专题01 概率的进一步认识（专项训练）数学北师大版九年级上册

专题01 概率的进一步认识 目录 A题型建模・专项突破 题型一、列表法或画树状图法求概率 1 题型二、几何概率 4 题型三、利用概率求数量 7 题型四、游戏的公平性 9 题型五、用频率估计概率 13 题型六、频率和概率综合 15 B综合攻坚・能力跃升 题型一、列表法或画树状图法求概率 1．为了传承优秀传统文化，张掖四中开展“经典诵读”比赛活动．在不透明的盒子里放有4张相同的卡片，分别写有材料：《论语》；材料：《三字经》；材料：《弟子规》；材料：《千字文》．活动规则如下：搅匀后从盒子中任意抽取一张卡片，记录后放回，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛． (1)小明诵读《论语》的概率是________； (2)求小明和小亮诵读两个不同材料的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 小明小亮 2．为推进开展学校科学教育，某校组织学生开展了“科技创新月”活动，计划进行以下四项实验活动：A：马德堡半球；：塑料袋火箭；：色彩爆炸；D：火山爆发（要求全校学生都必须参加）．张老师将代表这四项实验活动的字母A、B、C、D分别写在四个大小相同的小球上，并将小球装在不透明的布袋中，参加活动的同学从布袋中随机摸出一个小球并记下小球上的字母，然后将小球放回，再去做对应的实验．甲抽到的实验结果记为，乙抽到的实验结果记为． (1)用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求该校参加活动的甲、乙两名同学所做的实验恰好相同的概率． 3．在一个不透明的箱子里装有个红色小球和个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里， (1)请问第一次摸到白球的概率是_____： (2)从箱子中任取一球，记下颜色后放回箱子里；摇匀后，再摸出个小球，请用画树状图或列表的方法，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率． 红 红 红 白 白 红 红红 红红 红红 白红 白红 红 红红 红红 红红 白红 白红 红 红红 红红 红红 白红 白红 白 红白 红白 红白 白白 白白 白 红白 红白 红白 白白 白白 4．为了庆祝中华人民共和国成立75周年，某学校计划举办一系列丰富多彩的活动，旨在回顾历史，弘扬爱国主义精神，增强学生的国家认同感和社会责任感，李老师准备从9（2）班的A，B，C，3名学生中随机选取2名去参加演讲比赛． (1)“学生A，C都被选去参加演讲比赛”是 （填“必然”或“不可能”或“随机”）事件； (2)请用列表法或画树状图法，求学生A，B都被选去参加演讲比赛的概率． A B C A B C 题型二、几何概率 5．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中空白区域的概率是 ．    6．如图所示，镖盘为半径比为1：2的两个同心圆，其中阴影部分为小圆内部一个的扇形，向大圆上投掷飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为 ． 7．小明同学根据“赵爽弦图”设计了一个如图所示的的正方形飞镖盘，小明随机投掷一次飞镖，飞镖落在阴影区域的概率为 ． 8．如图所示，在圆形转盘中，，拨动指针，指针指向区域a的概率为，在矩形转盘中，，，拨动指针，指针指向区域的概率为，则 ． 题型三、利用概率求数量 9．一个不透明的袋子中装有红球和白球共10个，这些球除颜色不同外其余均相同．已知红球的数量比白球多2个，则随机从袋子中摸出2个球，都是白球的概率为 ． 白 白 白 白 红 红 红 红 红 红 白 白白 白白 白白 红白 红白 红白 红白 红白 红白 白 白白 白白 白白 红白 红白 红白 红白 红白 红白 白 白白 白白 白白 红白 红白 红白 红白 红白 红白 白 白白 白白 白白 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红白 10．在一次活动课上，老师拿来一个不透明的袋子，对学生说：里面只有红球和白球，它们除颜色外没有其他区别，已知白球有个，你能估算出红球的数量吗？小聪与他的小组成员设计了如下方案：先摸出一个小球，记录下颜色后放回，摇均匀后再摸一个小球，记下颜色，如此反复，他们记录表格如下： 摸球次数 摸到红球次数 请你根据小聪小组记录数据，估算红球的个数 ． 11．在一个不透明箱子里装有10个除颜色外都相同的红球和黑球，小红想知道箱子里红球的个数，于是她从箱子里随机摸出一个球，经过大量重复的试验后发现摸出红球的频率稳定在，则箱子中黑球的数量约为 个． 12．近年来，济南环境保护效果显著，越来越多的候鸟选择来济过冬．为了解候鸟的情况，生物学家采用“捕获—标记—再捕获”的方法估计候鸟的数量．先随机捕捉40只候鸟，戴上标记卡并放回，经过一段时间后，重复进行5次捕捉．记录数据如下表，由此估计该区域约有 只候鸟． 累计捕捉数量（只） 100 200 350 420 480 带有标记卡数量（只） 13 24 44 52 60 题型四、游戏的公平性 13．数学兴趣小组利用AI技术探究事件发生的概率，进行试验并将数据汇总填入下表： 试验总次数 100 200 300 400 500 事件出现的次数 28 64 87 165 事件发生的频率 (1)表中______，______，并把折线统计图补充完整； (2)根据以上数据可得事件发生的概率为______； (3)根据该试验结论，小组同学认为在一个装有若干黑球和白球的不透明袋子中，随机摸出一个球是黑球的概率为．已知袋子中球的总数不超过20个，请设计一种符合条件的黑球与白球的数量搭配方案． 14．如图，现有一个转盘被平均分成6等份，分别标有2、3、4、5、6、7这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字，求： (1)转动转盘，转出的数字不大于5的概率； (2)小追和小梦一起做游戏，现有两张分别写有4和5的卡片，要随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．小追说：“若这三条线段能构成等腰三角形，则我赢”，小梦说：“若这三条线段构成的三角形的周长小于13，则我赢”，请问这个游戏规则对双方公平吗？试通过计算说明理由． 15．2025年3月1日是中国民间传统节日“龙抬头”，这一天寓意着万物复苏、生机勃发．在这个特殊的日子，“学好中国字 做好中国人”文化行动研讨会在吴东魁艺术馆隆重举行．如图，一个转盘被平均分成10等份，分别标有“学”“好”“中”“国”“字”“做”“好”“中”“国”“人”这10个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字． (1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向“国”的概率是________，指针指向汉字的笔画数是奇数的概率是________； (2)小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画多于6画时小明获胜，否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平？并说明理由． 16．2024年中国航天取得了不少举世瞩目的成就，创造了多个航天史上的第一．为激发学生弘扬爱国奋斗精神，以航天英雄为榜样，不断攀登新的科学高峰，某校举办以“致敬航天人，共筑星河梦”为主题的演讲比赛．九（1）班的李丹和王阳都想参加比赛，他们演讲水平相当，但名额只有一个．为了公平起见，班委会决定用摸球的方式确定人选．规则如下：在一个不透明的袋子中装有4个小球，分别标有，0，1，2四个数字．这些小球除数字不同外，其他都完全相同，将袋内小球充分搅匀．班长第一次先从袋中随机摸出一个小球，记录所摸到小球上的数字，摸到负数不放回，否则放回；搅匀后，他第二次再从中随机摸出一个小球，记录所摸到小球上的数字．若班长第二次摸到的小球上的数字比第一次摸到的小球上的数字大，则李丹参加，否则，王阳参加． (1)班长第一次从4个小球中任意摸出1个球，摸到标有数字2的小球的概率为______； (2)请用画树状图或列表的方法说明这个规则对双方是否公平？ 