专题11 圆（云南专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题11 圆 一、考点01点、直线、圆的位置关系 1．（2025·云南·中考真题）已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为 ． 二、考点02 弧长和扇形面积 2．（2025·云南·中考真题）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·云南·中考真题）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为厘米，底面圆的半径为厘米，则该圆锥的侧面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 4．（2023·云南·中考真题）数学活动课上，某同学制作了一顶圆锥形纸帽．若圆锥的底面圆的半径为1分米，母线长为4分米，则该圆锥的高为 分米． 5．（2022·云南·中考真题）某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥，他们制作的圆锥，母线长为30cm，底面圆的半径为10 cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 ． 6．（2021·云南·中考真题）如图，等边的三个顶点都在上，是的直径．若，则劣弧的长是（    ） A． B． C． D． 三、考点03垂径定理 7．（2022·云南·中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是OO的弦，AB⟂CD．垂足为E．若AB=26，CD=24，则∠OCE的余弦值为（    ） A． B． C． D． 四、考点04圆周角定理 8．（2024·云南·中考真题）如图，是的直径，点、在上．若，，则（   ） A． B． C． D． 9．（2023·云南·中考真题）如图，是的直径，是上一点．若，则（    ）    A． B． C． D． 五、考点05证明某直线是圆的切线 10．（2025·云南·中考真题）如图，是五边形的外接圆，是的直径．连接，，，． (1)若，且，求的度数； (2)求证：直线是的切线； (3)探究，发现与证明：已知平分，是否存在常数，使等式成立？若存在，请直接写出一个的值和一个的值，并证明你写出的的值和的值，使等式成立；若不存在，请说明理由． 11．（2024·云南·中考真题）如图，是的直径，点、是上异于、的点．点在外，，延长与的延长线交于点，点在的延长线上，，．点在直径上，，点是线段的中点． (1)求的度数； (2)求证：直线与相切： (3)看一看，想一想，证一证： 以下与线段、线段、线段有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 12．（2023·云南·中考真题）如图，是的直径，是上异于的点．外的点在射线上，直线与垂直，垂足为，且．设的面积为的面积为．    (1)判断直线与的位置关系，并证明你的结论； (2)若，求常数的值． 13．（2022·云南·中考真题）如图，四边形ABCD的外接圆是以BD为直径的⊙O，P是⊙O的劣狐BC上的任意一点，连接PA、PC、PD，延长BC至E，使BD²=BC⋅BE． (1)请判断直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； (2)若四边形ABCD是正方形，连接AC，当P与C重合时，或当P与B重合时，把转化为正方形ABCD的有关线段长的比，可得，当P既不与C重合也不与B重合时，是否成立？请证明你的结论． 14．（2021·云南·中考真题）如图，是的直径，点C是上异于A、B的点，连接、，点D在的延长线上，且，点E在的延长线上，且． （1）求证：是的切线： （2）若，求的长． 15．（2025·云南昆明·三模）如图，在中，点C是的中点，点D在优弧上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 16．（2025·云南昆明·三模）将一个圆锥的侧面展开后得到一个扇形，这个扇形的面积为，半径为，这个圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D． 17．（2025·云南昆明·三模）如图，A，B，C三点都在上，连接，，，，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 18．（2025·云南玉溪·一模）如图，为的直径，弦于点H．若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 19．（2025·云南临沧·一模）如图，点，，，，在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 20．（2025·云南昆明·三模）如图，四边形内接于，M为边延长线上一点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 21．（2025·云南文山·模拟预测）已知一个圆锥的高为，母线长为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 22．（2025·云南昆明·模拟预测）如图，是的直径，点C，D在上，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 23．（2025·云南·模拟预测）如图，点A，B，C均在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 24．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，在中，点是的中点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 25．（2025·云南玉溪·三模）如图，在中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 26．（2025·云南临沧·三模）如图，在中，弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 27．（2025·云南楚雄·三模）如图，点A，B，C在上，C是的中点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 28．（2025·云南红河·三模）如图，在⊙中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 29．（2025·云南红河·三模）如图，的斜边，直角边，现以较长直角边所在直线为轴，将这个三角形旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 30．（2025·云南临沧·一模）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品若这种圆锥的侧面积为平方厘米，底面圆的半径为厘米，则该圆锥的母线长为 厘米． 