第三章 概率的进一步认识（知识清单）数学北师大版九年级上册

第三章 概率的进一步认识 【知识点1】概率 1.概率的概念[来源:学科网] 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A).[来源:学科网ZXXK] 【知识点2】概率的计算 （1）公式法 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率为P(A)＝ （2）列表法 当一次试验要涉及两个因素(例如掷两个骰子)并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. （3）画树状图 当一次试验要涉及3个或更多的因素(例如从3个口袋中取球)时，列表就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图. （4）几何概型 一般是用几何图形的面积比来求概率，计算公式为：P(A)＝,解这类题除了掌握概率的计算方法外，还应熟练掌握几何图形的面积计算. （5） 游戏公平性 判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率都相等，则游戏公平，否则不公平. 【知识点3】用频率估计概率 1.频率与概率的定义 频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值. 概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）. 2.频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. 3.利用频率估计概率 当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率. 易错点1 模球实验中的有放回与无放回易错问题 1.易错问题总结： 有放回时，每次摸球概率独立不变，如连续摸2次红球概率为单次概率平方；无放回时概率受前次结果影响，需用组合数计算，易混淆两种情境下的概率公式。 计算“至少”类问题时，有放回可用对立事件简化，无放回易因忽略剩余球数变化导致计算错误。 2.注意事项总结 明确实验规则：判断是否放回，确定样本空间是否变化，有放回样本数恒定，无放回随次数减少。 区分有序与无序：有放回注重顺序，无放回用组合时需注意是否有序，避免重复或遗漏计数。 例题1．2023年10月15日上午，我校迎来了重量级嘉宾一曼联传奇球星，英超欧冠双料射手王德怀特·约克和陕西长安联合足球俱乐部优秀球员糜昊伦，与同学们面对面交流指导．为了进一步普及和推广足球运动，发扬光大“足球精神”，初一年级体育组在第二课堂活动中安排了班级之间的足球比赛．经过第一轮的比拼后，四个班级、、、进入半决赛．半决赛中对阵班级按如下方式决定：准备四张一模一样的卡片，在卡片的正面写上四个班级的名字，将卡片背面朝上放在桌上，随机地从中依次无放回地抽取两张卡片，抽取到的两张卡片代表的班级比赛，剩余两个班级进行比赛． (1)抽第一张卡片时，抽到班的概率为________； (2)请用树状图或者列表法求出半决赛中班与班进行比赛的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率，注意是放回实验还是不放回实验是解题的关键． （1）根据概率公式直接得出答案； （2）根据题意先画列表列求出所有等可能结果数，根据概率公式求解即可． 【详解】（1）∵有A、B、C、D四张卡片， ∴抽到D班的概率为． 故答案为：； （2）列表如下： 共有12种等可能的结果，其中抽到A班和B班进行比赛的结果有2种， ∴半决赛中A班与B班进行比赛的概率为． 易错点2 几何概率问题 1.易错问题总结 混淆几何度量类型：误将长度、面积、体积等度量方式混用，如在平面问题中错用线段长度计算概率。 忽略等可能性：未确保基本事件在几何区域内均匀分布，导致概率计算基于非均匀模型而出错。 2.注意事项总结 明确几何模型：根据问题场景确定用长度、面积还是体积作为度量，保证样本空间与事件的度量维度一致。 验证均匀性：确认随机点在区域内等可能分布，必要时通过图形分割或坐标转换简化计算。 例题2．（1）如图1，一边长为的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率． （2）如图2，是由边长分别为和的两个正方形组成的图案，若在图案内随机取一点P，则点P恰好在阴影部分的概率是 ． （3）若一个小玻璃球在如图3所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌，甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上，乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上，你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明． 