题型五、用频率估计概率 17．某种绿豆在相同条件下发芽的试验结果如下表所示： 每批粒数 发芽的粒数 发芽的频率 根据表中数据，估计这种绿豆发芽的概率约是 ．（结果保留两位小数） 18．国家卫健委发布《中国青少年健康教育核心信息及释义（2018）版》称，青少年应控制电子产品使用，非学习目的的单次使用时间不宜超过15分钟，每天累计不宜超过1小时，我市调研了部分青少年电子产品使用时间，调研结果整理如下表： 调研总人数 500 1000 1500 2000 2500 3000 使用时长超过1小时的人数 380 759 1137 1522 1900 2280 使用时长超出规定时长人数的频率 从这3000名学生中任意选取一名学生，其每天使用电子产品时长超过1小时的概率为 ． 19．如图，在一块长方形卡纸上，有不规则的阴影图案．某数学兴趣小组利用该卡纸设计了抛针试验：在同一条件下，往该卡纸上随机抛一枚大头针，重复试验并统计试验总次数及针尖落在阴影部分的次数（如下表）．由统计结果估计，往该卡纸上随机抛一枚大头针，针尖恰好落在阴影部分的概率约为 ．（保留一位小数） 试验总次数 50 100 150 200 250 300 针尖落在阴影部分的次数 31 66 91 119 152 181 针尖落在阴影部分的频率 0.620 0.660 0.607 0.595 0.608 0.603 20．为评估某外卖平台“准时送达”的服务质量，平台统计了不同订单量下“准时送达”的频率，并绘制了折线统计图．随着订单数量持续增加，“准时送达”的频率逐渐趋于稳定．据此估计，该平台外卖“准时送达”的概率约为 （结果精确到0.01）． 题型六、频率和概率综合 21．小颖同学发现操场中有一个不规则的封闭图形如图所示，为了知道它的面积，她在封闭图形内画出了一个半径为的圆，在不远处向圆内掷石子，结果记录如下： 落在圆内（含圆上）次数 14 43 93 150 落在阴影内次数 23 91 186 300 请根据以上信息，回答问题： (1)石子落在圆内的概率约为________； (2)估计封闭图形的面积． 22．在一只不透明的袋子里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数                               摸到白球的次数                               摸到白球的频率                               (1)表中的______，______； (2)“摸到白球”的概率的估计值是______精确到； (3)如果袋中有个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ 23．一个不透明的箱子里装着若干除颜色外其它均相同的小球，某数学兴趣小组从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，不断重复，得到如下数据： 摸球总次数 150 200 250 300 350 400 摸到红球的次数 98 126 150 173 198 摸到红球的频率 0.520 0.490 0.504 0.500 0.505 (1)上表中的________，________（小数形式）； (2)“摸到红球”的概率估计值为________；（精确到0.1） (3)若箱子中装有红、白、黑三种颜色的球共20个，其中白球的个数比黑球个数的2倍少2个，求摸到黑球的概率． 24．某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有红球、黑球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据： 摸球次数 100 150 200 500 800 1000 2000 摸到红球的次数 52 72 262 404 499 1000 摸到红球的频率 0.52 0.51 0.524 0.505 0.499 0.5 (1)表中的_____________，_____________； (2)通过摸球实验，请你估计摸到红球的概率是_____________； (3)上述实验中，若袋中10个球中有3个黑球，为决定谁将获得仅有的一张电影票，设计了如下的摸球游戏，规则如下：如果摸到黑球，则小明获胜；如果摸到白球，则小颖获胜；如果抽到红球，则视为无效抽球，需将球放回袋中，游戏继续，这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由，如果不公平，请重新设计一个公平游戏． 一、单选题 1．一个不透明的袋子中有除颜色外完全相同的红色、黑色小球各一个，从中随机摸出一个小球，记录其颜色，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其颜色，那么两次都摸到黑球的概率为（　　） A． B． C． D． 2．一个不透明的盒子里有8个红球和若干个白球，红球和白球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.4，那么估计盒子中白球的个数为（   ） A．12 B．15 C．20 D．8 3．2024年11月，中国苹果产业协会和国家苹果产业技术体系最新联合发布，截至目前，中国苹果产量世界第一，当前我国已培育自主产权苹果新品种152个．某科学研究院为研究一类新品种苹果树的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示：估计这一类新品种苹果树成活的概率为（　　） 移植总数n 50 270 400 750 1500 3500 7000 10000 14000 成活总数m 47 235 369 682 1359 3203 6398 9102 12782 成活率 A． B． C． D． 4．已知人的卷舌性状由常染色体上的一对基因决定，决定能卷舌的基因R是显性的，不能卷舌的基因r是隐性的，因此决定能否卷舌的基因有三对，其中基因为和的人能卷舌，基因为的人不能卷舌，父母分别将他们一对基因中的一个基因等可能地遗传给子女．若父母的基因都是，则他们的子女可以卷舌的概率为（   ） A． B． C． D． 5．如图，为某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘制的频率分布折线图，则符合这一结果的实验是（   ） A．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 B．抛两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面朝上 C．掷一个正六面体的骰子，朝上点数是3的倍数 D．一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球 二、填空题 6．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果． 可以估计“钉尖向上”的概率是 ．（结果精确到0.01）． 7．如图，一个转盘被分成3个扇形，扇形A、扇形B、扇形C的圆心角分别为，，，自由转动转盘1次，则指针落在扇形A的概率是 ． 8．在一个不透明袋子里装有红球、黄球，其中红球16个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出黄球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数大约是 ． 9．十二生肖，作为中国传统文化的重要组成部分，具有深远的历史和丰富的文化内涵．小云购买了一套“十二生肖”主题邮票，他要将“猴”“牛”“蛇”“龙”四张邮票中的两张送给同学小南，小云将它们背面朝上放在桌面上，让小南从中随机抽取两张，四张邮票的大小、形状、质地、背面完全相同．则小南抽到的两张邮票恰好是“牛”和“龙”的概率是 ． 10．如图，两个带指针的转盘A，B分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是2，5，9，转盘B上的数字分别是3，6，8（两个转盘除表面数字不同之外，其他完全相同）．