31．（2025·云南昆明·三模）云南西双版纳的傣族传统手工艺人常用竹蔑编织圆锥形帽子．某工匠制作了一顶帽子，测得帽檐底面圆的半径为20厘米，帽子的母线长（从帽顶到帽檐边缘的直线距离）为25厘米．则这顶帽子侧面的竹蔑材料表面积是 平方厘米（结果保留）． 32．（2025·云南昆明·三模）已知圆锥的底面半径为3，母线长为5，将它的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为 ． 33．（2025·云南昆明·三模）如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径长为，母线长，则圆锥形纸杯的全面积为 ．（结果保留） 34．（2025·云南·模拟预测）某同学发现家里的草帽可以近似看作一个圆锥，测量得母线长为50 ，高度为30 ，通过计算，这个圆锥的侧面展开图的弧长为 ． 35．（2025·云南玉溪·三模）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小帽子．若圆锥的高为，底面圆的半径为．为了使帽子更美观，侧面全部需要涂上颜色，则需涂颜色的面积为 ． 36．（2025·云南临沧·三模）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，它与竹文化有着密切关系．历来中国有“制扇王国”之称．折扇是一种用竹木做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子；用时须撒开，成半规形，聚头散尾．如图，当折扇所在扇形的圆心角为时，折扇的外观看上去是比较美观的，若此扇形的半径，则此时折扇所在扇形的的长为 （结果保留）． 37．（2025·云南玉溪·三模）一个圆锥的底面直径是8，母线长是7，则圆锥的侧面积是 ． 38．（2025·云南昆明·模拟预测）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周四尺，高三尺，问积及为米几何?”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为4尺，米堆的高为3尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积是 平方尺．（结果保留π） 39．（2025·云南·模拟预测）已知为的直径，为上两点，连接为外延长线上一点，连接． (1)如图1，若，求证：直线是的切线； (2)如图2，连接，若时，是否存在常数，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)如图3，在（1）的条件下，若平分时，延长交于点，当，求的长． 40．（2025·云南昆明·三模）如图，是的直径，是的弦（不是直径），过点B的直线交的延长线于点E，点D为线段的中点，连接，并延长交于点H，交的延长线于点F，．连接，交于点G． (1)求的度数； (2)求证：是的切线： (3)若，，求的面积． 41．（2025·云南临沧·一模）如图，是的外接圆，是的直径，平分交于点，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线． (2)若，求证：四边形是平行四边形． (3)设与交于点，若的半径为，，求的长． 42．（2025·云南昆明·三模）如图，为⊙的直径，P为延长线上的点，，垂足为E，连接，，，F是线段上一点，若平分，与线段交于点H． (1)若，求的度数； (2)求证：为⊙的切线； (3)若，，看一看，想一想，证一证：以下与线段、有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 43．（2025·云南昆明·模拟预测）如图，在的边上取一点O，以O为圆心，为半径画与边相切于点D，，连接交于点E，连接，并延长交线段于点F． (1)求证：是切线； (2)若，，求的半径； (3)看一看，想一想，证一证：若F是中点，以下与线段、线段、线段有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 44．（2025·云南·模拟预测）如图，是四边形的外接圆，点D是劣弧的中点，直径交于点 G，在劣弧上取一点 B，使得，延长至H，连接，使． (1)若，求的度数； (2)求证：直线是的切线； (3)若且，你认为的值是否等于一个常数k，若是，求出k的值；若不是，请说明理由． 45．（2025·云南·模拟预测）如图，AB是的直径，C是上一点，连接AC，E是AC的中点，且EF⊥AB交AB于点H，交于点F，延长AC至点K，连接BK，BC，CF，CF交AB于点D． (1)若，求∠A的度数； (2)若，，，求证：BK是的切线； (3)若，则线段DH与HF之间存在关系，求m的值． 46．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，已知，是的直径，的弦交于点，点是的中点，是延长线的一点，连接，． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线； (3)看一看，想一想，证一证：以下与线段、线段、线段、线段有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 47．（2025·云南曲靖·二模）如图，在中，直径与弦交于点E，连接，．过点D的直线与的延长线交于点F，且， (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，，点P为直线上一动点，且，当时，设点P到上的点的距离为t，求t的取值范围． 48．（2025·云南楚雄·三模）如图，是的直径，D，E为上位于异侧的两点，连接并延长至点C，使得，连接，且交于点F，连接，，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． (3)若平分，交于点G，，，求的值（用含n的代数式表示）． 49．（2025·云南玉溪·三模）如图，在中，弦AB与弦CD相交于点G，连接AC，OA，OB，且于E，过点B的直线与CD的延长线交于F，． (1)若，求证：BF是的切线； (2)若，，求的半径； (3)以下三个结论中：，，，请判断哪个正确并说明理由． 50．（2025·云南玉溪·三模）如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为点，的延长线交弧于点． (1)若，求的长； (2)判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)求证：． 试卷第14页，共14页 试卷第1页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 圆 一、考点01点、直线、圆的位置关系 1．（2025·云南·中考真题）已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系，解题的关键是理解设点到圆心的距离为，圆的半径为，若点在圆外，则时，当点在圆上时，则时；当点在圆内时，则． 