【答案】（1） （2） （3）乙获胜的概率大，理由见解析 【分析】本题考查几何概率的求法，掌握正方形面积和阴影部分面积的计算方法是解题关键． （1）用阴影部分的面积除以总面积即可； （2）用阴影部分的面积除以总面积即可； （3）分别求出两人获胜的概率即可解答． 【详解】解：（1）根据题意，图中正方形的面积为， 图中阴影部分的面积为：， 则它击中阴影部分的概率：； （2）∵图形的总面积为，阴影部分面积为， ∴点P恰好在阴影部分的概率是：； （3）乙获胜的概率大，理由如下： 由图可知：甲获胜的概率为：，乙获胜的概率为：， ∴， 故乙获胜的概率大． 易错点3 求概率涉及其他知识点的综合问题 1.易错问题总结 知识衔接断层：如与函数结合时，误将概率定义域等同于函数定义域；与数列结合时，忽略概率事件的递推逻辑。 逻辑分层混乱：多步骤问题中，混淆分步与分类计数原理，或在含统计图表题中误读数据与概率的对应关系。 2.注意事项总结 拆解知识链条：明确各模块衔接点，如用不等式确定概率事件范围时，先厘清变量取值逻辑。 分步验证逻辑：复杂问题按“事件分解→对应知识点套用→概率公式计算”分步推进，每步验证合理性。 例题3．甲、乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图．游戏规定：转动两个转盘停止后，指针必须指到某一数字，否则重转． (1)甲先单独转A转盘，转到4的概率_____； (2)请用树状图或列表法列出所有可能的结果； (3)若指针所指的两个数字都是方程的解时，则甲获性；若指针所指的两个数字都不是方程的解时，则乙获胜．问他们两人谁获胜的概率大？请分析说明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)甲获胜的概率更大，说明见解析 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，解一元二次方程．解题的关键是注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）列出表格，进行求解即可； （3）求出方程的解，分解求出两人获胜的概率，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，转到4的概率为； 故答案为： （2）由题意，列出树状图如下： （3）此游戏乙获胜的概率更大，理由如下： 解方程得：， 所以，从上表中可看出，指针所指的两个数字有12种等可能的结果， 其中两个数字都是方程的解有4次，两个数字都不是方程的解有2次， 所以，P（甲胜）=，P（乙胜）=， 所以，此游戏甲获胜的概率更大． 易错点4 概率与统计的综合问题 1.易错问题总结 数据解读偏差：误将频率直接等同于概率，忽略大样本下频率的稳定性；或混淆统计量（如均值、方差）与概率事件的关联。 抽样逻辑混淆：分层抽样中错算各层概率权重，或在独立性检验时误将相关性当作因果性，导致概率推断错误。 2.注意事项总结 明确频率与概率关系：用频率估计概率需基于足够样本，区分“实际数据”与“理论概率”的差异。 紧扣抽样与检验规则：按抽样方法确定概率计算的样本基数，独立性检验中严格遵循卡方值判断逻辑，不牵强关联。 例题4．2024年8月12日，2024巴黎奥运会落下帷幕．6名贵州籍运动员为国征战，赢得了3枚奥运金牌．射击运动员谢瑜在男子10米气手枪项目中获得金牌，为中国队夺得第三金，这也是贵州历史上第一个射击奥运冠军．为了解学生对观看奥运比赛的喜爱程度，某兴趣小组在本校随机抽取部分学生进行调查，被调查的每个学生按A（非常喜欢），B（比较喜欢），C（一般），D（不喜欢）四个等级进行评价．绘制成如下两幅不完整的统计图（如图①，图②）．请你结合图中信息解答下列问题： (1)这次被调查的学生共有________人；并补全条形统计图； (2)在A（非常喜欢），B（比较喜欢），C（一般），D（不喜欢）这四个等级中，选择________等级的人数是最多的，调查数据的中位数落在________等级． (3)学校决定成立“羽毛球”“篮球”“乒乓球”“排球”四个球类运动社团．若小亮、小颖都只能参加其中一个社团，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一社团的概率． 【答案】(1)300，画图见解析 (2)B，B (3) 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合、求中位数、树状图求概率等知识点，从统计图中获取所需信息是解题的关键． （1）用组的人数除以其所占的百分比即可求得总人数；总人数减去组人数即可求出组的人数，最后补全条形统计图即可； （2）比较各个等级即可得出人数最多；根据中位数是第150、151个数据的平均数，即可解答； （3）先利用树状图确定所有等可能结果数和满足题意的结果数，然后运用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：这次被调查的学生共有（人）， 故答案为：300； ∴组的人数为（人）， 补全条形统计图： （2）解：∵， ∴选择B等级的人数是最多的， 将所有数据按等级人数从小到大排列，有60人，有110人,有90人，有40人，总共有300个数据，中位数是第150和151个数据的平均数．前A和B等级共有人， 所以第150、151个数据都在等级，故中位数落在等级． 