小美拨动A转盘上的指针，小丽拨动B转盘上的指针，使之旋转，指针停止后所指数字较大的一方获胜（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次），则 （填“小美”或“小丽”）获胜的可能性大．       B           A 2 5 9 3 2，3 5，3 9，3 6 2，6 5，6 9，6 8 2，8 5，8 9，8 三、解答题 11．小明的笔袋中有4支中性笔，其中3支为蓝色，1支为红色，且这4支中性笔的外观完全相同． (1)小明从笔袋中随机取出一支中性笔，则取出的中性笔为蓝色的概率为______； (2)小明从笔袋中随机取出两支中性笔，请用列表或画树状图的方法，求取出的两支中性笔都是蓝色的概率． 12．国庆假期，小明一家准备去西安某景点旅游，出发前需要采购一些生活用品，小明提议采用掷骰子的方式决定谁去采购．小明抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字），若向上的点数是3的倍数，则妈妈去；若向上的点数不是3的倍数，则爸爸去． (1)上述方式公平吗？请说明理由； (2)为了能使游戏更为公平，请你帮小明设计一种对爸爸、妈妈都公平的规则，并说明你的设计依据． 13．近日，国产大模型的爆火引发了全球科技界的广泛关注．人工智能（）是一种模拟人类智能行为的科学和技术．它通过计算机系统模拟、延伸和扩展人类的感知、推理、学习和决策等智能能力，使机器能够像人一样进行思考和处理问题．现有四场网络直播，这四场直播分别以A．机器人技术，B．计算机视觉，C．自然语言处理，D．专家系统为主题，对这四类人工智能分别进行讲解，这四场直播同时开始．乐乐和千千准备各自听一场网络直播然后两人互相分享，乐乐先从这四类中随机选择一类进直播间听讲解，然后千千从剩下的三类中随机选择一类进直播间听讲解，记乐乐的选择为x，千千的选择为y． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求乐乐和千千中有一人选择计算机视觉的概率P． A B C D A B C D 14．某班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 1000 落在“书画”区域的次数 60 122 180 298 604 落在“书画”区域的频率 0.6 0.61 0.6 0.59 0.604 (1)完成上述表格：______；______； (2)假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”奖品的概率约是______（精确到0.1）； (3)在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是多少度？ 15．新考法结合转盘考查概率的计算王老师要从班上选一个学生参加周末的志愿者服务活动，小红和小宇积极要求参加，但是只有一个指标，王老师为解决这个问题，拿出两个质地均匀的转盘A，B（如图），转盘A被四等分，分别标有数字1，2，3，4；转盘B 被三等分，分别标有数字5，6，7.制定如下规则：随意转动A，B转盘各一次，转盘停止后，将A，B转盘的指针所指数字相乘（指针指向两个扇形的交线时，重新转动转盘），若积为偶数，则小红参加；若积为奇数，则小宇参加． (1)这个规则对双方公平吗？请说明理由． (2)数学课代表小华认为只要在转盘 B上修改其中一个数字，就可以使这个规则对双方公平，请你写出小华是如何修改的． 转盘B 转盘A 1 2 3 4 5 6 7 16．某店举办“盲盒抽奖”活动，在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共30个，这些球除颜色外其余完全相同，每次摸奖，店员将球搅匀后，顾客从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，店员记录了抽奖数据如下： 摸球的次数 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到红球的次数 14 33 95 155 241 298 598 摸到红球的频率 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.299 (1)上表中的_____； (2)通过以上摸奖数据，摸到红球的概率估计为_____（结果精确到0.01）； (3)若先从袋子中取出个红球，不放回，再从袋子中随机摸出1个球，此时“摸出黑球”为必然事件，则_____； (4)若先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个红球的概率为．求的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 概率的进一步认识 目录 A题型建模・专项突破 题型一、列表法或画树状图法求概率 1 题型二、几何概率 4 题型三、利用概率求数量 7 题型四、游戏的公平性 9 题型五、用频率估计概率 13 题型六、频率和概率综合 15 B综合攻坚・能力跃升 题型一、列表法或画树状图法求概率 1．为了传承优秀传统文化，张掖四中开展“经典诵读”比赛活动．在不透明的盒子里放有4张相同的卡片，分别写有材料：《论语》；材料：《三字经》；材料：《弟子规》；材料：《千字文》．活动规则如下：搅匀后从盒子中任意抽取一张卡片，记录后放回，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛． (1)小明诵读《论语》的概率是________； (2)求小明和小亮诵读两个不同材料的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】(1) (2)小明和小亮诵读两个不同材料的概率为． 【分析】本题考查概率，解题的关键是熟练掌握概率的计算方法． （1）根据概率公式计算即可； （2）列出所有情况，用小明和小亮诵读不同材料的情况数与总情况数相比即可． 【详解】（1）解：∵诵读材料有四种：《论语》、《三字经》、《弟子规》、《千字文》， ∴小明诵读《论语》的概率为， 故答案为：． （2）解：列表如下： 小明小亮 由表格可知，共有种可能的结果，其中小明和小亮诵读两个不同材料的结果有种， ∴， 答：小明和小亮诵读两个不同材料的概率为． 2．为推进开展学校科学教育，某校组织学生开展了“科技创新月”活动，计划进行以下四项实验活动：A：马德堡半球；：塑料袋火箭；：色彩爆炸；D：火山爆发（要求全校学生都必须参加）．张老师将代表这四项实验活动的字母A、B、C、D分别写在四个大小相同的小球上，并将小球装在不透明的布袋中，参加活动的同学从布袋中随机摸出一个小球并记下小球上的字母，然后将小球放回，再去做对应的实验．甲抽到的实验结果记为，乙抽到的实验结果记为． (1)用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求该校参加活动的甲、乙两名同学所做的实验恰好相同的概率． 【答案】(1)图见解析，16种； (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率及简单的概率计算，理解题意是解题的关键． （1）画树状图得出所有等可能的结果数； （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及计算甲、乙两名同学所做实验恰好相同的概率，先统计符合条件的可能数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：画树状图如下： 由树状图可知共有16种等可能的结果； （2）解：由树状图可知，该校参加活动的甲、乙两名同学所做的实验恰好相同的结果有4种， ∴该校参加活动的甲、乙两名同学所做的实验恰好相同的概率为． 3．在一个不透明的箱子里装有个红色小球和个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里， (1)请问第一次摸到白球的概率是_____： (2)从箱子中任取一球，记下颜色后放回箱子里；摇匀后，再摸出个小球，请用画树状图或列表的方法，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率． 