3.3 幂函数 同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.3　幂函数 同步练习 考点一　幂函数的概念 1.现有下列函数:①y=x3;②y=4x2;③y=x5+1;④y=(x-1)2;⑤y=x,其中幂函数的个数为(　　) A.1　　B.2　　C.3　　D.4 2.已知幂函数f(x)的图象经过点(2,),则f(4)=(　　) A.　　B.2　　C.16　　D.±2 3.已知函数f(x)=(a-1)xa为幂函数,则f(-2)=(　　) A.-4　　B.-　　C.4　　D. 4.已知幂函数f(x)=(m2-3m+1)xm-1是定义域上的奇函数,则m=(　　) A.0或3　　B.3　　C.-3　　D.0 5.已知函数f(x)=(m2-m-1)xm+2是幂函数,且该函数是偶函数,则f()的值是　　　　.  考点二　幂函数的图象及其性质 6.下列函数既是幂函数,又在(-∞,0)上单调递减的是(　　) A.y=-x　　B.y=x-2　　C.y=　　D.y=x2 7.图中C1、C2、C3分别为幂函数y=,y=,y=在第一象限内的图象,则α1,α2,α3依次可以是(　　) A.3,,-1　　B.3,-1, C.,3,-1　　D.,-1,3 8.已知a=,b=,c=,d=,则(　　) A.a>b>c>d　　B.c>a>b>d　　 C.a>c>b>d　　D.c>a>d>b 9.(多选题)关于幂函数y=xa,下列描述错误的有(　　) A.当a=-1时,函数在其定义域上单调递减 B.当a=0时,函数不是幂函数 C.当a=2时,函数是偶函数 D.当a=3时,函数图象与x轴有且只有一个交点 10.幂函数f(x)=(m2-2m-2)在(0,+∞)上单调递减,则f(2m)的值为　　　　.  11.已知幂函数f(x)=(m2-4m+4)xm-2在(0,+∞)上单调递减,则不等式f(2-x)>1的解集是　　　　.  12.已知幂函数f(x)=(2k2+5k-2)xk(k∈R)在区间(0,+∞)上单调递增. (1)求k的值; (2)(i)若f(a)+f=2,求f(a2)+f的值; (ii)求y=f(a-1)+2a的值域. 考点三　幂函数图象、性质的综合应用 13.函数y=x,y=x2和y=的图象如图所示,则下列说法错误的是(　　) A.如果>a>a2,那么0<a<1　　 B.如果a2>a>,那么a>1 C.如果-1<a<0,那么a2>a>　　 D.如果a2>>a,那么a<-1 14.若0<a<b<1,则(　　) A.aa<ba,bb<ab　　B.ba<aa,bb<ab C.ba<aa,ab<bb　　D.aa<ba,ab<bb 15.下列比较大小中正确的是(　　) A.<　　B.< C.<　　D.< 16.已知函数g(x)既是二次函数又是幂函数,若函数f(x)=+1,则f(-2 024)+f(-2 023)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(2 023)+f(2 024)=(　　) A.2 024　　B.2 025　　C.4 048　　D.4 049 17.已知a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为(　　) A.c<a<b　　B.a<c<b　　C.c<b<a　　D.a<b<c 18.用max{f(x),g(x)}表示f(x),g(x)中的最大者,用min{f(x),g(x)}表示f(x),g(x)中的最小者,若函数h(x)=min在(0,a)上有最大值,则(　　) A.h(x)是奇函数　　 B.h(x)在(0,a)上的最大值是2 C.h(x)的值域是(-∞,-1)∪[0,1]　　 D.a的取值范围是(1,+∞) 19.写出一个同时具有下列性质的函数f(x):　　　　.  ①f(x1x2)=f(x1)f(x2);②当x∈(0,+∞)时, f(x)单调递增;③f(x)为R上的偶函数. 20.已知幂函数y=x3m-9(m∈N*)的图象关于y轴对称,且该函数在(0,+∞)上单调递减,则满足<的a的取值范围为　　　　　　.  21.已知幂函数f(x)=(2m2-10m+13)xm为奇函数,g(x)=f(x)+(k∈R). (1)若g(2)=5,求k; (2)已知k≤3,若关于x的不等式g(x)-2k2>0在[1,+∞)上恒成立,求k的取值范围. 答案 1.B　根据幂函数的概念,可得①⑤为幂函数,②③④不符合幂函数的基本形式. 2.B　设f(x)=xα(α为常数),∵f(x)的图象经过点(2,),∴2α=,∴f(4)=4α=22α=(2α)2=2. 3.C　因为f(x)是幂函数,所以a-1=1,得a=2,则f(x)=x2,故f(-2)=4. 4.D　由函数f(x)=(m2-3m+1)xm-1是幂函数,得m2-3m+1=1,解得m=3或m=0,当m=3时, f(x)=x2,是R上的偶函数,不符合题意,当m=0时, f(x)=x-1,是(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,符合题意,所以m=0. 5.答案　4 解析　由题意得m2-m-1=1,解得m=-1或m=2,当m=-1时, f(x)=x,是奇函数,不符合题意,当m=2时, f(x)=x4,是偶函数,符合题意,故m=2, f()=()4=4. 