后根据选项计算选择． 【详解】设第三边的长为x， ∵ 角形的两边长分别为和， ∴3cm＜x＜13cm, 故选C． 【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，熟练确定第三边的范围是解题的关键． 题型十、三角形三边关系的应用 10．（24-25八年级上·浙江金华·期末）已知一个等腰三角形其中一边长为4，另一边长为8，则它的周长为 ． 【答案】20 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，已知长度为4和8两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论，能够分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①当4为底时，其它两边都为8， 4、8、8可以构成三角形， 故周长为20； ②当4为腰时， 其它两边为4和8， ， 不能构成三角形，故舍去， 故答案为：20． 题型十一、三角形角平分线的定义 11．（23-24八年级上·浙江·周测）如图，在中，，是的角平分线，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形角平分线的定义 【分析】本题主要考查了三角形角平分线的概念，正确理解三角形角平分线的概念是解题的关键． 【详解】∵在中，，是的角平分线， ∴． 故选：B． 题型十二、根据三角形中线求面积 12．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，已知的面积为12，点，分别为，边上的中点，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了与三角形中线有关的面积问题，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．根据三角形中线平分三角形面积，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵点，分别为，边上的中点， ∴，， ∵的面积为12， ∴， 故选：A． 题型十三、画三角形的高 13．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，中， 画出 边上的高 【答案】图见解析 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查了作图——三角形的高，根据相关定义正确作图即可．根据三角形的高的定义作图即可． 【详解】解：如图，高即为所求作． 题型十四、与三角形的高有关的计算问题 14．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等，这种方法被称为“面积法”．已知等边，点是平面上任意一点，设点到边、边的距离分别为、，的边上的高为．回答以下问题：    (1)如图（1），若点在三角形的边上，、、存在怎样的数量关系？请给出证明过程． (2)如图（2），当点在内，已知，求的值． (3)如图（3），当点在外，请直接写出与、、的数量关系，不用证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)10 (3) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、等边三角形的性质 【分析】（1）连结，设，则，则，，，由得到，即可证明； （2）连结、、，则，，，，由得到，则； （3）连结、、，则，，，，由得到，则． 【详解】（1）解：， 证明如下：连结，如图（1）所示：    设， 是等边三角形， ， 于点，于点，于点， ，，， ， ， ； （2）解：连结、、，如图（2）所示：    设， 是等边三角形， ， 于点，于点，于点，于点， ，，，， ， ， ， ， ， 的值为； （3）解：， 理由如下：连结、、，如图（3）所示：    设， 是等边三角形， ， 于点，于点，于点，于点， ，，，， ， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形的面积公式、根据面积等式证明其他线段之间的相等关系、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线并且列出相应的面积等式是解题的关键． 题型十五、判断是否是命题 15．（2023八年级上·浙江·专题练习）下列语句哪一个不是命题（　　） A．生活在水里的动物是鱼 B．作两条相等的线段 C．两点确定一条直线 D．是有理数 【答案】B 【知识点】判断是否是命题 【分析】根据命题的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：生活在水里的动物是鱼，是命题，故本选项不符合题意； B、作两条相等的线段，不是命题，故本选项符合题意； C、两点确定一条直线，是命题，故本选项不符合题意； D、是有理数，是命题，故本选项不符合题意； 故选：B 【点睛】本题主要考查了命题，熟练掌握具有判断语气的句子是命题是解题的关键． 题型十六、写出命题的题设与结论 16．根据图中所给信息，写出一个真命题： ． 【答案】如果，那么 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】根据平行线的性质或判定写出一个真命题即可 【详解】解：如果，那么 （答案不唯一） 故答案为：如果，那么 【点睛】本题考查了命题的定义，理解题意是解题的关键． 题型十七、判断命题真假 17．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）能说明命题“”是假命题的一个反例是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断命题真假、举反例 【分析】本题考查了命题与定理的知识．根据题意，只要举例说明0的平方等于0即可． 【详解】解：A、当时，，不能说明是假命题，不符合题意； B、当时，，能说明是假命题，符合题意； C、当时，，不能说明是假命题，不符合题意； D、当时，，不能说明是假命题，不符合题意； 故选：B． 