【答案】(1)； (2)两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为． 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，概率公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （）直接利用概率公式即可求解； （）利用列表法得到所有的等可能的结果数，得到符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵箱子里装有个红色小球和个白色小球， ∴第一次摸到白球的概率是， 故答案为：； （2）解：列表如下： 红 红 红 白 白 红 红红 红红 红红 白红 白红 红 红红 红红 红红 白红 白红 红 红红 红红 红红 白红 白红 白 红白 红白 红白 白白 白白 白 红白 红白 红白 白白 白白 一共有种等可能的结果，两次摸出的小球颜色恰好不同的有种， ∴两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为． 4．为了庆祝中华人民共和国成立75周年，某学校计划举办一系列丰富多彩的活动，旨在回顾历史，弘扬爱国主义精神，增强学生的国家认同感和社会责任感，李老师准备从9（2）班的A，B，C，3名学生中随机选取2名去参加演讲比赛． (1)“学生A，C都被选去参加演讲比赛”是 （填“必然”或“不可能”或“随机”）事件； (2)请用列表法或画树状图法，求学生A，B都被选去参加演讲比赛的概率． 【答案】(1)随机 (2) 【分析】本题主要考查了事件的分类，画树状图或列表法求概率，解题的关键是根据题意画出树状图或列出表格． （1）根据事件的分类方法进行解答即可； （2）根据题意画出表格，然后根据概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：“学生A，C都被选去参加演讲比赛”是随机事件． 故答案为：随机． （2）列表如下： A B C A B C 由表格可知，共有6种等可能的结果，其中学生A，B都被选去参加演讲比赛的结果有2种， ∴P（学生A，B都被选去参加演讲比赛）． 题型二、几何概率 5．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中空白区域的概率是 ．    【答案】 【分析】此题考查了几何概率计算公式以及其简单应用．注意面积之比几何概率． 击中空白区域的概率等于空白区域面积与正方形总面积之比． 【详解】解：设小正方形的面积为， ∵飞镖游戏板由大小相等的个小正方形格子构成， ∴飞镖游戏板的面积为，空白区域的面积为， ∴随意投掷一个飞镖，击中空白区域的概率为：． 故答案为：． 6．如图所示，镖盘为半径比为1：2的两个同心圆，其中阴影部分为小圆内部一个的扇形，向大圆上投掷飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查简单的概率计算——几何概率，分别求出阴影部分的面积和大圆的面积，它们的比值就是所求． 【详解】解： 设小圆的半径为r，则大圆半径为2r， ∴，， ∴， ∴飞镖落在阴影部分的概率为 故答案为：． 7．小明同学根据“赵爽弦图”设计了一个如图所示的的正方形飞镖盘，小明随机投掷一次飞镖，飞镖落在阴影区域的概率为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了几何概率问题，根据概率=相应的面积与总面积之比求解即可． 【详解】解：设小正方形的边长为1，则总面积为，阴影部分的面积为 ∴阴影部分的面积占总面积的， ∴飞镖落在阴影区域的概率为． 故答案为：． 8．如图所示，在圆形转盘中，，拨动指针，指针指向区域a的概率为，在矩形转盘中，，，拨动指针，指针指向区域的概率为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用几何图形求概率；由圆得圆中区域的圆心角为，可求出，由矩形的性质及等边三角形的判定及性质得，可得，可求出，即可求解；理解利用区域对应的角度进行求解是解题的关键． 【详解】解：由题意得 圆中区域的圆心角为， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ； 故答案为：． 题型三、利用概率求数量 9．一个不透明的袋子中装有红球和白球共10个，这些球除颜色不同外其余均相同．已知红球的数量比白球多2个，则随机从袋子中摸出2个球，都是白球的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 依据题意先算出白球有4个，则红球有6个，再用列表法法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率． 【详解】解：设白球有x个，则红球有个， 故， 解得：， 则白球有4个，则红球有6个， 列表如图： 白 白 白 白 红 红 红 红 红 红 白 白白 白白 白白 红白 红白 红白 红白 红白 红白 白 白白 白白 白白 红白 红白 红白 红白 红白 红白 白 白白 白白 白白 红白 红白 红白 红白 红白 红白 白 白白 白白 白白 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红白 红白 ∵一共有90种情况，两个球都是白球有12种， ∴(两个球都是白球)， 故答案为：． 10．在一次活动课上，老师拿来一个不透明的袋子，对学生说：里面只有红球和白球，它们除颜色外没有其他区别，已知白球有个，你能估算出红球的数量吗？小聪与他的小组成员设计了如下方案：先摸出一个小球，记录下颜色后放回，摇均匀后再摸一个小球，记下颜色，如此反复，他们记录表格如下： 摸球次数 摸到红球次数 请你根据小聪小组记录数据，估算红球的个数 ． 【答案】 【分析】本题考查了用频率估计概率，概率公式，解分式方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据图表求出红球概率，设袋中原有红色小球的个数为，根据概率公式列出算式，然后求解即可． 【详解】解：由图表可得摸到红球的概率为， 设袋中原有红色小球的个数为，则 ， 解得：， 经检验是原方程的解， 袋中原有红色小球的个数约为个， 故答案为：． 11．在一个不透明箱子里装有10个除颜色外都相同的红球和黑球，小红想知道箱子里红球的个数，于是她从箱子里随机摸出一个球，经过大量重复的试验后发现摸出红球的频率稳定在，则箱子中黑球的数量约为 个． 【答案】7 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用球的数量乘以红球的频率即可． 【详解】解：， ， 答：箱子中黑球的数量约为7， 故答案为：7． 12．近年来，济南环境保护效果显著，越来越多的候鸟选择来济过冬．为了解候鸟的情况，生物学家采用“捕获—标记—再捕获”的方法估计候鸟的数量．先随机捕捉40只候鸟，戴上标记卡并放回，经过一段时间后，重复进行5次捕捉．记录数据如下表，由此估计该区域约有 只候鸟． 累计捕捉数量（只） 100 200 350 420 480 带有标记卡数量（只） 13 24 44 52 60 【答案】 【分析】本题考查了频率估计概率，根据累计捕捉数量越大，计算出的频率越接近概率，据此即可作答． 【详解】解：依题意，，，，，， ∵累计捕捉数量越大，计算出的频率越接近概率， ∴（只） 故答案为：． 题型四、游戏的公平性 13．数学兴趣小组利用AI技术探究事件发生的概率，进行试验并将数据汇总填入下表： 试验总次数 100 200 300 400 500 事件出现的次数 28 64 87 165 事件发生的频率 (1)表中______，______，并把折线统计图补充完整； (2)根据以上数据可得事件发生的概率为______； (3)根据该试验结论，小组同学认为在一个装有若干黑球和白球的不透明袋子中，随机摸出一个球是黑球的概率为．已知袋子中球的总数不超过20个，请设计一种符合条件的黑球与白球的数量搭配方案． 