6.D　易知形如y=xα的函数为幂函数,显然A,C不符合定义; 又y=x2在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故D正确; y=x-2在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,故B错误. 7.A　在第一象限内,幂函数y=xα的图象在直线x=1的右侧的部分由下向上,α逐渐增大, 且当α>0时,y=xα在第一象限内单调递增,且递增速度以α=1为界点,当α<0时,y=xα在第一象限内单调递减,所以α1>1>α2>0>α3,故A满足. 8.B　∵a6=,b6=,c6=,d6=, ∴c6>a6>b6>d6,又a>0,b>0,c>0,d>0,∴c>a>b>d. 9.AB　对于A,易知y=x-1在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,但在整个定义域上不具有单调性,故A错误; 对于B,根据幂函数的定义可知y=x0也是幂函数,故B错误; 对于C,易知y=x2的定义域为R,且(-x)2=x2,故y=x2为偶函数,故C正确; 对于D,易知y=x3单调递增,当且仅当x=0时,y=0,故y=x3的图象与x轴有且只有一个交点,故D正确. 10.答案　 解析　因为幂函数f(x)=(m2-2m-2)在(0,+∞)上单调递减, 所以解得m=-1,所以f(x)=x-2,所以f(2m)=f(-2)=. 11.答案　(1,2) 解析　因为f(x)=(m2-4m+4)xm-2是幂函数,所以m2-4m+4=1,解得m=1或m=3. 又因为f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以m-2<0, 所以m=1, f(x)=. 由f(2-x)=>1,解得1<x<2,所以不等式f(2-x)>1的解集是(1,2). 12.解析　(1)由已知得2k2+5k-2=1,得k=-3或k=, 因为f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,所以k=. (2)由(1)可得f(x)=. (i)f(a)+f=+=2, f(a2)+f=a+a-1=-2=2. (ii)y=f(a-1)+2a=(a-1+2a, 令t=(a-1,则t≥0,t2=a-1,故y=2t2+t+2=+, 易知当t=0时,y=2t2+t+2取得最小值,最小值为2, 所以y=f(a-1)+2a的值域为[2,+∞). 13.B　根据题图可知,如果>a>a2,那么0<a<1,A选项正确. 如果a2>a>,那么-1<a<0或a>1,B选项错误. 如果-1<a<0,那么a2>a>,C选项正确. 如果a2>>a,那么a<-1,D选项正确. 14.D　构造函数g(x)=xa,h(x)=xb, 因为0<a<b<1,所以g(x)、h(x)在(0,+∞)上均单调递增,所以g(a)<g(b),h(a)<h(b),即aa<ba,ab<bb. 15.C　对于A,因为函数y=x0.7在(0,+∞)上单调递增,>,所以>,故A错误; 对于B,因为函数y=x-1在(-∞,0)上单调递减,-<-,所以>,故B错误; 对于C,=,=,又函数y=在R上单调递增,且-<-,所以<,即<,故C正确; 对于D,因为函数y=在(0,+∞)上单调递增,>,所以>,故D错误. 16.D　由题可知g(x)=x2,故f(x)=+1,则f(-x)=-+1, 所以f(x)+f(-x)=2,且f(0)=1, 则f(-2 024)+f(-2 023)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(2 023)+f(2 024) =2 024×[f(-1)+f(1)]+f(0)=2 024×2+1=4 049. 17.A　由函数y=x3.1在(0,+∞)上单调递增,且<<1,得<<13.1=1, 由函数y=在(0,+∞)上单调递增,且3.1>1,得>=1, 所以<<,即c<a<b. 18.D　h(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),在同一坐标系中分别作出函数y=x2,y=x3,y=的图象,取y=x2与y=x3的图象中较高的曲线段,再与y=的图象对比取较低的曲线段,得到函数h(x)的图象,如图中实线部分所示, 因为h(x)的图象不关于坐标原点对称,所以h(x)不是奇函数,故A错误; 由图知若h(x)在(0,a)上有最大值,则a>1,且h(x)在(0,a)上的最大值是1,故B错误,D正确;由图象知h(x)的值域是(-∞,0)∪(0,1],故C错误. 19.答案　f(x)=x2(答案不唯一) 解析　由性质①可联想到幂函数, 由性质②可知该幂函数的指数大于0, 由性质③可考虑该幂函数的自变量加上绝对值,或指数为偶数. 综上,不妨取f(x)=x2. 20.答案　(-∞,-1)∪ 解析　因为幂函数y=x3m-9(m∈N*)在(0,+∞)上单调递减,所以3m-9<0,解得m<3. 又因为m∈N*,所以m=1或m=2. 因为幂函数y=x3m-9(m∈N*)的图象关于y轴对称, 所以3m-9为偶数,故m=1. 不等式可化为<, 因为y=在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减, 所以a+1>3-2a>0或3-2a<a+1<0或a+1<0<3-2a, 所以<a<或a<-1. 故a的取值范围是(-∞,-1)∪. 21.解析　(1)因为f(x)=(2m2-10m+13)xm是幂函数,所以2m2-10m+13=1,解得m=2或m=3, 当m=2时, f(x)=x2,不是奇函数,舍去, 当m=3时, f(x)=x3,是奇函数,满足题意. ∴g(x)=x3+, ∵g(2)=8+=5,∴k=-6. (2)关于x的不等式g(x)-2k2>0在[1,+∞)上恒成立,即x3+-2k2>0在[1,+∞)上恒成立, 令h(x)=x3+-2k2,下面先研究函数h(x)的单调性.∀x1,x2∈[1,+∞),且x1>x2, 则h(x1)-h(x2)=+- =(-)+=(x1-x2), ∵x1>x2≥1,k≤3,∴x1-x2>0,x1x2>1,++x1x2>3,<3, ∴h(x1)-h(x2)>0,即h(x1)>h(x2), 故h(x)=x3+-2k2在[1,+∞)上单调递增,∴h(x)min=h(1)=1+k-2k2, 由题意得1+k-2k2>0,解得-<k<1,所以k的取值范围是. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$