题型十八、举例说明假（真）命题 18．（24-25八年级上·浙江温州·期中）下面四个k值，能说明命题“对于任意偶数k，都是4的倍数”是假命题的反例是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】举例说明假（真）命题、举反例 【分析】本题考查了假命题，判断一个命题是假命题，只要举的反例满足：符合命题的条件，但不符合命题的结论，即可说明命题是假命题；根据四个选项中的k值进行判断即可． 【详解】解：A、不是偶数，不符合命题条件，故不是举反例； B、是偶数，符合命题条件，但2不是4的倍数，不符合命题结论，故是反例； 选项C与D，k的值既符合命题条件，也符合命题结论，故不是反例； 故选：B． 题型十九、定理与证明 19．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）下列语句中，是定义的是（    ） A．若两角之和为，则这两个角互余 B．相等的角是对顶角 C．同角的余角相等 D．延长至D使 【答案】B 【知识点】定理与证明 【分析】本题考查了全是与定理的知识，利用定义的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A. 若两角之和为，则这两个角互余，不是定义，不符合题意； B.相等的角是对顶角，是定义，符合题意； C.同角的余角相等，不是定义，不符合题意； D. 延长至D使，不是定义，不符合题意； 故选：B 题型二十、以代数为背景的推理与论证 20．本学期，学生自主开展的羽毛球社团举办了一场羽毛球比赛，来鼓励支持大家的兴趣发展，在比赛中进一步提升综合能力．为参加这场比赛，甲、乙、丙三人进行赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当裁判8局，乙、丙分别进行了12局、11局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行了 局比赛，其中最后一局比赛的裁判是 ． 【答案】 15 甲 【知识点】以代数为背景的推理与论证 【分析】本题考查推理与论证，解题的关键根据题目提供的特征和数据，分析其存在的规律和方法，并递推出相关的关系式，从而解决问题． 先确定了乙与丙打了8局，乙、甲之间打了4局，丙、甲之间打了3局，进而确定三人一共打的局数， 根据甲当了8局裁判员，甲当裁判的局次只能是1，3，5，…15，由此能求出结果． 【详解】甲当了裁判8局， 乙、丙之间打了8局， 又乙、丙分别进行了12局、11局比赛， 乙、甲之间打了4局，丙、甲之间打了3局， 甲、乙、丙三人共进行了局比赛， 又甲当了8局裁判，而从1到15共8个奇数，7个偶数， 甲当裁判的局为奇数局， 最后一局比赛的裁判是：甲， 故答案为：15；甲． 题型二十一、逻辑推理与论证 21．2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”．某校今年“节”策划了五个活动，规则见图： 小云参与了所有活动． （1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为 ； （2）若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“币”数量的所有可能取值为 ． 【答案】 鲁班锁 1或2或3 【知识点】逻辑推理与论证 【分析】本题考查了推理能力，关键是注意分类讨论． （1）因为小云参与了所有活动，且小云只挑战成功一个，所以推断小云只能参与了鲁班锁，且挑战成功，赢得4枚“π币”，足够她参与其余四个活动； （2）小云共挑战成功两个，且参与的第四个活动成功，所以推断小云参与的第一个活动成功，且为华容道、魔方或鲁班锁，分别讨论参与的第一个活动为华容道、魔方或鲁班锁，最终剩下的“π币”数量的可能． 【详解】解：（1）∵小云参与了所有活动，且小云只挑战成功一个， ∴小云用活动前发放的一枚“π币”参与了鲁班锁，且挑战成功，赢得4枚“π币”，再次参与了其余四个活动，未挑战成功， 故答案为：鲁班锁； （2）∵小云共挑战成功两个，且参与的第四个活动成功， ∴小云参与的第一个活动成功，且为华容道、魔方或鲁班锁， 若参与的第一个活动为华容道，则参与的第四个活动可能为24点、数独、魔方或鲁班锁，最终剩下的“π币”数量可能是1枚、2枚或3枚， 若参与的第一个活动为魔方，则参与的第四个活动可能为24点、数独、华容道或鲁班锁，最终剩下的“π币”数量可能是1枚、2枚或3枚， 若参与的第一个活动为鲁班锁，则参与的第四个活动可能为24点、数独、华容道或魔方，最终剩下的“π币”数量可能是2枚或3枚， 故答案为：1或2或3． 题型二十二、三角形的外角的定义及性质 22．（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）如图，，则不可能是的度数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考试三角形的内角和，三角形外角的性质，掌握三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角是解题的关键．设，则，根据即可列出不等式，求出的取值范围，即可解答． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即的度数不可能是． 故选：A 题型二十三、图形的全等 23．观察下面的6组图形，其中是全等图形的有（　　） A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 【答案】B 【知识点】图形的全等 【分析】根据全等图形的定义进行判断即可． 【详解】解：观察图①④⑤⑥四组图形经过平移、旋转、对折后能够完全重合，是全等图形，共4组， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等图形的定义，能够完全重合的图形是全等形，难度不大． 题型二十四、全等三角形的性质 24．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图：，，，那么的长为 ． 