【答案】(1)，124 (2) (3)黑球有3个，白球有7个（答案不唯一） 【分析】本题考查了折线统计图、概率公式． （1）根据事件P发生的频率等于可得a，b的值；根据题意补全折线统计图即可； （2）随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在附近，可知事件P发生的概率为； （3）结合概率公式按要求设计方案即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， 补全折线统计图如图所示． 故答案为：；124； （2）随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在附近， ∴事件P发生的概率为． 故答案为：； （3）黑球有3个，白球有7个（答案不唯一）， 此时袋中共有10个球， ∴随机摸出一个球是黑球的概率为，符合题意． 14．如图，现有一个转盘被平均分成6等份，分别标有2、3、4、5、6、7这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字，求： (1)转动转盘，转出的数字不大于5的概率； (2)小追和小梦一起做游戏，现有两张分别写有4和5的卡片，要随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．小追说：“若这三条线段能构成等腰三角形，则我赢”，小梦说：“若这三条线段构成的三角形的周长小于13，则我赢”，请问这个游戏规则对双方公平吗？试通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)公平；理由见解析 【分析】本题考查了用概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）分别求出这三条线段能构成等腰三角形的概率和三条线段构成的三角形的周长小于13的概率，再进行比较即可得到答案． 【详解】（1）解：转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，不大于5的结果有4种， 转出的数字不大于5的概率； （2）解：公平；理由如下： 转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能构成等腰三角形的结果有2种， （能构成等腰三角形）； 构成的三角形的周长小于13的结果有2种， （构成的三角形的周长小于13）， 这个游戏规则对双方公平． 15．2025年3月1日是中国民间传统节日“龙抬头”，这一天寓意着万物复苏、生机勃发．在这个特殊的日子，“学好中国字 做好中国人”文化行动研讨会在吴东魁艺术馆隆重举行．如图，一个转盘被平均分成10等份，分别标有“学”“好”“中”“国”“字”“做”“好”“中”“国”“人”这10个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字． (1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向“国”的概率是________，指针指向汉字的笔画数是奇数的概率是________； (2)小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画多于6画时小明获胜，否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平？并说明理由． 【答案】(1)， (2)游戏不公平，理由见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．实际考查概率的计算与游戏公平性的理解，用到的知识点为：概率为所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）分别计算出小明、小华获胜的概率，判断大小关系即可得出答案． 【详解】（1）解：转动转盘，当转盘停止时，指针指向“国”的概率是， 指针指向汉字的笔画数是偶数的有：“学”“好”“中”“国”“字”“好”“中”“国”“人”，有个，故指针指向汉字的笔画数是偶数的概率是， ∴指针指向汉字的笔画数是奇数的概率是； 故答案为：，； （2）解：游戏不公平，理由如下： 个汉字中笔画多于画的有：“学” ，“国” ，“国”， “做”， 个汉字中笔画不多于画的有： “好”“中” “字” “好”“中” “人”， 所以小明获胜的概率为，小华获胜的概率为，小明获胜的概率小华获胜的概率， 所以游戏不公平． 16．2024年中国航天取得了不少举世瞩目的成就，创造了多个航天史上的第一．为激发学生弘扬爱国奋斗精神，以航天英雄为榜样，不断攀登新的科学高峰，某校举办以“致敬航天人，共筑星河梦”为主题的演讲比赛．九（1）班的李丹和王阳都想参加比赛，他们演讲水平相当，但名额只有一个．为了公平起见，班委会决定用摸球的方式确定人选．规则如下：在一个不透明的袋子中装有4个小球，分别标有，0，1，2四个数字．这些小球除数字不同外，其他都完全相同，将袋内小球充分搅匀．班长第一次先从袋中随机摸出一个小球，记录所摸到小球上的数字，摸到负数不放回，否则放回；搅匀后，他第二次再从中随机摸出一个小球，记录所摸到小球上的数字．若班长第二次摸到的小球上的数字比第一次摸到的小球上的数字大，则李丹参加，否则，王阳参加． (1)班长第一次从4个小球中任意摸出1个球，摸到标有数字2的小球的概率为______； (2)请用画树状图或列表的方法说明这个规则对双方是否公平？ 【答案】(1) (2)这个规则对双方不公平，见解析 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）直接根据概率计算公式求解即可； （2）先画树状图得到所有等可能性的结果数，再得到第二次摸到的小球上的数字比第一次摸到的小球上的数字大的结果数，最后根据概率计算公式分别求出两人参加的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：班长第一次从4个小球中任意摸出1个球，摸到标有数字2的小球的概率为， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 由图可知，共有15种等可能的结果， 其中第二次摸到的小球上的数字比第一次摸到的小球上的数字大的结果有6种， ，． ， 这个规则对双方不公平． 题型五、用频率估计概率 17．某种绿豆在相同条件下发芽的试验结果如下表所示： 每批粒数 发芽的粒数 发芽的频率 根据表中数据，估计这种绿豆发芽的概率约是 ．（结果保留两位小数） 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．根据利用频率估计概率得到随实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在左右，由此该种绿豆发芽的概率的估计值为． 【详解】解：根据表中数据，估计这种绿豆发芽的概率约是， 故答案为：． 18．国家卫健委发布《中国青少年健康教育核心信息及释义（2018）版》称，青少年应控制电子产品使用，非学习目的的单次使用时间不宜超过15分钟，每天累计不宜超过1小时，我市调研了部分青少年电子产品使用时间，调研结果整理如下表： 调研总人数 500 1000 1500 2000 2500 3000 使用时长超过1小时的人数 380 759 1137 1522 1900 2280 使用时长超出规定时长人数的频率 从这3000名学生中任意选取一名学生，其每天使用电子产品时长超过1小时的概率为 ． 【答案】 【分析】根据频率估计概率的思想，按照精确度计算后取众数值即可得解． 本题考查了频数关键概率，熟练掌握计算是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，频数的众数为， 故时长超过1小时的概率为． 故答案为：． 19．如图，在一块长方形卡纸上，有不规则的阴影图案．某数学兴趣小组利用该卡纸设计了抛针试验：在同一条件下，往该卡纸上随机抛一枚大头针，重复试验并统计试验总次数及针尖落在阴影部分的次数（如下表）．由统计结果估计，往该卡纸上随机抛一枚大头针，针尖恰好落在阴影部分的概率约为 ．