【详解】解：∵点在上， ∴点到圆心的距离为， 故答案为：． 二、考点02 弧长和扇形面积 2．（2025·云南·中考真题）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于侧面展开图扇形的弧长． 设圆锥底面圆半径为，根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长得到，即可求解半径． 【详解】解：设圆锥底面圆半径为， 由题意得：， 解得， 因此，该圆锥的底面圆半径为， 故选：B． 3．（2024·云南·中考真题）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为厘米，底面圆的半径为厘米，则该圆锥的侧面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，先求出圆锥底面圆的周长，再根据圆锥的侧面积计算公式计算即可求解，掌握圆锥侧面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：圆锥的底面圆周长为厘米， ∴圆锥的侧面积为平方厘米， 故选：． 4．（2023·云南·中考真题）数学活动课上，某同学制作了一顶圆锥形纸帽．若圆锥的底面圆的半径为1分米，母线长为4分米，则该圆锥的高为 分米． 【答案】 【分析】根据勾股定理得，圆锥的高=母线长底面圆的半径得到结果． 【详解】解：由圆锥的轴截面可知： 圆锥的高=母线长底面圆的半径 圆锥的高， 故答案为． 【点睛】本题考查了圆锥，勾股定理，其中对圆锥的高，母线长，底面圆的半径之间的关系的理解是解决本题的关键． 5．（2022·云南·中考真题）某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥，他们制作的圆锥，母线长为30cm，底面圆的半径为10 cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 ． 【答案】 【分析】设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n，，进行解答即可得． 【详解】解： 设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n°， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角，解题的关键是掌握扇形的弧长公式． 6．（2021·云南·中考真题）如图，等边的三个顶点都在上，是的直径．若，则劣弧的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC=2∠BAC，证明△AOB≌△AOC，得到∠BAO=∠CAO=30°，得到∠BOD，再利用弧长公式计算． 【详解】解：连接OB，OC， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BOC=2∠BAC=120°， 又∵AB=AC，OB=OC，OA=OA， ∴△AOB≌△AOC（SSS）， ∴∠BAO=∠CAO=30°， ∴∠BOD=60°， ∴劣弧BD的长为=π， 故选B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，圆周角定理，弧长公式，解题的关键是求出圆心角∠BOD的度数． 三、考点03垂径定理 7．（2022·云南·中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是OO的弦，AB⟂CD．垂足为E．若AB=26，CD=24，则∠OCE的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据垂径定理求出，再根据余弦的定义进行解答即可． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径，AB⟂CD． ∴，OC==13， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查的是垂径定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握垂径定理，锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 四、考点04圆周角定理 8．（2024·云南·中考真题）如图，是的直径，点、在上．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，圆周角定理，连接，由可得，进而由圆周角定理即可求解，掌握圆的有关性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 故选：． 9．（2023·云南·中考真题）如图，是的直径，是上一点．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 五、考点05证明某直线是圆的切线 10．（2025·云南·中考真题）如图，是五边形的外接圆，是的直径．连接，，，． (1)若，且，求的度数； (2)求证：直线是的切线； (3)探究，发现与证明：已知平分，是否存在常数，使等式成立？若存在，请直接写出一个的值和一个的值，并证明你写出的的值和的值，使等式成立；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)存在常数，，理由见解析． 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）证明是等边三角形即可； （）延长交于点，连接，由圆周角定理可得，即，又，，所以，然后由切线的判定方法即可求证； （）设与交于点，由平分，可得，，通过圆周角定理可得，证明，，故有，，即有，，然后通过即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：如图，延长交于点，连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （3）解：存在常数，，使等式成立； 理由如下： 如图，设与交于点， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 得：， ∵， ∴， ∴，． 11．（2024·云南·中考真题）如图，是的直径，点、是上异于、的点．点在外，，延长与的延长线交于点，点在的延长线上，，．