【答案】3 【知识点】全等三角形的性质 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，利用全等三角形的性质可得，再解即可，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：3． 题型二十五、用SSS证明三角形全等 25．（24-25八年级上·全国·期中）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法． 如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是 ． 【答案】 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定等知识点，明确尺规作图所隐含的条件成为解题的关键． 由尺规作图可知：，然后根据全等三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：由尺规作图可知，， ， 故答案为：． 题型二十六、用SAS证明三角形全等 26．根据图中所给定的条件，可知全等三角形是（　　） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和②和③ 【答案】C 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，解题的关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．据此解答即可． 【详解】解：根据题意得， 在和中， ， ， 故选：C． 题型二十七、全等的性质和SAS综合 27．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在等边三角形中，点是边上的一点，点是延长线上的一点，且． (1)当是的中点时，求的度数． (2)当是边上的任意一点时，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、三角形的外角的定义及性质、根据等角对等边证明边相等 【分析】（1）证明，，可得，再结合三角形的外角的性质可得答案； （2）作交于点，可得，证明，再结合全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）解：在等边中，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵为等边三角形， ∴，， ∴， 作交于点， ∴，，， ∴为等边三角形；， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，   ∴． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 题型二十八、用ASA（AAS）证明三角形全等 28．如图，已知．求证：． 【答案】证明见解析. 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】根据平行线的性质可得∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，进而根据ASA证明△ABC≌△DEF，即可得证． 【详解】证明：∵AB∥DE，AC∥DF， ∴∠B=∠DEF，∠ACB=∠F ∵ 即， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF， ∴AB=DE． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握ASA证明三角形全等是解题的关键． 题型二十九、全等的性质和ASA（AAS）综合 29．（21-22八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F，且交线段BC于点E，连结DE，若∠C＝50°，设∠ABC＝x°，∠CDE＝y°，则y和x之间的关系是 ． 【答案】y=80-x（0<x<80） 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】先证明△BFA≌△BFE，由全等三角形的性质可得∠BAE=∠BEA，∠DAE=∠DEA，推出∠EDC=y°=∠DAE+∠DEA，推出∠DAE=y°，∠BEA=∠BAE=∠C+∠DAE=50°+y°，由∠ABC+2∠AEB=180°，最后代入x、y即可解答． 【详解】解：AE⊥BD， ∴∠BFA=∠BFE=90°， ∵∠ABF=∠EBF，BF=BF， ∴△BFA≌△BFE（ASA）， ∴BA=BE，AF=EF，∠BAE=∠BEA， ∴AE⊥BD，即BD是线段AE的垂直平分线 ∴AD=DA ∴∠DAE=∠DEA， ∴∠EDC=y°=∠DAE+∠DEA，即∠DAE=y° ∴∠BAE =∠BEA =∠C+∠DAE=50°+y° ∵∠ABC+2∠AEB=180°， ∴x+100°+y=180°， ∴y=80-x（0<x<80）． 故填y=80-x（0<x<80）． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定和性质、函数关系式等知识点，寻找全等三角形并灵活运用全等三角形的性质成为解答本题的关键． 题型三十、利用全等图形求正方形网格中角度之和 30．如下图是由6个边长相等的正方形组合成的图形， ． 【答案】/135度 【知识点】利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形） 【分析】本题考查了全等图形：能够完全重合的两个图形叫做全等形．也考查了正方形的性质．如图，根据题意得，，，，先判断为等腰直角三角形得到，再证明，得到，则，从而求出的度数． 【详解】解：如图， 根据题意得，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型三十一、添加条件使三角形全等 31．对和来说，已知，再添加一个条件就可以由“”得到，则这个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据已知条件，结合公共边相等，得到，，再添加即可利用得到即可． 