故答案为：B，B； （3）解：“羽毛球”“篮球”“乒乓球”“排球”四个球类运动社团分别用E、F、G、H， 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中他们选择同一社团的结果有4种， ∴他们选择同一社团的概率为． 一、单选题 1．不透明的袋子中有两枚白色棋子，一枚黑色棋子，三枚棋子除颜色外无其他差别．从中随机摸出一枚棋子，放回并摇匀，再从中随机摸出一枚棋子，则第一次摸到白色棋子、第二次摸到黑色棋子的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，列表可得出所有等可能的结果数以及第一次摸到白色棋子、第二次摸到黑色棋子的结果数，再利用概率公式可得出答案．熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 【详解】解：列表如下： 白 白 黑 白 （白，白） （白，白） （白，黑） 白 （白，白） （白，白） （白，黑） 黑 （黑，白） （黑，白） （黑，黑） 共有9种等可能的结果，其中第一次摸到白色棋子、第二次摸到黑色棋子的结果有2种， ∴第一次摸到白色棋子、第二次摸到黑色棋子的概率为， 故选：A． 2．如图，在中，对角线，相交于点O，若在内随机取点，则点落在内的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何概率，平行四边形的性质，关键是求出的面积与平行四边形的面积之比．先根据平行四边形的性质得出，求出的面积与的面积之比，即可得出点落在内的概率． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴的面积占面积的， ∴点落在内的概率为， 故选：C． 3．如图，在四张完全相同的卡片上依次写有四个实数，将卡片置于暗箱中，摇匀后随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字都是无理数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了概率的求解，准确画出树状图是解题的关键． 根据题意准确画出树状图，确定总共12种等可能性结果，抽取的两张卡片上的数字都是无理数的结果有2种，即可求解． 【详解】解：画树状图如图 共12种等可能性结果．抽取的两张卡片上的数字都是无理数的结果有2种， ∴抽取的两张卡片上的数字都是无理数的概率是． 故选D． 二、填空题 4．从标有数字1，2，3，4，5的五张卡片中，无放回地随机抽取两张，将抽取的卡片上的数字组成一个两位数，所组成的两位数的数字中为偶数的概率为 ． 【答案】 【分析】根据题意列表，然后根据概率公式列式计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意，列表如下：      1 2 3 4 5 1 12 13 14 15 2 21 23 24 25 3 31 32 34 35 4 41 42 43 45 5 51 52 53 54 由上表可知，一共有20种等可能性的情况，其中所组成的两位数的数字中为偶数的情况有8种， ∴所组成的两位数的数字中为偶数的概率为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法求概率，解题的关键在于明确：概率=所求情况数与总情况数之比． 5．如图，是中边的中线，点E是的中点，连接、，现随机向内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率，三角形中线性质，根据三角形的中线性质得到，然后得到，进而求解即可． 【详解】解：∵是中边的中线， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴针尖落在阴影区域的概率是． 故答案为：． 6．在一个不透明的布袋里装有4个标号为，，，的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小慧从布袋里随机取出一个小球，记下数字为，小莹从剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为，这样确定了点的坐标．则点在函数的图象上的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了画树状图求概率， 先画出树状图，即可得出所有可能出现的结果，进而得出符合题意的结果，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图， 点所有可能的坐标有，，，，，，，，，，，，共12种，其中在函数图象上的有2种，即，， 点在函数图象上的概率为． 故答案为：． 三、解答题 7．在如图所示的地板（图中每一块方砖除颜色外完全相同）中，每块方砖的边长为，小猫在地板上自由走动，并随意停留在某块方砖上．求小猫停留在阴影区域的概率． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率，根据图形求出阴影部分的面积和地板的面积，再根据概率公式计算即可求解，掌握概率的计算方法是解题的关键． 