点在直径上，，点是线段的中点． (1)求的度数； (2)求证：直线与相切： (3)看一看，想一想，证一证： 以下与线段、线段、线段有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）直接利用直径所对的圆周角是直角，即可得出结果； （2）证明，得到，根据平角的定义，得到，即可得证； （3）连接，连接交于点，易得，圆周角定理得到，推出，进而得到，根据三角函数推出，得到三点共线，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵是的直径，点是上异于、的点， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是半径， ∴直线与相切； （3）我认为：正确，理由如下： 连接，连接交于点，如图，则：， ∴点在线段的中垂线上， ∵， ∴点在线段的中垂线上， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 12．（2023·云南·中考真题）如图，是的直径，是上异于的点．外的点在射线上，直线与垂直，垂足为，且．设的面积为的面积为．    (1)判断直线与的位置关系，并证明你的结论； (2)若，求常数的值． 【答案】(1)与相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）与相切，理由如下：连接，先证得，又证，进而有，于是即可得与相切； （2）先求得，再证，得，从而有，又，即可得解． 【详解】（1）解：与相切，理由如下： 连接，    ∵是的直径，直线与垂直， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与相切； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，   ∵， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，垂线的性质，相似三角形的判定及性质，切线的判定，勾股定理，熟练掌握直径所对的圆周角是直角，垂线的性质，相似三角形的判定及性质，切线的判定以及勾股定理等知识是解题的关键． 13．（2022·云南·中考真题）如图，四边形ABCD的外接圆是以BD为直径的⊙O，P是⊙O的劣狐BC上的任意一点，连接PA、PC、PD，延长BC至E，使BD²=BC⋅BE． (1)请判断直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； (2)若四边形ABCD是正方形，连接AC，当P与C重合时，或当P与B重合时，把转化为正方形ABCD的有关线段长的比，可得，当P既不与C重合也不与B重合时，是否成立？请证明你的结论． 【答案】(1)DE是⊙O的切线，证明见解析； (2)成立，证明见解析 【分析】（1）证明△BDC∽△BED，推出∠BCD=∠BDE=90°，即可证明DE是⊙O的切线； （2）延长PA至Q，使AQ=CP，则PA+PC= PA+AQ=PQ，证明△QAD≌△PCD(SAS)，再推出△PQD是等腰直角三角形，即可证明结论成立． 【详解】（1）解：DE是⊙O的切线；理由如下： ∵BD²=BC⋅BE， ∴， ∵∠CBD=∠DBE， ∴△BDC∽△BED， ∴∠BCD=∠BDE， ∵BD为⊙O的直径， ∴∠BCD=90°， ∴∠BDE=90°， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：当P既不与C重合也不与B重合时，成立，理由如下： 延长PA至Q，使AQ=CP，则PA+PC= PA+AQ=PQ， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD，∠ADC=90°， ∵四边形APCD是圆内接四边形， ∴∠PAD+∠PCD=180°， ∵∠QAD+∠PAD=180°， ∴∠QAD=∠PCD， ∴△QAD≌△PCD(SAS)， ∴∠QDA=∠PDC，QD=PD， ∴∠QDA+∠PDA =∠PDC+∠PDA=90°， ∴△PQD是等腰直角三角形， ∴PQ=PD，即PA+PC=PD， ∴成立． 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 14．（2021·云南·中考真题）如图，是的直径，点C是上异于A、B的点，连接、，点D在的延长线上，且，点E在的延长线上，且． （1）求证：是的切线： （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等量代换得到∠DCO=90°，即可证明DC是圆O的切线； （2）根据已知得到OA=2DA，证明△DCO∽△DEB，得到，可得DA=EB，即可求出DA的长． 【详解】解：（1）如图，连接OC，由题意可知：∠ACB是直径AB所对的圆周角， ∴∠ACB=90°， ∵OC，OB是圆O的半径， ∴OC=OB， ∴∠OCB=∠ABC， 又∵∠DCA=∠ABC， ∴∠DCA=∠OCB， ∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°， ∴OC⊥DC， 又∵OC是圆O的半径， ∴DC是圆O的切线； （2）∵， ∴，化简得OA=2DA， 由（1）知，∠DCO=90°， ∵BE⊥DC，即∠DEB=90°， ∴∠DCO=∠DEB， ∴OC∥BE， ∴△DCO∽△DEB， ∴，即， ∴DA=EB， ∵BE=3， ∴DA=EB=， 经检验：DA=是分式方程的解， ∴DA=． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键． 15．（2025·云南昆明·三模）如图，在中，点C是的中点，点D在优弧上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系． 连接，可知，从而可得，然后利用圆周角定理进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 16．（2025·云南昆明·三模）将一个圆锥的侧面展开后得到一个扇形，这个扇形的面积为，半径为，这个圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是求解圆锥的底面半径，根据圆锥的侧面积公式，结合已知条件直接求解底面半径即可. 【详解】解：圆锥的侧面积公式为，其中为底面半径，为母线长（即展开后扇形的半径），题目中给出扇形的面积为，母线长，代入公式得： 解得， 因此，圆锥的底面半径为， 故选：D 17．（2025·云南昆明·三模）如图，A，B，C三点都在上，连接，，，，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理．解题关键是掌握在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，据此求解即可． 【详解】解：， ， 故选：A． 18．（2025·云南玉溪·一模）如图，为的直径，弦于点H．若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，根据垂径定理由得到，再根据勾股定理计算出． 【详解】解：， ， 直径， ， 在中，， 故选：B． 19．（2025·云南临沧·一模）如图，点，，，，在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，由题意可得四边形是的内接四边形，进而得到，结合，由即可求解． 