【详解】解：在和中，，， ∴当时，； 故选：C． 题型三十二、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 32．（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）在中，是边上的中线，，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】此题主要考查全等三角形的判定及性质和三角形三边关系．作出图形，延长到E，使，连接，证明，从而可得，在中，再利用三角形三边的关系，即可求解． 【详解】解：延长到E，使，连接， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴． 故选：C． 题型三十三、线段垂直平分线的性质 33．如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（    ） A．，两边中线的交点处 B．，两边垂直平分线的交点处 C．，两边高线的交点处 D．，两内角平分线的交点处 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线定理的逆定理：到一条线段的两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；此题是一道实际应用题，做题时，可分别考虑，先满足到两个小区的距离相等，再满足到另两个小区的距离相等，交点即可得到．要求到三个小区的距离相等，首先思考到A小区、C小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得． 【详解】解：A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在两边垂直平分线的交点处． 故选：B． 题型三十四、作已知线段的垂直平分线 34．实践与操作：如图，已知，请用尺规作图法，在边上求作一点，使（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【知识点】作已知线段的垂直平分线 【分析】作线段的垂直平分线交于点P，点P即为所求． 本题考查作图之作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键． 【详解】解：根据题意，，得， 故只需作线段的垂直平分线交于点P，如图所示： 则点P即为所求． 题型三十五、作垂线(尺规作图) 35．如图，已知线段，用尺规作出它的垂直平分线，并标出线段的中点O． 【答案】见详解 【知识点】作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了作垂直平分线，分别以点为圆心，以大于的长度为半径画弧，交于点，作直线，与的交点即为点O． 【详解】解：如图所示，直线即为所求： 题型三十六、角平分线的性质定理 36．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在中，的平分线为的面积是（   ） A．7 B．2 C． D．14 【答案】A 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线性质的应用，解题的关键是求出的高的长度．过D作于G，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式即可求出答案． 【详解】解：过D作于G，如图所示： ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴ 故选：A． 题型三十七、角平分线性质的实际应用 37．三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】本题主要考查了角平分线的应用．根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”，即可获得答案． 【详解】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 题型三十八、作角平分线(尺规作图) 38．如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则 ． 【答案】6 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知平分，根据角平分线的性质可知，结合求出，． 【详解】解：作图可知平分， ∵是边上的高，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 三角形的初步知识 章节（24知识点回顾+38题型巩固） 目录 知识梳理 1. 三角形的有关概念 2 .三角形的分类 3. 三角形的内角和 4. 三角形的三边关系 5. 三角形的角平分线、中线与高线 6. 定义 7. 命题的定义与结构 8. 命题的分类 9. 基本事实与定理 10. 证明的定义 11. 三角形的外角 12. 三角形的内角和定理的推论 13. 证明几何命题的一般格式 14. 全等图形 15. 全等三角形的有关概念 16. 全等三角形的性质 17. 两个三角形全等的基本事实：边边边 18. 三角形的稳定性 19. 两个三角形全等的基本事实：边角边 20. 两个三角形全等的基本事实：角边角 21. 两个三角形全等的判定定理：角角边 22. 线段的垂直平分线 23. 角平分线的性质 24. 作已知角的平分线 题型巩固 一、三角形的识别与有关概念 二、三角形的个数问题 三、与平行线有关的三角形内角和问题 四、与角平分线有关的三角形内角和问题 五、三角形折叠中的角度问题 六、三角形内角和定理的应用 七、三角形的分类 八、构成三角形的条件 九、确定第三边的取值范围 十、三角形三边关系的应用 十一、三角形角平分线的定义 十二、根据三角形中线求面积 十三、画三角形的高 十四、与三角形的高有关的计算问题 十五、判断是否是命题 十六、写出命题的题设与结论 十七、判断命题真假 十八、举例说明假（真）命题 十九、定理与证明 二十、以代数为背景的推理与论证 二十一、逻辑推理与论证 二十二、三角形的外角的定义及性质 二十三、图形的全等 二十四、全等三角形的性质 二十五、用SSS证明三角形全等 二十六、用SAS证明三角形全等 二十七、全等的性质和SAS综合 二十八、用ASA（AAS）证明三角形全等 二十九、全等的性质和ASA（AAS）综合 三十、利用全等图形求正方形网格中角度之和 三十一、添加条件使三角形全等 三十二、倍长中线模型 三十三、线段垂直平分线的性质 三十四、作已知线段的垂直平分线 三十五、作垂线(尺规作图) 三十六、角平分线的性质定理 三十七、角平分线性质的实际应用 三十八、作角平分线(尺规作图) 知识梳理 知识点1. 