江苏省宿迁市沭阳外国语实验学校2024-2025学年九年级下学期第二次月考数学试卷

2024-2025学年江苏省宿迁市沭阳外国语实验学校九年级（下）第二次月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的倒数是 A. B. C. D. 2.计算的结果是(    ) A. B. C. D. 3.春节期间，电影哪吒之魔童闹海票房表现亮眼，截止到月日，累计票房约亿元，数据亿用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 4.如图是由个相同的小正方体组合而成的立体图形，其左视图是(    ) A. B. C. D. 5.一副三角板按如图方式摆放，其中，，点在边上，点在边上，且，、相交于点，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.我国古代著作增删算法统宗中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹每人五竿多三竿，每人七竿少五竿”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知道有多少人和竹竿每人竿，多竿；每人竿，少竿设牧童有人，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 7.规定：对于任意实数a、b、c,有【a,b】★c=ac+b,其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★1=2×1+3=5.若关于x的方程【x,x+1】★（mx）=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（　　） A. m＜ B. m＞ C. m＞且m≠0 D. m＜且m≠0 8.如图，在平面直角坐标系中，边长为的等边的边与轴正半轴重合，将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到再将绕点顺时针旋转得到，再作关于原点的中心对称图形，得到按照此规律，先将三角形绕点顺时针旋转，再作关于原点的中心对称图形，则点的坐标是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9.若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是          ． 10.分解因式：______． 11.在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则的取值范围是______． 12.已知，则代数式的值是______． 13.学校举行演讲比赛，共有名同学进入决赛，比赛将评出金奖名，银奖名，铜奖名．某参赛选手知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他应当关注的有关成绩的统计量是          填“平均数”、“中位数”或“众数”． 14.己知圆锥的侧面积是，母线长为，则圆锥的底面圆半径为______． 15.如图，身高的某学生沿着树影由向走去，当走到点时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得，，则树的高度为______ 16.如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点轴上的点，则点的坐标为______． 17.如图，在中，，轴，垂足为反比例函数的图象经过点，交于点，若，则的值是______． 18.如图，在矩形中，，，分别为，的中点，是线段上一动点，设，的周长为，图是关于的函数关系图象，其中是图象上的最低点，则的值为______． 三、计算题：本大题共1小题，共8分。 19.先化简，再求值：，其中． 四、解答题：本题共9小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.本小题分 计算：． 21.本小题分 为了促进“足球进校园”活动的开展，某市举行了中学生足球比赛活动，打算从、、三支获胜足球队中随机抽取球队到其他地区学校进行交流． 如果随机抽取一支球队参与交流，则抽取球队的概率为______； 如果随机抽取两支球队参与交流，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽取、两支球队的概率． 22.本小题分 【项目背景】 山楂是河南省辉县特产，具有色泽鲜红、果实浑圆、酸甜适口的特点在山楂收获的季节，某班同学前往某村甲、乙两个山楂园开展综合实践活动，在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两个山楂园的山楂质量进行调查统计． 【数据的收集与整理】 从两个山楂园采摘的山楂中各随机选取个，测量每个山楂的质量记为单位：，并将收集的样本数据进行如下分组： 组别 绘制甲、乙两个山楂园样本数据的频数分布直方图，信息如下： 根据以上信息，回答下列问题： 甲山楂园样本数据中每个山楂质量大于的占比为______ 乙山楂园样本数据的中位数落在______组填“”“”“”“”或“” 辉县山楂一般分为优质品、合格品、次品三个等级其中，两组的山楂为优质品，组的山楂为合格品，，两组的山楂为次品试估计哪个山楂园的山楂品质更优，并说明理由． 23.