【详解】解：由题意可得四边形是的内接四边形， ， ∵， ∴． 故选：C． 20．（2025·云南昆明·三模）如图，四边形内接于，M为边延长线上一点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆周角定理求出，再根据圆内接四边形的性质求出． 【详解】解：由圆周角定理得：， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 21．（2025·云南文山·模拟预测）已知一个圆锥的高为，母线长为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，圆锥的侧面积求解，掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键． 先根据勾股定理求出底面半径，再由圆锥的侧面积公式（为底面圆半径，为母线）求解即可． 【详解】解：∵高与底面垂直， ∴高，母线，半径组成的三角形的是直角三角形， ∴底面半径为：， ∴圆锥的侧面积为， 故选：D． 22．（2025·云南昆明·模拟预测）如图，是的直径，点C，D在上，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，先根据圆周角定理可得，再根据直角三角形两个锐角互余得出，再根据圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：∵是的直径， ， ∵， ， ， ， 故选：C． 23．（2025·云南·模拟预测）如图，点A，B，C均在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，得，再结合等边对等角，三角形内角和性质，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C 24．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，在中，点是的中点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是圆周角定理，利用弧、弦、圆心角的关系求解，解题关键是熟练掌握圆的相关性质． 由圆周角定理得、利用弧、弦、圆心角的关系即可得． 【详解】解：连接， ， ， 点是的中点， ， ． 故选：． 25．（2025·云南玉溪·三模）如图，在中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆中求角度，由，则对应的圆心角与圆周角均相等，同弧（等弧）所对的圆周角等于圆心角的一半即可得到答案．熟记圆周角定理是解决问题的关键． 【详解】解：在中，，， ， 故选：B． 26．（2025·云南临沧·三模）如图，在中，弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，平行线的性质，掌握圆周角定理是解题的关键．利用两直线平行，内错角相等得出，再根据圆周角定理求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ 故选：C． 27．（2025·云南楚雄·三模）如图，点A，B，C在上，C是的中点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆心角与弧的关系，圆心角与圆周角的关系．连接，由点是劣弧的中点得，故，再由得到即可． 【详解】解：如图，连接， 点是劣弧的中点， ， ， ， ， ∵， ∴． 故选：C． 28．（2025·云南红河·三模）如图，在⊙中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理和垂径定理．连接，由垂径定理可得，再利用圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：连接， ，， ， ， ， 故选：B． 29．（2025·云南红河·三模）如图，的斜边，直角边，现以较长直角边所在直线为轴，将这个三角形旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆锥的计算和点、线、面、体等知识点，掌握圆锥的侧面公式（底面周长与母线长的积的一半）成为解题的关键． 由题意可知可得圆锥的底面半径为，母线长为，再根据圆锥的侧面积公式求解即可． 【详解】解：圆锥的侧面积为． 故选：B． 30．（2025·云南临沧·一模）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品若这种圆锥的侧面积为平方厘米，底面圆的半径为厘米，则该圆锥的母线长为 厘米． 【答案】6 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，设圆锥的母线长为厘米，根据侧面积公式列式求解即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为厘米， 由题意得：， 解得：， 则圆锥的母线长为厘米， 故答案为：． 31．（2025·云南昆明·三模）云南西双版纳的傣族传统手工艺人常用竹蔑编织圆锥形帽子．某工匠制作了一顶帽子，测得帽檐底面圆的半径为20厘米，帽子的母线长（从帽顶到帽檐边缘的直线距离）为25厘米．则这顶帽子侧面的竹蔑材料表面积是 平方厘米（结果保留）． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的计算，根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题知， 因为帽檐底面圆的半径为20厘米，帽子的母线长为25厘米， 所以这顶帽子侧面的竹篾材料表面积是：（平方厘米）． 故答案为：． 32．（2025·云南昆明·三模）已知圆锥的底面半径为3，母线长为5，将它的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】题主要考查了圆锥侧面积公式，根据圆锥侧面展开图的面公式求解即可． 【详解】解：扇形的面积为， 故答案为：． 33．（2025·云南昆明·三模）如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径长为，母线长，则圆锥形纸杯的全面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，由题意可得底面圆的周长为，底面圆的面积为，再根据圆锥的侧面积公式进行求解即可，掌握圆锥的侧面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：∵直径长为， ∴底面圆的周长为，， ∵母线长， ∴圆锥形纸杯的侧面积， ∴， 则圆锥形纸杯的全面积为， 故答案为：． 34．（2025·云南·模拟预测）某同学发现家里的草帽可以近似看作一个圆锥，测量得母线长为50 ，高度为30 ，通过计算，这个圆锥的侧面展开图的弧长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用和圆周长等知识点，解决此题的关键是正确的计算；先根据勾股定理算出底面的半径，底面的周长即为圆锥的侧面展开图的弧长，进而求出答案即可； 【详解】解：∵， ∴底面周长（）为： 即圆锥侧面展开图的弧长为 故答案为： 35．