三角形的有关概念 1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2.三角形的基本要素： （1）边、组成三角形的线段.（2）顶点、三角形中相邻两边的公共端点.（3）内角、在三角形的内部，由相邻两边组成的角. 3.三角形的表示方法：“三角形”用符号“ △ ”表示，顶点是 A ，B ， C的三角形，记做“ △ABC”，读做“三角形 ABC ”. 知识点2 .三角形的分类 三角形可以按内角的大小进行分类： 知识点3. 三角形的内角和 三角形三个内角的和等于180∘. 注意 在任意一个三角形中，最多有一个钝角或直角，最多有三个锐角，最少有两个锐角. 知识点4. 三角形的三边关系 重点 三角形的三边关系 1、 图形 2、文字语言、三角形任何两边的和大于第三边. 3、数学语言、a+b>c ， a+c>b ， c+b>a . 4、理论依据、两点之间线段最短. 知识点5. 三角形的角平分线、中线与高线 重点 1.三角形的角平分线 （1）定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.如图 符号语言：∵线段AD是△ABC的一条角平分线，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC或 ∠BAC=2∠BAD=2∠CAD . 注意 三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线. （2）作法：①用量角器；②尺规作图（后面会学习）. （3）三角形的角平分线的位置：三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点（称为内心）. 2.三角形的中线 （1）定义：连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段，叫做三角形的中线. 如图 符号语言：∵线段 AD 是△ABC的BC边上的中线， ∴BD=DC=BC或 BC=2BD=2DC . （2） 作法：①通过度量找中点；②尺规作图（后面会学习）. （3）三角形的中线的位置：三角形的三条中线都在三角形的内部，并且三条中线交于三角形内一点（称为重心）. 知识点6. 定义 一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义. →定义必须是严密的，尽量避免使用含糊不清的词语，如“一些”“大概”“差不多”等词语 知识点7. 命题的定义与结构 （重点） 内容 举例 注意 定义 一般地，判断某一件事情的句子叫做命题. 对顶角相等. 命题一定是陈述句，是对某件事情作出肯定或否定的判断的句子. 结构 命题一般由条件和结论两部分组成. “对顶角相等”中的条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”. 条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项. 改写成“如果 …… 那么 …… ”的形式 “如果”开始的部分是条件，“那么”后面的部分是结论. “对顶角相等”可改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”. 不能改变原来的意思. 知识点8. 命题的分类 （重点） 分类 举例 判断 真命题 正确的命题称为真命题. 对顶角相等. 要判定一个命题是真命题，常常通过推理的方式，即根据已知事实来推断未知事实；也有一些命题是人们经过长期实践，公认为正确的. 假命题 不正确的命题称为假命题. 相等的角是对顶角. 要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的 方法.命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题 的结论的实例. 知识点9. 基本事实与定理 1.基本事实：挑选一部分人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，这些命题称为基本事实.例如：“两点之间线段最短”，“两点确定一条直线”，“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”等. 2.定理 （1）定义：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理.例如“对顶角相等”，“三角形任何两边的和大于第三边”，“两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行”等. →定理是真命题，但真命题不一定是定理,定理需要经过推理论证 （2）作用：可以作为判断其他命题真假的依据. 知识点10. 证明的定义 1.定义：从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论的成立，这样的推理过程叫做证明. 2.证明的格式： 证明的基本格式：因为 ……，所以 …… 或 ∵…… ， ∴……. 注意 ∵（因为）后面是已知条件，已证，定义、定理、基本事实，∴（所以）后面是由已知条件推出的结果. 知识点11. 三角形的外角 1.三角形的外角的定义：三角形的外角是由三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角.如图所示， ∠ACD 就是△ABC的外角. （1）一个三角形的每个顶点处有两个外角，这两个外角是对顶角； （2）三角形的外角和与它相邻的内角互补 2.