本小题分 已知：如图，在中，． 尺规作图：作的角平分线，交于点不要求写作法，保留作图痕迹 延长至点，使，连接、求证：四边形是菱形． 24.本小题分 如图，内接于，为的直径，于点，将沿所在的直线翻折，得到，点的对应点为，延长交的延长线于点． 求证：是的切线． 若，，求图中阴影部分的面积． 25.本小题分 如图，春碓是我国上世纪乡村农用工具，形状呈型，将其抽象成如图的平面图形，呈型的可绕点旋转，其中，，三点在同一条直线上，点在直线上，，，，，初始时． 如图，求初始时点到的距离； 如图，当点第一次落在上时，求点在竖直方向上上升了多少厘米结果保留位小数；参考数据：，， 26.本小题分 年月日，郑州市热力公司开启了全市供暖，但由于供暖后室内干燥，因此大多数市民们选择使用室内空气加湿器某商场根据民众需要，代理销售每台进价分别为元、元的，两种型号的空气加湿器，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一周 台 台 元 第二周 台 台 元 进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本 求，两种型号的空气加湿器每台的售价． 若商场准备用不超过元的金额再采购这两种型号的空气加湿器共台，如何购买才可以使商场销售完这台空气加湿器后获得最大利润？请给出相应的采购方案，并求出最大利润． 27.本小题分 【思维探究】 如图，在四边形中，，，，连接求证：． 小明的思路是：延长到点，使，连接根据，推得，从而得到，然后证明≌，从而可证，请你帮助小明写出完整的证明过程． 【思维延伸】 如图，四边形中，，，连接，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【思维拓展】 在四边形中，，，与相交于点若四边形中有一个内角是，请直接写出线段的长． 28.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴为直线，点的坐标为． 该抛物线的表达式为______； 点为抛物线上一点不与点重合，连接当时，求点的坐标； 在的条件下，在对称轴上是否存在一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，使点恰好落在抛物线上？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：根据倒数的定义得的倒数为， 故选：． 本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 乘积为的两个数互为倒数，运用定义解题即可． 2.【答案】  【解析】解：根据相关运算法则可得： ， 故选：． 根据相关运算法则进行运算即可求解． 本题考查积的乘方、幂的乘方运算以及单项式乘法，较容易，熟练掌握积的乘方以及幂的乘方运算法则是顺利解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：亿． 故选：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 4.【答案】  【解析】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形． 故选：． 根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 本题考查简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图． 5.【答案】  【解析】解：，， ， 是的外角，， ． 故选：． 由平行线的性质可得，再利用外角的性质即可求得的度数． 本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等． 6.【答案】  【解析】解：由题意可得：． 故选：． 设牧童有人，根据“每人竿，多竿；每人竿，少竿”列出方程即可． 本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、弄清量之间的关系成为解题的关键． 7.【答案】D  【解析】解：根据题意得x（mx）+x+1=0， 整理得mx2+x+1=0， ∵关于x的方程【x,x+1】★（mx）=0有两个不相等的实数根， ∴Δ=12-4m•1＞0且m≠0， 解得m＜且m≠0． 故选：D． 先根据新定义得到x（mx）+x+1=0，再把方程化为一般式，根据题意得到Δ＞0且m≠0，解不等式即可． 本题属于新定义题型，考查一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，根据题意得到关于m的不等式是解题的关键． 8.【答案】  【解析】解：由旋转可知， 是等边三角形，且边长为． 过点作轴的垂线，垂足为， 是等边三角形， ， 则． 在中， ， 点的坐标为 和关于原点中心对称， 点的坐标为 同理可得，点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， ， 由此可见，从点开始，点的对应点按，，，，，，，循环出现． 又因为余， 所以点的坐标是 故选：． 根据所给变换方式，依次求出点，，，，的坐标，发现规律即可解决问题． 本题主要考查了坐标与图形变化旋转、点的坐标变化规律及关于原点对称的点的坐标，能通过计算发现从点开始，点的对应点按，，，，，，，循环出现是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 根据二次根式有意义的条件得到，解之即可求出的取值范围． 