（2025·云南玉溪·三模）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小帽子．若圆锥的高为，底面圆的半径为．为了使帽子更美观，侧面全部需要涂上颜色，则需涂颜色的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了圆锥的有关计算，勾股定理，解答本题的关键是运用圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2的公式，先由勾股定理求出母线，再把相应数值代入即可求解． 【详解】解：由题意得，母线长为， ∴需涂颜色的面积为：， 故答案为：． 36．（2025·云南临沧·三模）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，它与竹文化有着密切关系．历来中国有“制扇王国”之称．折扇是一种用竹木做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子；用时须撒开，成半规形，聚头散尾．如图，当折扇所在扇形的圆心角为时，折扇的外观看上去是比较美观的，若此扇形的半径，则此时折扇所在扇形的的长为 （结果保留）． 【答案】 【分析】此题考查了弧长公式的计算，根据弧长公式，进行计算即可求解． 【详解】解：∵，扇形的圆心角为， ∴的长为 故答案为：． 37．（2025·云南玉溪·三模）一个圆锥的底面直径是8，母线长是7，则圆锥的侧面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的相关计算，熟练掌握圆锥侧面积的计算公式是解题的关键，根据圆锥的侧面积公式计算即可得到答案． 【详解】解：由题可得，， 故答案为：． 38．（2025·云南昆明·模拟预测）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周四尺，高三尺，问积及为米几何?”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为4尺，米堆的高为3尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积是 平方尺．（结果保留π） 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的计算、弧长的计算等知识点，从实际问题中抽象出圆锥的知识是解题的关键． 设米堆底部的扇形半径为尺，、求出，由这个米堆遮挡的墙面面积为两个三角形的面积的和，据此解答即可． 【详解】解：设圆锥的底面半径为尺， ， ， 这个米堆遮挡的墙面面积是（平方尺） 故答案为：． 39．（2025·云南·模拟预测）已知为的直径，为上两点，连接为外延长线上一点，连接． (1)如图1，若，求证：直线是的切线； (2)如图2，连接，若时，是否存在常数，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)如图3，在（1）的条件下，若平分时，延长交于点，当，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)存在， (3) 【分析】（1）首先由直径得到，然后等量代换得到，即可得到，进而证明直线是的切线； （2）如图，在的延长线上截取，连接，证明出和为等腰直角三角形，然后证明出，得到，，进而求解即可； （3）如图，连接，根据题意，平分，则，证明出，得到，证明出，得到，然后求出，，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：为的直径， ， ∴， ， ∴， ， ． 又为的半径， 直线是的切线； （2）解：如图，在的延长线上截取，连接． 为的直径， ． 又， 和为等腰直角三角形， ． ，即． 又， ， ， ∴， 又， ，即． 故存在常数，使得； （3）解：如图，连接． 根据题意，平分，则． ， ， 又∵， ， ．即． 根据（1）证明过程可知，，故． ， ，即． ． 把代入， 解得． 【点睛】此题考查了切线的判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，圆周角定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 40．（2025·云南昆明·三模）如图，是的直径，是的弦（不是直径），过点B的直线交的延长线于点E，点D为线段的中点，连接，并延长交于点H，交的延长线于点F，．连接，交于点G． (1)求的度数； (2)求证：是的切线： (3)若，，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据垂径定理解答即可； （2）证明，可得，即可求证； （3）连接，证明，结合，可得，设，则，，然后在中，利用勾股定理可求出的长，再由，可求出，，，在中，利用勾股定理可求出，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：是的半径，点是弦的中点． ， ． （2）证明：， ． ， ． ． ． 是的半径， 是的切线． （3）如图，连接． 是的直径， ． ． ， ． ，即， ． 设，则， ．（为非零常数） 在中，． ，由（2）可得，． ， ， 解得，，（不符合题意，舍去）． ，，． 在中，． 点为线段的中点， ，． ， ，则， 解得． ， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，垂径定理，相似三角形的性质和判定，解直角三角形圆周角定理，勾股定理等知识点的综合运用，题目综合性比较强，有一定的难度． 41．（2025·云南临沧·一模）如图，是的外接圆，是的直径，平分交于点，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线． (2)若，求证：四边形是平行四边形． (3)设与交于点，若的半径为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，利用角平分线的定义，圆周角定理和垂径定理得到，利用平行线的性质得到，再利用圆的切线的判定定理解答即可； （2）利用等腰三角形的性质定理，圆周角定理和平行线的判定定理得到，再利用平行四边形的判定定理解答即可； （3）连接与交于点H，利用垂径定理得到，利用三角形的中位线定理得到，，利用相似三角形的判定与性质求得，再利用勾股定理解答即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图， 平分， ， ， ， ． 为的半径， 是的切线； （2）证明：， ， ， ， 四边形是平行四边形； （3）解：连接，与交于点，如图， 的半径为， ，． 是的直径， ， ． 由（1）知：， ， ，， 为的中位线， ， ． ， ， ， ， ， ． ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的切线的判定定理，垂径定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定定理，直角三角形的性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的关键． 42．（2025·云南昆明·三模）如图，为⊙的直径，P为延长线上的点，，垂足为E，连接，，，F是线段上一点，若平分，与线段交于点H． (1)若，求的度数； (2)求证：为⊙的切线； (3)若，，看一看，想一想，证一证：以下与线段、有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)正确，见解析 【分析】本题主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题易得，进而求解； （2）由题易得∽，进而可证，据此得证； （3）过作于点，易证∽，得，，所以，可得，进而利用勾股定理可得的长，解直角三角形可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ，为的直径， ， ， ，， ； （2）解：，，， ∽， ， ， ， ， 又为半径， 与相切； （3）解：正确结论为：． 理由如下： 过作于点， ， ， ， 又， ， 又平分， ∴∽， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ， ， ， ． 43．（2025·云南昆明·模拟预测）如图，在的边上取一点O，以O为圆心，为半径画与边相切于点D，，连接交于点E，连接，并延长交线段于点F． (1)求证：是切线； (2)若，，求的半径； (3)看一看，想一想，证一证：若F是中点，以下与线段、线段、线段有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)半径为 (3)，见解析 【分析】（1）由切线的性质可得，如图1：连接，易证，可得即可证明结论； （2）由锐角三角函数可，则，，由勾股定理可求，设，则，然后解直角三角形即可解答； （3）如图3：连接，易证可得，由三角形内角和定理可得，可得，再证，进而证明结论． 【详解】（1）证明：如图1∶连接， ∵与相切， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是切线； （2）解：如图2：连接， ∵，， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴半径为． （3）解：，理由如下： 如图3：连接， 由（1）可知：， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵点F是中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的有关知识、切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识点，灵活运用相关性质进行推理是本题的关键． 44．（2025·云南·模拟预测）如图，是四边形的外接圆，点D是劣弧的中点，直径交于点 G，在劣弧上取一点 B，使得，延长至H，连接，使． (1)若，求的度数； (2)求证：直线是的切线； (3)若且，你认为的值是否等于一个常数k，若是，求出k的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)是， 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补求解即可； （2）连接，由直径可得，再结合等边对等角的性质，推出，则，即可证明结论； （3）连接、、、．延长、交于点，根据垂直平分线的判定定理，推出是的直径，证明，得到，再证明，得到，证明，设，，，，得出，进而得出，再根据，得出，即可求解． 【详解】（1）解：是四边形的外接圆， ， ， ； （2）证明：如图，连接， 是直径， ， ， ， ， ， ，即， ， ∵为半径， ∴直线是的切线； （3）解：如图，连接、、、．延长、交于点， ∵点是劣弧的中点， ∴劣弧劣弧， ∴， ∵，， ∴、、三点都在的垂直平分线上， ∴是的直径， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴ ∴， 又， ∴， ， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∵、为直径， ∴， ∴和是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴设，，，， ， ， ， ， ∵， ． 【点睛】本题考查了圆内接四边形，圆周角，等腰三角形的判定和性质，圆的切线的判定定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定等知识，掌握相关知识点是解题关键． 45．（2025·云南·模拟预测）如图，AB是的直径，C是上一点，连接AC，E是AC的中点，且EF⊥AB交AB于点H，交于点F，延长AC至点K，连接BK，BC，CF，CF交AB于点D． (1)若，求∠A的度数； (2)若，，，求证：BK是的切线； (3)若，则线段DH与HF之间存在关系，求m的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查圆周角，相似三角形的判定与性质，切线的判定，中位线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）根据直径所对的圆周角是，即可解答． （2）由AB是的直径，，，，可得． ，，继而证明，可证明，即可解答． （3）过点C作于点G，可证EH为的中位线，从而求出， 设，则，证明，则， 设，则，证明，有，即， 设，，同理可得，得， 有，即可解答． 【详解】（1）解：∵AB是的直径， ∴． ∵， ∴． （2）证明：∵AB是的直径， ∴． 又∵，，， ∴，， ∴（由线段关系找相似）， ∴，∴， 又∵，∴，即（由直角找相切），∴， ∵AB是的直径， ∴BK是的切线； （3）如图，过点C作于点G， ∵，E是AC的中点， ∴， ∴EH为的中位线， ∴，， ∴， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，∴，则， 连接AF，BF，∴， 易得， ∴，即， 设， ∴， ∴①， 易得， 同理可得， ∴， ∴②， 联立①②得， ∴， ∴，即， 又∵，即， ∴． 46．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，已知，是的直径，的弦交于点，点是的中点，是延长线的一点，连接，． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线； (3)看一看，想一想，证一证：以下与线段、线段、线段、线段有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)正确，理由见解析 【分析】（）由垂径定理的推论可得，进而根据直角三角形两锐角互余即可求解； （）证明，可得，进而即可求证； （）连接，可证，得到，再证明，得到，即得，即可求解． 