外角的特征：（1）顶点是三角形的顶点； （2）一条边是三角形内角的一边； （3）另一条边是该内角另一边的反向延长线. 知识点12. 三角形的内角和定理的推论 （重点） 由三角形的内角和定理直接推理可得到一个推论.推论也可以作为推理的依据. 内容 集合语言 图示 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 如图所示， ∵∠1 是 △ABC 的一个外角（已知）， ∴∠1=∠2+∠3 （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）. 知识点13. 证明几何命题的一般格式 （难点） 1.证明的一般顺序和格式： 有些几何命题已经包括了相应的图形、已知及求证，那么直接写出证明的推理过程即可 （1）按题意画出图形；→标上必要的字母 （2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；→用字母、符号表示命题的条件和结论 （3）在“证明”中写出推理过程. 2.辅助线：在解决几何问题时，有时需要添加辅助线.添辅助线的过程要写入证明中. 辅助线通常画成虚线 知识点14. 全等图形 1.定义：能够重合的两个图形称为全等图形. 注意 两个图形是否为全等图形与图形的位置无关，唯一的标准是能够完全重合. 2.特点：全等图形的形状和大小都相同. 知识点15. 全等三角形的有关概念 （重点） 1.全等三角形的概念及表示方法 定义 能够重合的两个三角形叫做全等三角形. 对应元素 对应顶点 两个三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点. A 和 A′ , B 和 B′ , C 和 C′ . 对应元素 对应边 两个三角形重合时，互相重合的边叫做全等三角形的对应边. BC 和 B′C′ ， CA 和 C′A′ ， AB 和 A′B′ . 对应角 两个三角形重合时，互相重合的角叫做全等三角形的对应角. ∠A 和 ∠A′ ， ∠B 和 ∠B′ ， ∠C 和 ∠C′ . 表示方法 “全等”可用符号“ ≅ ”来表示，读作“全等于”. △ABC 与 △A′B′C′ 全等，记做“ △ABC≅A′B′C′ ”，读做“三角形 ABC 全等于三角形 A′B′C′ ”. 注意 用符号“ ≅ ”表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上. 2.确定全等三角形对应元素的方法： （1）图形特征法： ①最长边对最长边，最短边对最短边. ②最大角对最大角，最小角对最小角. （2）位置关系法： ①公共角（对顶角）为对应角，公共边为对应边. ②对应角的对边为对应边，两个对应角所夹的边是对应边. ③对应边的对角为对应角，两条对应边所夹的角是对应角. （3）字母顺序法： 根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角. ↓举例 (△ABC≅△DEF): 3.三种常见的全等类型： （1）平移型 （2）翻折型 （3）旋转型 知识点16. 全等三角形的性质 （重点） 1.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2.几何语言：如图. ∵△ABC≅△DEF ， ∴AB=DE ， AC=DF ， BC=EF（全等三角形的对应边相等）， ∠A=∠D， ∠B=∠E ， ∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）. 注意 在运用全等三角形的这个性质时，关键是要结合图形或根据几何语言中字母的对应位置，正确地找到对应边或对应角. 全等三角形的其他性质 全等三角形的对应边上的高线、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等，但周长（或面积）相等的两个三角形不一定全等. 利用全等三角形的性质求角的度数的方法 先利用全等三角形的性质确定两个三角形中角的对应关系，再由这种关系实现已知角与未知角之间的转换，从而求出所要求的角的度数. 知识点17. 两个三角形全等的基本事实：边边边（SSS） 重点 1.基本事实：三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“ SSS ”）. 2.几何语言： 如图，在 △ABC 和 △A′B′C′ 中， 知识点18. 三角形的稳定性 当三角形的三条边长确定时，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫做三角形的稳定性. 稳定性是三角形特有的性质，其他多边形不具备稳定性.该性质在生产和日常生活中有广泛的应用，如房屋的人字架、大桥的钢梁、起重机的支架等. 知识点19. 两个三角形全等的基本事实：边角边（SAS） 重点 1.基本事实：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“ SAS” ）. 注意 应用“边角边”时必须满足相等的角是对应相等的两边的夹角，即“两边夹一角” ，不可出现“边边角”的错误. “ SSA ”不能判定两个三角形全等.如图，在 △ABC 和 △ADC 中， AC=AC ， CB=CD ， ∠CAD=∠CAB ，但 △ABC与 △ADC不全等 2.几何语言： 如图，在 △ABC 和 △A′B′C′ 中， 要按照“边—角—边”的顺序来写，即把夹角相等写在中间，以突出两边及其夹角对应相等 ∴△ABC≅△A′B′C′(SAS). 知识点20. 两个三角形全等的基本事实：角边角（ASA） 重点 1.基本事实：两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ ASA ” ）. 2.几何语言： 如图，在 △ABC和 △A′B′C′中， 在书写两个三角形全等的条件“角边角”时，要按照“角—边—角”的顺序来写，即把夹边相等写在中间，以突出两角及其夹边对应相等 ∴△ABC≅△A′B′C′(ASA). 知识点21. 两个三角形全等的判定定理：角角边（AAS） 重点 1.判定定理：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“ AAS ”）. 