【详解】解：由图可知，阴影区域的面积个阴影小三角形的面积块方砖的面积， 地板的面积为， ∴小猫停留在阴影区域的概率为． 8．如图，4张卡片正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同，现将所有卡片背面朝上洗匀． (1)若从中随机抽取一张，这张卡片正面图案呈现的现象恰好属于化学变化的概率是_____． (2)若从中任意抽取2张（先抽取1张卡片，不放回，再抽取1张卡片），求抽取的两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率．（请用画树状图或列表法等方法说明理由） 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，简单的概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题的关键． （1）利用简单的概率公式求解即可； （2）画出树状图，得到共有12种等可能的结果，其中这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的结果有：，共2种，即可求解． 【详解】（1）解：四张卡片中两张属于化学变化， ∴从中随机抽取一张，这张卡片正面图案呈现的现象恰好属于化学变化的概率是， 故答案为：； （2）解：将4张卡片分别记为A，B，C，D，则属于化学变化的有A和D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的结果有：，共2种， ∴这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率为． 9．一个布袋里装有1个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同．      (1)从布袋中摸一次球，摸到白球的可能性为_____； (2)若从布袋中先摸出一个球，无放回，再从口袋中摸出一个球，用树状图法求出两次摸出的球都是红球的概率是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）先将树状图补充完整，得到所有可能的结果数，然后找出符合条件的结果数，再根据概率公式进行计算即可得． 【详解】（1）解：∵布袋中一共有3个球，其中白球1个， ∴从布袋中摸一次球，摸到白球的可能性为， 故答案为： ； （2）   由树状图可知，共有6种等可能结果，其中摸出两次都是红球的情况有2种， 分别为（红1，红2）、（红2，红1）（记作事件）， ∴． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 10．如图，有甲、乙两个完全相同的转盘均被分成两个区域，甲转盘中区域的圆心角是，乙转盘中区域的圆心角是，自由转动转盘（如果指针指向区域分界线则重新转动）． (1)转动甲转盘一次，求指针指向区域的概率． (2)自由转动两个转盘各一次，利用树状图或列表法，求两个转盘指针同时指向区域的概率． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）用除以即可求解； （）列表求出总的结果数和两个转盘指针同时指向区域的结果数，利用概率公式计算即可求解； 本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握概率的计算公式是解题的关键． 【详解】（1）解：转动甲转盘一次，指针指向区域的概率为； （2）解：列表如图：    乙 甲 由表可得，共有种等可能的结果，两个转盘指针同时指向区域的结果有种， ∴两个转盘指针同时指向区域的概率为． 11．春节期间小昆和小明玩游戏赢《哪吒2》的电影票，游戏规则如下：在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3的三个小球（除标号外无其它差异）．从口袋中随机摸出一个小球，记下小球的标号后再放回；再从口袋中随机摸出一个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用，表示．若能被3整除则小昆赢；若能被4整除，则小明赢． (1)用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1)列表见解析，可能出现的结果一共有9种 (2)这个游戏是公平的，见解析 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，判断游戏的公平性，熟练掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键； （1）通过列表法即可得所有可能出现的结果数； （2）根据（1）的结果，分别找出能被3整除、能被4整除的结果数，利用概率公式分别求解后进行比较即可． 【详解】（1）解：（1）列表如下， 1 2 3 1 2 3 由表可知，可能出现的结果一共有9种． （2）由列表法可知，在9种可能出现的结果中，它们出现的可能性相等， 设能被3整除记为事件A，有3种情况： 即、、． ∴． 