（保留一位小数） 试验总次数 50 100 150 200 250 300 针尖落在阴影部分的次数 31 66 91 119 152 181 针尖落在阴影部分的频率 0.620 0.660 0.607 0.595 0.608 0.603 【答案】 【分析】本题考查利用频率估算概率，根据概率是频率的稳定值，结合表格进行判断即可． 【详解】解：由表格可知，针尖恰好落在阴影部分的概率约为； 故答案为：． 20．为评估某外卖平台“准时送达”的服务质量，平台统计了不同订单量下“准时送达”的频率，并绘制了折线统计图．随着订单数量持续增加，“准时送达”的频率逐渐趋于稳定．据此估计，该平台外卖“准时送达”的概率约为 （结果精确到0.01）． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，解题的关键是结合图形读出概率． 本题考查用概率估计频率，根据大量重复实验频率逐渐稳定的数值即事件发生的概率解题即可． 【详解】解：由题图可看出，该平台外卖“准时送达”的概率在附近摆动，并逐渐稳定于， ∴概率的估计值是. 故答案为：． 题型六、频率和概率综合 21．小颖同学发现操场中有一个不规则的封闭图形如图所示，为了知道它的面积，她在封闭图形内画出了一个半径为的圆，在不远处向圆内掷石子，结果记录如下： 落在圆内（含圆上）次数 14 43 93 150 落在阴影内次数 23 91 186 300 请根据以上信息，回答问题： (1)石子落在圆内的概率约为________； (2)估计封闭图形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是利用频率估计概率； （1）用每次落在圆内（含圆上）次数除以总实验次数即可； （2）设封闭图形的面积为a，根据题意得：，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：观察表格得：随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在， ∴石子落在圆内的概率约为； （2）解：设封闭图形的面积为． 根据题意得，解得． 则估计封闭图形的面积为． 22．在一只不透明的袋子里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数                               摸到白球的次数                               摸到白球的频率                               (1)表中的______，______； (2)“摸到白球”的概率的估计值是______精确到； (3)如果袋中有个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ 【答案】(1)， (2) (3)个 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率、频数与频率，概率公式，掌握用频率估计概率的方法是解题的关键． （1）利用频率频数样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当很大时，摸到白球的频率接近； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数． 【详解】（1）解：依题意得：，， 故答案为：，； （2）解：根据题意，概率的估计值为， 故答案为：； （3）解： （个） 答：除白球外，还有大约个其它颜色的小球． 23．一个不透明的箱子里装着若干除颜色外其它均相同的小球，某数学兴趣小组从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，不断重复，得到如下数据： 摸球总次数 150 200 250 300 350 400 摸到红球的次数 98 126 150 173 198 摸到红球的频率 0.520 0.490 0.504 0.500 0.505 (1)上表中的________，________（小数形式）； (2)“摸到红球”的概率估计值为________；（精确到0.1） (3)若箱子中装有红、白、黑三种颜色的球共20个，其中白球的个数比黑球个数的2倍少2个，求摸到黑球的概率． 【答案】(1)78，0.495 (2)0.5 (3)摸到黑球的概率为0.2 【分析】本题考查了频率估计概率，求解随机事件的概率． （1）根据表中的数据，结合频数，频率，数据总数之间的关系可得答案； （2）由频率估计概率可得答案； （3）设黑球有个，则白球有个；可得，再进一步即可解答． 【详解】（1）解：，； （2）解：由表可知，当n很大时，摸到红球的频率将会接近， ∴摸到红球的概率估计值是； （3）解：设黑球有个，则白球有个； ∴， 解得：， ∴摸到黑球的概率为 答：摸到黑球的概率为． 24．某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有红球、黑球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据： 摸球次数 100 150 200 500 800 1000 2000 摸到红球的次数 52 72 262 404 499 1000 摸到红球的频率 0.52 0.51 0.524 0.505 0.499 0.5 (1)表中的_____________，_____________； (2)通过摸球实验，请你估计摸到红球的概率是_____________； (3)上述实验中，若袋中10个球中有3个黑球，为决定谁将获得仅有的一张电影票，设计了如下的摸球游戏，规则如下：如果摸到黑球，则小明获胜；如果摸到白球，则小颖获胜；如果抽到红球，则视为无效抽球，需将球放回袋中，游戏继续，这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由，如果不公平，请重新设计一个公平游戏． 【答案】(1)0.48；102 (2)0.5 (3)这个游戏不公平，理由见解析，新设计一个公平游戏见解析 【分析】此题考查了频率统计表，利用频率估计概率，概率公式，游戏公平性．大量反复试验下频率稳定值即概率．掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键． （1）用摸到红球的次数除以摸球的总次数，求出a；用摸球的总次数乘以摸到红球的频率，求出b； （2）根据图表给出的数据即可得出摸到红球的频率，然后用频率估计算概率即可； （3）根据摸到红球的频率计算出红球的个数，从而求出白球个数，再分别求出摸到的白球与黑球的概率，再比较即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：0.48；102． （2）解：由统计表可知：摸到红球的频率约为0.5， ∴估计摸到红球的概率是0.5． （3）解：由（2）摸到红球的概率是0.5， ∴红球的个数为（个）， ∴白球的个数为（个）， ∴摸到的白球的概率为 摸到的黑球的概率， ∵， ∴这个游戏不公平， 设计公平游戏为：将袋中红球拿出 1个换成白球，即袋中10个球，有3个黑球，3个白球，4个红球，或将袋中黑球拿出 1个换成红球，即袋中10个球，有2个黑球，2个白球，6个红球．规则不变，即为公平的游戏． 一、单选题 1．一个不透明的袋子中有除颜色外完全相同的红色、黑色小球各一个，从中随机摸出一个小球，记录其颜色，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其颜色，那么两次都摸到黑球的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 由树状图可知一共有4种等可能性的结果数，其中两次都摸到黑球的结果数有1种， ∴两次都摸到黑球的概率是， 故选：A． 2．一个不透明的盒子里有8个红球和若干个白球，红球和白球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.4，那么估计盒子中白球的个数为（   ） A．12 B．15 C．20 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率、概率公式的应用等知识点，应用概率公式解决实际问题是解题的关键． 