两角和一边分别相等的两个三角形不一定全等，不要忽略“对应”关系. 如图所示，在 △ADE和 △ABC中， ∠A=∠A，∠ADE=∠ABC ， AD=BC，但△ADE与 △ABC不全等 注意 由“ ASA ”和“ AAS ”可知，如果两个三角形具备两个角和一条边对应相等，就可判定其全等. 可以是夹边也可以是对边 2.几何语言： 如图，在 △ABC和 △A′B′C′中， 辨析 “ ASA ”与“ AAS ”的区别与联系 “ S ”的意义 书写格式 联系 ASA “ S ”是两角的夹边. 把夹边相等写在两角相等的中间. 由三角形的内角和定理可知，“ AAS ”可由“ ASA ”推导得出. AAS “ S ”是其中一角的对边. 把两角相等写在一起，边相等放在最后. 如果可以用“角边角”判定两个三角形全等，那么也可以转化为用“角角边”判定两个三角形全等，反之亦然 3. 三角形全等的条件的灵活选用 已知条件 作出图形 是否全等 形成结论 三条边 是 SSS 两边一角 两边夹角 是 SAS 两边对角 否 两角一边 两角夹边 是 ASA 两角对边 是 AAS 三个角 否 无 知识点22. 线段的垂直平分线 （重点） 1.线段的垂直平分线：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线. 线段的垂直平分线必须满足两个条件：①经过这条线段的中点；②垂直于这条线段 几何语言：如图所示，∵直线 ⊥AB于点 D ，且 AD=BD ， ∴直线 就是线段 AB 的垂直平分线. 拓展 三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等. 2.线段的垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 垂直平分线上的任意一点 几何语言：如图所示， ∵CD⊥AB ， OA=OB，点 P是直线 CD 上任意一点， ∴PA=PB. 知识点23. 角平分线的性质 （重点） 1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 2.几何语言：如图所示， ∵OC 是 ∠AOB的平分线， P是 OC 上一点， PD⊥OA， PE⊥OB ，垂足分别为 D， E ， ∴PD=PE. 注意 利用角平分线的性质定理证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段” ，如图（1）所示，而不是“垂直于角平分线的线段”，如图（2）所示. 知识点24. 作已知角的平分线 已知 ∠BAC （如图所示），用直尺和圆规作 ∠BAC的平分线 AD . 作法 以点 A 为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于 E , F 两点. 分别以 E ， F 为圆心，大于 EF 长为半径作圆弧，两条圆弧交于 ∠BAC 内一点 D . 过点 A ， D 作射线 AD .射线 AD 就是所求作的 ∠BAC 的平分线. 示范 原理 连结 DF ， DE .由作法可得 AF=AE ， DF=DE ，又 ∵AD=AD ， ∴△ADF≅△ADE(SSS) ,∴∠FAD=∠EAD ，即 AD 平分 ∠BAC . 注意 要以大于 EF 长为半径作圆弧，因为以小于 EF 长为半径作圆弧时，两圆弧没有交点，以等于 EF 长为半径作圆弧不易操作. 题型巩固 题型一、三角形的识别与有关概念 1．下面各项都是由三条线段组成的图形，其中属于三角形的是（   ） A． B． C． D． 题型二、三角形的个数问题 2．如图中三角形的个数共有 个． 题型三、与平行线有关的三角形内角和问题 3．如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型四、与角平分线有关的三角形内角和问题 4．如图，点O是内一点，，、分别是和的角平分线，则等于 ． 题型五、三角形折叠中的角度问题 5．如图，将沿、翻折，顶点A，B均落在点O处，且与重合于线段，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 题型六、三角形内角和定理的应用 6．（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）有一个三角形的三个内角都不相等，其中最小的角为，这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 题型七、三角形的分类 7．如图，在中，是直角，，垂足为D，点E在线段上，找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 题型八、构成三角形的条件 8．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）以下列长度的各组线段为边，能够组成三角形的是（   ） A．3，5，8 B．3，4，6 C．10，9，1 D．5，2，2 题型九、确定第三边的取值范围 9．已知三角形的两边长分别为和，则第三边的长可以是（    ） A． B． C． D． 题型十、三角形三边关系的应用 10．（24-25八年级上·浙江金华·期末）已知一个等腰三角形其中一边长为4，另一边长为8，则它的周长为 ． 题型十一、三角形角平分线的定义 11．（23-24八年级上·浙江·周测）如图，在中，，是的角平分线，则（    ）    A． B． C． D． 题型十二、根据三角形中线求面积 12．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，已知的面积为12，点，分别为，边上的中点，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型十三、画三角形的高 13．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，中， 画出 边上的高 题型十四、与三角形的高有关的计算问题 14．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等，这种方法被称为“面积法”．已知等边，点是平面上任意一点，设点到边、边的距离分别为、，的边上的高为．