设能被4整除记为事件，有3种情况： 即、、． ∴． ∵ ∴这个游戏是公平的． 12．一个不透明的袋子中，装有编号分别为数字1、2、3的3个小球．这些小球除了所标数字不同外无其他差别，将袋子中的小球充分搅匀． (1)随机摸出1个小球，摸到“数字是奇数”的概率是___________； (2)随机摸出1个小球（不放回），记下数字作为点M的横坐标x，再从剩余的小球中随机摸出1个小球，记下数字作为点的纵坐标，求点在一次函数的图象上的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法求概率，一次函数的图象，熟练掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键； （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）列出表格，再根据概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：随机摸出1个小球，摸到“数字是奇数”的概率； （2）列表如下：（列表法、树状图表示均可） 1 2 3 1 2 3 ，即， 经检验，在这6个点中，只有在上， 故点在一次函数的图象上的概率． 13．在一个不透明的袋中有大小、形状和质地等完全相同的小球，它们分别标有数字，0，1，．将袋中的小球搅匀后，先从袋中任意摸出一小球，记下数字后放回，搅匀小球，再从袋中摸出另一小球记下数字． (1)请你表示摸出小球上的数字可能出现的所有结果； (2)规定游戏规则：如果摸出的两个小球上的数字都是方程的根，那么小明赢；如果摸出的两个小球上的数字都不是方程的根，那么小亮赢．你认为这个游戏规则对小明、小亮双方公平吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)游戏不公平，理由见解析 【分析】此题主要考查了游戏的公平性，根据已知列举出所有结果是解题关键， （1）根据摸球方法列举出摸出小球上的数字可能出现的所有结果即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程，得出方程的根，分别得出摸出的两个小球上的数字都是方程的根的可能一共有种，摸出的两个小球上的数字都不是方程的根的可能一共有种，进而求出两人获胜的概率． 【详解】（1）解：可能出现的结果列表如下： 0 1 2 0 1 2 共有种结果； （2）解：， 即， 解得或， 由（1）知摸出的两个小球上的数字都是方程的根的可能一共有种，摸出的两个小球上的数字都不是方程的根的可能一共有种， 小明赢的概率为；而小亮赢的概率为， 游戏不公平． 14．贵州山川秀美，景色迷人，是中国西部的一个黄金旅游区．为了奖励员工，某公司计划组织一次旅游活动，有以下四个地点供选择：A．花江铁索桥；B．马岭河峡谷；C．二十四道拐；D．万峰林．现随机调查了部分员工最想去的旅游地点，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图． 请你根据统计图中的信息，解答下列问题： (1)这次调查一共抽取了________名员工；扇形统计图中，旅游地点D所对应的扇形圆心角的度数为________． (2)请补全条形统计图． (3)在选择旅游地点C的员工中，甲，乙，丙，丁4人表现最为积极，现打算从这4人中任选2人作为本次旅游活动的策划员，请用列表或画树状图的方法求出选中的两人中一定有甲的概率． 【答案】(1)50， (2)见解析 (3) 【分析】（1）先用旅游地点B的人数除以百分比得到总人数，再利用旅游地点D的百分比即可得到其圆心角度数； （2）求出旅游地点C的人数，补全条形统计图即可； （3）画出树状图得到所有的等可能性的结果，然后找到选中的两人中一定有甲的结果数，最后利用概率公式求解即可得到答案． 此题考查了条形统计图和扇形统计图的关联，树状图法或列表法求概率，熟练掌握树状图法或列表法求概率是关键． 【详解】（1）解：（名），即这次调查一共抽取了名员工； 即旅游地点D所对应的扇形圆心角的度数为， 故答案为：50， （2）解：选择旅游地点C的员工数为（名） 补全条形统计图如图①所示． （3）画树状图如下： 由树状图可知，可能出现的结果有12种，并且它们出现的可能性相等，其中选中的两人中一定有甲的结果有6种，所以选中的两人中一定有甲的概率为． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 概率的进一步认识 【知识点1】概率 1.概率的概念[来源:学科网] 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A).