设盒子中白球的个数为n个，根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：设盒子中白球的个数为n个， 根据题意得，解得：． 经检验，是分式方程的解， ∴盒子中白球的个数为12个． 故选A． 3．2024年11月，中国苹果产业协会和国家苹果产业技术体系最新联合发布，截至目前，中国苹果产量世界第一，当前我国已培育自主产权苹果新品种152个．某科学研究院为研究一类新品种苹果树的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示：估计这一类新品种苹果树成活的概率为（　　） 移植总数n 50 270 400 750 1500 3500 7000 10000 14000 成活总数m 47 235 369 682 1359 3203 6398 9102 12782 成活率 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用频率估计概率，根据表格频率接近，即可求解，理解概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，熟练掌握用频率估计概率的条件和方法是解题的关键． 【详解】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率， ∴估计这一类新品种苹果树成活的概率为， 故选：A． 4．已知人的卷舌性状由常染色体上的一对基因决定，决定能卷舌的基因R是显性的，不能卷舌的基因r是隐性的，因此决定能否卷舌的基因有三对，其中基因为和的人能卷舌，基因为的人不能卷舌，父母分别将他们一对基因中的一个基因等可能地遗传给子女．若父母的基因都是，则他们的子女可以卷舌的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：由题意画树状图为： 由树状图可知一共有4种等可能性的结果数，其中他们的子女可以卷舌的结果数有3种， ∴他们的子女可以卷舌的概率是， 故选：D． 5．如图，为某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘制的频率分布折线图，则符合这一结果的实验是（   ） A．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 B．抛两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面朝上 C．掷一个正六面体的骰子，朝上点数是3的倍数 D．一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球 【答案】C 【分析】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率等于所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式． 根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的频率，约为者即为正确答案． 【详解】解：A、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是，本选项不符合题意； B、抛两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面朝上的频率是，本选项不符合题意； C、掷一个正六面体的骰子，朝上点数是3的倍数，本选项符合题意； D、从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球的概率是，本选项不符合题意； 故选：C． 二、填空题 6．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果． 可以估计“钉尖向上”的概率是 ．（结果精确到0.01）． 【答案】 【分析】本题考查了用频率估计概率．当试验次数足够大，频率趋于稳定，此时可以频率来表示概率．用频率估计概率作答即可． 【详解】解：由题意知，估计“钉尖向上”的概率是， 故答案为：． 7．如图，一个转盘被分成3个扇形，扇形A、扇形B、扇形C的圆心角分别为，，，自由转动转盘1次，则指针落在扇形A的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率，直接求出扇形A的面积与整个转盘的面积的比值即可得到答案． 【详解】解；由题意得，自由转动转盘1次，则指针落在扇形A的概率是， 故答案为：． 8．在一个不透明袋子里装有红球、黄球，其中红球16个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出黄球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数大约是 ． 【答案】5 【分析】设黄球有x个，根据题意，得解答即可． 本题考查了摸球概率计算，熟练掌握概率计算方法是关键． 【详解】解：设黄球有x个，根据题意，得 解得． 经检验，是原方程的根． 由球的个数为整数，故大约为5个， 故答案为：5． 9．十二生肖，作为中国传统文化的重要组成部分，具有深远的历史和丰富的文化内涵．小云购买了一套“十二生肖”主题邮票，他要将“猴”“牛”“蛇”“龙”四张邮票中的两张送给同学小南，小云将它们背面朝上放在桌面上，让小南从中随机抽取两张，四张邮票的大小、形状、质地、背面完全相同．则小南抽到的两张邮票恰好是“牛”和“龙”的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法与画树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小南抽到的两张邮票恰好是“牛”和“龙”的概率． 【详解】解：“猴”“牛”“蛇”“龙”四张邮票分别用表示，画树状图如下， 由图可得，一共有12种等可能性的结果， 其中小南抽到的两张邮票恰好是“牛”和“龙”的有2种， ∴小南抽到的两张邮票恰好是“牛”和“龙”的概率是， 故答案为：． 10．如图，两个带指针的转盘A，B分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是2，5，9，转盘B上的数字分别是3，6，8（两个转盘除表面数字不同之外，其他完全相同）．小美拨动A转盘上的指针，小丽拨动B转盘上的指针，使之旋转，指针停止后所指数字较大的一方获胜（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次），则 （填“小美”或“小丽”）获胜的可能性大． 【答案】小丽 【分析】考查了判断游戏公平性．解题关键抓住判断游戏公平性要先计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 先用列表法求得各自获胜的概率，再进行比较进行判断即可． 【详解】解：列表得：       B           A 2 5 9 3 2，3 5，3 9，3 6 2，6 5，6 9，6 8 2，8 5，8 9，8 共有 9 种可能，其中小美获胜的次数为，小丽获胜的次数为5， ∴， ∴， ∴小丽的获胜可能性较大． 故答案为：小丽． 三、解答题 11．小明的笔袋中有4支中性笔，其中3支为蓝色，1支为红色，且这4支中性笔的外观完全相同． (1)小明从笔袋中随机取出一支中性笔，则取出的中性笔为蓝色的概率为______； (2)小明从笔袋中随机取出两支中性笔，请用列表或画树状图的方法，求取出的两支中性笔都是蓝色的概率． 【答案】(1) (2)取出的两支中性笔都是蓝色的概率为． 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率． （1）直接由概率公式即可得出结果； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中取出的两支中性笔都是蓝色的可能性有6种，再由概率公式求解即可得出结论． 【详解】（1）解：小明从笔袋中随机取出一支中性笔，则取出的中性笔为蓝色有3种情况， ∴小明能取到红笔的概率为：； （2）解：将3支蓝色笔记为A，B，C，1支为红色记为D，则画树状图为： 所有等可能的情况有12种，其中取出的两支中性笔都是蓝色的可能性有6种， ∴取出的两支中性笔都是蓝色的概率为． 