本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义时被开方数是非负数． 10.【答案】  【解析】解：原式， 故答案为：． 根据题意先将提出后利用完全平方公式整理即可． 本题考查分解因式，完全平方公式等．熟练掌握以上知识点是关键． 11.【答案】  【解析】解：点在第二象限， ， 由，得， 由，得， 不等式组的解集为， 故答案为：． 根据点在第二象限得出不等式组，再求出不等式组的解集即可． 本题考查了解一元一次不等式组和点的坐标特征，能得出关于的不等式组是解此题的关键． 12.【答案】  【解析】解： ， 当时， 原式． 故答案为：． 首先利用完全平方公式把代数式，再进一步代入求得数值即可． 此题考查因式分解的实际运用，掌握完全平方公式是解决问题的关键． 13.【答案】中位数  【解析】【分析】 此题主要考查了统计量的选择，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：数据的平均数、众数、中位数是描述一组数据集中趋势的特征量，属于基础题，难度不大． 根据进入决赛的名学生所得分数互不相同，所以这名学生所得分数的中位数即是获奖的学生中的最低分，所以某学生知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他应该关注的统计量是中位数，据此解答即可． 【解答】 解：进入决赛的名学生所得分数互不相同，共有个奖项， 这名学生所得分数的中位数即是获奖的学生中的最低分， 某学生知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他应该关注的统计量是中位数， 如果这名学生的分数大于或等于中位数，则他能获奖， 如果这名学生的分数小于中位数，则他不能获奖． 故答案为：中位数． 14.【答案】  【解析】解：设圆锥的底面圆半径为， 由题意得，， 解得，， 故答案为：． 设圆锥的底面圆半径为，根据扇形弧长公式计算即可． 本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 15.【答案】  【解析】解：设树的高度为， 由题意得：， ，， ， 解得：， 树的高度为， 故答案为：． 设树的高度为，由题意得，据此即可求解． 本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 16.【答案】  【解析】解：点关于轴的对称点为， 反射光线所在直线过点和， 设的解析式为：， ， ， 的解析式为：， 令，则， 解得， 点， 故答案为：． 点关于轴的对称点为，根据反射的性质得，反射光线所在直线过点和，求出的解析式为：，再令即可求出点的坐标． 本题考查的是点的坐标，熟知关于轴对称的点的坐标特点是解题的关键． 17.【答案】  【解析】解：过点作于点，于，则， ， ， ， ， 由勾股定理可知，，， ， ，， ， ， 设点，则， 反比例函数的图象经过点，交于点， ， ， ． 故答案为：． 过点作于点，于，则由，，可得，利用勾股定理以及解直角三角形可求，，即可得到，进一步求得，设点，则，代入即可求的值． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，解直角三角形等，关键是正确表示出点、的坐标． 18.【答案】  【解析】解：由函数的图象得：当的最大值为，即， 在矩形中，， ， 取，的中点，，连接，过作的对称点，连接交于，此时的最小值为， 则为的中位线， ， 同理，， 的长等于到的距离， 在上， ， 解得：， ， ． 故答案为：． 先根据矩形的性质做出周长最小时的点，再根据勾股定理和三角形的面积公式求解． 本题考查了动点的图象，掌握数形结合思想、勾股定理、三角形的面积公式是解题的关键． 19.【答案】解：原式， 当时，原式．  【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20.【答案】解： ．  【解析】可根据负指数幂、特殊三角函数值几实数的运算可进行求解． 本题主要考查特殊三角函数值、负指数幂及实数的运算，熟练掌握各个运算是解题的关键． 21.【答案】  【解析】解：如果随机抽取一支球队参与交流，则抽取球队的概率为， 故答案为：； 画树状图如图所示： 由上可得，一共有种等可能的结果，其中同时抽到和的可能性有种， 同时抽到队和队的概率是． 根据概率公式计算即可； 根据题意可以画出相应的树状图，然后即可计算出同时抽到、两支球队的概率． 本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率． 22.【答案】；   ；   乙山楂园，理由见解析．  【解析】解：， 甲山楂园样本数据中每个山楂质量大于的占比为． 故答案为：； 由样本数据频数分布直方图可知，乙山楂园样本数据的中位数落在组． 故答案为：； 乙山楂园的山楂品质更优，理由如下： 由样本数据频数分布直方图，可知乙山楂园优质品山楂所占比例大于甲山楂园，因此乙山楂园的山楂品质更优答案不唯一． 根据直方图可知甲山楂园样本数据中每个山楂质量大于的频数，再除以即可求解； 根据中位数的定义即可解答； 根据直方图的数据分析即可． 本题考查了频数分布直方图、中位数，从频数分布直方图中获取信息是解题的关键． 23.【答案】解：如图，为所求作的的平分线； 证明：如图， 平分， ， 又， ， 又， 四边形是平行四边形．     