【详解】（1）解：∵的弦交于点，点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （3）解：正确，理由如下： 连接，如图， 由（）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理及其推论，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，切线的判定，圆周角定理，余角性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 47．（2025·云南曲靖·二模）如图，在中，直径与弦交于点E，连接，．过点D的直线与的延长线交于点F，且， (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，，点P为直线上一动点，且，当时，设点P到上的点的距离为t，求t的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据圆周角定理得，再结合三角形外角性质，得，进行角的等量代换，即可作答． （2）根据得，再证明，进行角的等量代换得，再根据为直径，则，即，即可作答． （3）结合，得，根据，则，在中，，证明，结合，得 故，即P，F两点重合，再列式求出，则，即可得出t的取值范围． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， 在中，， ∴； （2）解：连接 ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， 即， ∴， 即， ∴， ∵是半径， ∴是的切线， （3）解：如图3：连接，， ∵， ∴， ∴， 则 ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵ ∴， ∴， 在和中 ∴ ∴ 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴P，F两点重合， ∴在中， ∴， ∴. ∴P到上的点的最大距离为. ∴P到上的点的最小距离为. ∴t的取值范围是 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形的相关计算，全等三角形的判定与性质，切线的判定与性质，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 48．（2025·云南楚雄·三模）如图，是的直径，D，E为上位于异侧的两点，连接并延长至点C，使得，连接，且交于点F，连接，，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． (3)若平分，交于点G，，，求的值（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据是的直径，得出，即．结合，得出为的垂直平分线，即可得，则．根据圆内接四边形得出，结合，得出，即可得，则，即可证明． （2）根据圆周角定理得出，结合，得出．求出，再根据三角形外角的性质得出． （3）如图，连接．根据四边形为圆的内接四边形，得出，由（1）知，．则，得出，勾股定理得出，则．根据平分，得出，根据圆周角定理得出，勾股定理得出．证明，得出，即可得． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，连接． ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， 由（1）知，． ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了圆的综合题、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质以及圆内接四边形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，掌握以上知识点是解题关键． 49．（2025·云南玉溪·三模）如图，在中，弦AB与弦CD相交于点G，连接AC，OA，OB，且于E，过点B的直线与CD的延长线交于F，． (1)若，求证：BF是的切线； (2)若，，求的半径； (3)以下三个结论中：，，，请判断哪个正确并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)正确，理由见解析． 【分析】（1）等边对等角，得到，根据等角的余角，得到，进而得到，即可； （2）平行得到，垂径定理，得到，进而得到，求出的长，连接，设圆的半径为r，则，利用勾股定理进行求解即可； （3）证明，得到，得到，代入求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴，即， ∴， ∵是的弦， ∴点B在上， ∴是的切线； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即，解得， 连接，如图1所示： 设圆的半径为r，则， 在中，， 即， 解得：； （3）正确；理由如下： 连接，如图2所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴正确． 【点睛】本题考查切线的判定，垂径定理，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 50．（2025·云南玉溪·三模）如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为点，的延长线交弧于点． (1)若，求的长； (2)判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)求证：． 【答案】(1)3 (2)直线与相切，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】本题考查了圆的性质、全等与相似三角形判定及性质，解题关键是利用圆的直径性质、三角形全等相似条件，结合角度关系推导证明． （1）由是圆直径得，根据等腰三角形三线合一，可知是中线，所以，结合，得出． （2）先由推出，结合，证得，得到，再依据知，进而推出，即，结合是圆半径，判定结论． （3）过点作，交延长线于点，首先证明得到，，进一步推导出，，进而得证． 【详解】（1）∵是的直径， ∴，即． ∵， 是的中线， ∴． ∵， ∴． （2）直线与相切，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵是的半径， ∴直线与相切． （3）如图，过点作，交延长线于点， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 试卷第22页，共59页 试卷第2页，共58页 学科网（北京）股份有限公司 $$