12．国庆假期，小明一家准备去西安某景点旅游，出发前需要采购一些生活用品，小明提议采用掷骰子的方式决定谁去采购．小明抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字），若向上的点数是3的倍数，则妈妈去；若向上的点数不是3的倍数，则爸爸去． (1)上述方式公平吗？请说明理由； (2)为了能使游戏更为公平，请你帮小明设计一种对爸爸、妈妈都公平的规则，并说明你的设计依据． 【答案】(1)不公平，理由见解析， (2)若向上的点数是奇数，则妈妈去，若向上的点数是偶数，则爸爸去．（不唯一） 【分析】此题主要考查了概率公式，正确应用概率公式是解题关键． （1）直接得出是3的倍数的个数，再利用概率公式求出答案． （2）保证他们的概率相等即可． 【详解】（1）根据题意可知，抛掷这个骰子得到的数共6种等可能结果，其中是3的倍数是3，6共2种结果， 所以向上的点数是3的倍数的概率为：． 向上的点数不是3的倍数的概率为：． ∴爸爸去的概率大，不公平， （2）保证爸爸、妈妈去的概率相等即可； 如：若向上的点数是奇数，则妈妈去，若向上的点数是偶数，则爸爸去，此时他们的概率为，所以公平． 13．近日，国产大模型的爆火引发了全球科技界的广泛关注．人工智能（）是一种模拟人类智能行为的科学和技术．它通过计算机系统模拟、延伸和扩展人类的感知、推理、学习和决策等智能能力，使机器能够像人一样进行思考和处理问题．现有四场网络直播，这四场直播分别以A．机器人技术，B．计算机视觉，C．自然语言处理，D．专家系统为主题，对这四类人工智能分别进行讲解，这四场直播同时开始．乐乐和千千准备各自听一场网络直播然后两人互相分享，乐乐先从这四类中随机选择一类进直播间听讲解，然后千千从剩下的三类中随机选择一类进直播间听讲解，记乐乐的选择为x，千千的选择为y． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求乐乐和千千中有一人选择计算机视觉的概率P． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了概率的基本概念与计算方法，列举法（列表法或树状图法），通过列表法或树状图法可以清晰地展示所有可能的结果，这是求概率的基础． （1）根据题意由列表法或树状图法可以清晰地展示所有可能的结果即可． （2）在得出所有结果后，找出满足“乐乐和千千中有一人选择计算机视觉”的结果数，再根据概率公式（其中 n 是所有可能结果数，m 是事件A发生的结果数）计算概率． 【详解】（1）解：列表如下： A B C D A B C D 由表可得，共有12种等可能的结果； （2）解：由表格可知，乐乐和千千中有一人选择计算机视觉的共有6种结果， 分别为：， 记作事件M：乐乐和千千中有一人选择计算机视觉， ． 14．某班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 1000 落在“书画”区域的次数 60 122 180 298 604 落在“书画”区域的频率 0.6 0.61 0.6 0.59 0.604 (1)完成上述表格：______；______； (2)假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”奖品的概率约是______（精确到0.1）； (3)在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是多少度？ 【答案】(1)295；0.745 (2)0.6 (3) 【分析】本题考查利用频率估计概率、扇形统计图、可能性大小，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答本题． （1）根据频率频数总数求解即可； （2）根据表格中的数据可以估计频率是多少以及转动该转盘一次，获得“书画作品”的概率； （3）用乘以获得“手工”奖品的概率即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：295；0.745； （2）估计当很大时，频率将会接近0.6， 即假如转动该转盘一次，获得“书画”奖品的概率约是0.6， 故答案为：0.6； （3）， 答：在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是． 15．新考法结合转盘考查概率的计算王老师要从班上选一个学生参加周末的志愿者服务活动，小红和小宇积极要求参加，但是只有一个指标，王老师为解决这个问题，拿出两个质地均匀的转盘A，B（如图），转盘A被四等分，分别标有数字1，2，3，4；转盘B 被三等分，分别标有数字5，6，7.制定如下规则：随意转动A，B转盘各一次，转盘停止后，将A，B转盘的指针所指数字相乘（指针指向两个扇形的交线时，重新转动转盘），若积为偶数，则小红参加；若积为奇数，则小宇参加． (1)这个规则对双方公平吗？请说明理由． (2)数学课代表小华认为只要在转盘 B上修改其中一个数字，就可以使这个规则对双方公平，请你写出小华是如何修改的． 【答案】(1)不公平，见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了游戏公平性的判断，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．游戏是否公平，关键要看游戏双方取胜的机会是否相等，采用列表法分别求出小红、小宇参加的概率，判断概率是否相等． 【详解】（1）不公平；理由如下： 根据题意列表如下： 转盘B 转盘A 1 2 3 4 5 6 7 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中积是奇数的结果有4种，积是偶数的结果有8种，                    （小宇参加），P（小红参加）， ， 这个规则对双方不公平； （2）将B转盘上的数字6改成奇数即可； ，4与任何整数相乘都是偶数， 只要满足1，3与转盘B上的数字的乘积是奇数即可． 16．某店举办“盲盒抽奖”活动，在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共30个，这些球除颜色外其余完全相同，每次摸奖，店员将球搅匀后，顾客从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，店员记录了抽奖数据如下： 摸球的次数 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到红球的次数 14 33 95 155 241 298 598 摸到红球的频率 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.299 (1)上表中的_____； (2)通过以上摸奖数据，摸到红球的概率估计为_____（结果精确到0.01）； (3)若先从袋子中取出个红球，不放回，再从袋子中随机摸出1个球，此时“摸出黑球”为必然事件，则_____； (4)若先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个红球的概率为．求的值． 【答案】(1)0.28 (2)0.30 (3)9 (4)3 【分析】此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应频率． （1）根据表中的数据计算即可； （2）由表中摸球次数逐渐增大后，摸到红球的频率逐渐靠近于0.3，从而得出摸到红球的概率； （3）根据盒子里有9个红球，再根据“摸出黑球”为必然事件，从而得出； （4）根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解： ． 故答案为：0.28； （2）解：通过以上实验，摸到红球的概率估计为， 故答案为：； （3）解：摸到红球的概率估计为0.3， 盒子里红球的数量为（个）， “摸出黑球”为必然事件， ． 故答案为：9； （4）解：由（3）知红球9个，黑球21个，根据题意得： ， 解得：， 答：的值为3． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$