又， 四边形是菱形．  【解析】直接利用角平分线的作法得出点位置，进而得出答案； 利用菱形的判定方法得出答案． 此题主要考查了菱形的判定以及复杂作图，正确把握菱形的判定方法是解题关键． 24.【答案】证明：连接， ， ， ， ， 将沿所在的直线翻折，得到， ，， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 解：， ， 由得， ， ， ，， ， ， 图中阴影部分的面积为．  【解析】证连接，根据垂直的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，根据折叠的性质得到，，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； 根据三角函数的定义得到，求得，得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 本题考查了切线的判定和性质，折叠的性质，解直角三角形，扇形面积的计算，等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 25.【答案】点到的距离约为；   点在竖直方向上升了．  【解析】在中，，，如图，过作于， ， ， 即点到的距离约为； 过作于，如图， 由旋转的性质得：，，，，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ，， ， ， ∽， ， ， 解得， ， 答：点在竖直方向上上升了． 过作于，在根据代入计算即可； 过作于，由旋转可得，，，，，先求出，再根据∽，得到，解得，最后根据点在竖直方向上上升了代入计算即可． 本题考查解直角三角形的应用，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质． 26.【答案】型空气加湿器每台的售价为元，型空气加湿器每台的售价为元；   当购进台型空气加湿器，台型空气加湿器时，可获得最大利润，最大利润为元．  【解析】解：设型空气加湿器每台的售价为元，型空气加湿器每台的售价为元． ， ， 答：型空气加湿器每台的售价为元，型空气加湿器每台的售价为元． 设购进型空气加湿器台， 则， ． 设总利润为元． 则． ， 随的增大而增大． 当时，有最大值为元，此时，． 答：当购进台型空气加湿器，台型空气加湿器时，获得最大利润，为元． 设型号空气净化器单价为元，型号空气净化器单价元，根据台型号，台型号的销售收入为元，台型号台型号的销售收入为元，列方程组求解； 设采购种型号空气净化器台，则采购种型号空气净化器台，根据金额不超过元，列不等式求解； 本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正确进行计算是解题关键． 27.【答案】证明：如图中，延长到点，使，连接． ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 的等边三角形， ， ， ； 解：结论：． 理由：如图中，过点作于点，交的延长线于点． ， ， ， ， ，， ≌， ，， ，， ， ， ， ≌， ， ； 解：如图中，当时，过点作于点，于点． ，， ， ， ， ，，， ， ， ， ，， ， ． 如图中，当时，同法可证，， 综上所述，满足条件的的长为或．  【解析】如图中，延长到点，使，连接证明≌，推出，，推出的等边三角形，可得结论； 结论：如图中，过点作于点，交的延长线于点证明≌，推出，，证明≌，推出，可得结论； 分两种情形：如图中，当时，过点作于点，于点如图中，当时，分别求解即可． 本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 28.【答案】；   ；   在对称轴上存在一点，将线段绕点顺时针旋转，使点恰好落在抛物线上，或  【解析】解：对称轴为直线，点的坐标为， ， ， 故答案为：； 方法一：作于，交于，如图： 在中，令得， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 直线的关系式为：， 由得：舍去，， ， 方法二：过点作垂直于轴，交于，如图： ， 为等腰直角三角形， ， ，， ≌， ， ， 直线的解析式为， 由得：舍去，， ； 在对称轴上存在一点，将线段绕点顺时针旋转，使点恰好落在抛物线上，理由如下： 点旋转后的对应点为， 当在上方时，作对称轴于，对称轴于， ，对称轴为直线， ， 设， 将线段绕点顺时针旋转得线段， ，， ，， ≌， ，， ， 恰好落在抛物线上， ， 解得，， ， 当在上方时，作对称轴于，如图： 由图可得，，关于直线对称， 是等腰直角三角形， ，是等腰直角三角形， ， ， 综上所述：或 由对称轴为直线，点的坐标为，得出，由交点式得出函数关系式； 方法一：作于，可知在对称轴上，求出的坐标，得出直线的关系式与抛物线求交点即可； 方法二：过点作垂直于轴，交于，证明≌，得，可得的坐标，从而求出解析式，得到的坐标； 分在上方和下方两种情况，当在上方时，构造出≌，得代入抛物线即可求得的值，从而可得的坐标，当在上方时，由抛物线的对称性可得出 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数关系式、等腰直角三角形的性质以及运算能力，用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$