回答以下问题：    (1)如图（1），若点在三角形的边上，、、存在怎样的数量关系？请给出证明过程． (2)如图（2），当点在内，已知，求的值． (3)如图（3），当点在外，请直接写出与、、的数量关系，不用证明． 题型十五、判断是否是命题 15．（2023八年级上·浙江·专题练习）下列语句哪一个不是命题（　　） A．生活在水里的动物是鱼 B．作两条相等的线段 C．两点确定一条直线 D．是有理数 题型十六、写出命题的题设与结论 16．根据图中所给信息，写出一个真命题： ． 题型十七、判断命题真假 17．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）能说明命题“”是假命题的一个反例是（    ） A． B． C． D． 题型十八、举例说明假（真）命题 18．（24-25八年级上·浙江温州·期中）下面四个k值，能说明命题“对于任意偶数k，都是4的倍数”是假命题的反例是（  ） A． B． C． D． 题型十九、定理与证明 19．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）下列语句中，是定义的是（    ） A．若两角之和为，则这两个角互余 B．相等的角是对顶角 C．同角的余角相等 D．延长至D使 题型二十、以代数为背景的推理与论证 20．本学期，学生自主开展的羽毛球社团举办了一场羽毛球比赛，来鼓励支持大家的兴趣发展，在比赛中进一步提升综合能力．为参加这场比赛，甲、乙、丙三人进行赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当裁判8局，乙、丙分别进行了12局、11局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行了 局比赛，其中最后一局比赛的裁判是 ． 题型二十一、逻辑推理与论证 21．2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”．某校今年“节”策划了五个活动，规则见图： 小云参与了所有活动． （1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为 ； （2）若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“币”数量的所有可能取值为 ． 题型二十二、三角形的外角的定义及性质 22．（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）如图，，则不可能是的度数的是（   ） A． B． C． D． 题型二十三、图形的全等 23．观察下面的6组图形，其中是全等图形的有（　　） A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 题型二十四、全等三角形的性质 24．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图：，，，那么的长为 ． 题型二十五、用SSS证明三角形全等 25．（24-25八年级上·全国·期中）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法． 如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是 ． 题型二十六、用SAS证明三角形全等 26．根据图中所给定的条件，可知全等三角形是（　　） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和②和③ 题型二十七、全等的性质和SAS综合 27．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在等边三角形中，点是边上的一点，点是延长线上的一点，且． (1)当是的中点时，求的度数． (2)当是边上的任意一点时，求证：． 题型二十八、用ASA（AAS）证明三角形全等 28．如图，已知．求证：． 题型二十九、全等的性质和ASA（AAS）综合 29．（21-22八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F，且交线段BC于点E，连结DE，若∠C＝50°，设∠ABC＝x°，∠CDE＝y°，则y和x之间的关系是 ． 题型三十、利用全等图形求正方形网格中角度之和 30．如下图是由6个边长相等的正方形组合成的图形， ． 题型三十一、添加条件使三角形全等 31．对和来说，已知，再添加一个条件就可以由“”得到，则这个条件是（   ） A． B． C． D． 题型三十二、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 32．（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）在中，是边上的中线，，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型三十三、线段垂直平分线的性质 33．如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（    ） A．，两边中线的交点处 B．，两边垂直平分线的交点处 C．，两边高线的交点处 D．，两内角平分线的交点处 题型三十四、作已知线段的垂直平分线 34．实践与操作：如图，已知，请用尺规作图法，在边上求作一点，使（保留作图痕迹，不写作法）． 题型三十五、作垂线(尺规作图) 35．如图，已知线段，用尺规作出它的垂直平分线，并标出线段的中点O． 题型三十六、角平分线的性质定理 36．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在中，的平分线为的面积是（   ） A．7 B．2 C． D．14 题型三十七、角平分线性质的实际应用 37．三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 题型三十八、作角平分线(尺规作图) 38．如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$