[来源:学科网ZXXK] 【知识点2】概率的计算 （1）公式法 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率为P(A)＝ （2）列表法 当一次试验要涉及两个因素(例如掷两个骰子)并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. （3）画树状图 当一次试验要涉及3个或更多的因素(例如从3个口袋中取球)时，列表就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图. （4）几何概型 一般是用几何图形的面积比来求概率，计算公式为：P(A)＝,解这类题除了掌握概率的计算方法外，还应熟练掌握几何图形的面积计算. （5） 游戏公平性 判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率都相等，则游戏公平，否则不公平. 【知识点3】用频率估计概率 1.频率与概率的定义 频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值. 概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）. 2.频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. 3.利用频率估计概率 当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率. 易错点1 模球实验中的有放回与无放回易错问题 1.易错问题总结： 有放回时，每次摸球概率独立不变，如连续摸2次红球概率为单次概率平方；无放回时概率受前次结果影响，需用组合数计算，易混淆两种情境下的概率公式。 计算“至少”类问题时，有放回可用对立事件简化，无放回易因忽略剩余球数变化导致计算错误。 2.注意事项总结 明确实验规则：判断是否放回，确定样本空间是否变化，有放回样本数恒定，无放回随次数减少。 区分有序与无序：有放回注重顺序，无放回用组合时需注意是否有序，避免重复或遗漏计数。 例题1．2023年10月15日上午，我校迎来了重量级嘉宾一曼联传奇球星，英超欧冠双料射手王德怀特·约克和陕西长安联合足球俱乐部优秀球员糜昊伦，与同学们面对面交流指导．为了进一步普及和推广足球运动，发扬光大“足球精神”，初一年级体育组在第二课堂活动中安排了班级之间的足球比赛．经过第一轮的比拼后，四个班级、、、进入半决赛．半决赛中对阵班级按如下方式决定：准备四张一模一样的卡片，在卡片的正面写上四个班级的名字，将卡片背面朝上放在桌上，随机地从中依次无放回地抽取两张卡片，抽取到的两张卡片代表的班级比赛，剩余两个班级进行比赛． (1)抽第一张卡片时，抽到班的概率为________； (2)请用树状图或者列表法求出半决赛中班与班进行比赛的概率． 易错点2 几何概率问题 1.易错问题总结 混淆几何度量类型：误将长度、面积、体积等度量方式混用，如在平面问题中错用线段长度计算概率。 忽略等可能性：未确保基本事件在几何区域内均匀分布，导致概率计算基于非均匀模型而出错。 2.注意事项总结 明确几何模型：根据问题场景确定用长度、面积还是体积作为度量，保证样本空间与事件的度量维度一致。 验证均匀性：确认随机点在区域内等可能分布，必要时通过图形分割或坐标转换简化计算。 例题2．（1）如图1，一边长为的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率． （2）如图2，是由边长分别为和的两个正方形组成的图案，若在图案内随机取一点P，则点P恰好在阴影部分的概率是 ． （3）若一个小玻璃球在如图3所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌，甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上，乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上，你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明． 易错点3 求概率涉及其他知识点的综合问题 1.易错问题总结 知识衔接断层：如与函数结合时，误将概率定义域等同于函数定义域；与数列结合时，忽略概率事件的递推逻辑。 逻辑分层混乱：多步骤问题中，混淆分步与分类计数原理，或在含统计图表题中误读数据与概率的对应关系。 2.注意事项总结 拆解知识链条：明确各模块衔接点，如用不等式确定概率事件范围时，先厘清变量取值逻辑。 分步验证逻辑：复杂问题按“事件分解→对应知识点套用→概率公式计算”分步推进，每步验证合理性。 例题3．甲、乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图．游戏规定：转动两个转盘停止后，指针必须指到某一数字，否则重转． (1)甲先单独转A转盘，转到4的概率_____； (2)请用树状图或列表法列出所有可能的结果； (3)若指针所指的两个数字都是方程的解时，则甲获性；若指针所指的两个数字都不是方程的解时，则乙获胜．问他们两人谁获胜的概率大？请分析说明． 易错点4 概率与统计的综合问题 1.易错问题总结 数据解读偏差：误将频率直接等同于概率，忽略大样本下频率的稳定性；或混淆统计量（如均值、方差）与概率事件的关联。 抽样逻辑混淆：分层抽样中错算各层概率权重，或在独立性检验时误将相关性当作因果性，导致概率推断错误。 2.注意事项总结 明确频率与概率关系：用频率估计概率需基于足够样本，区分“实际数据”与“理论概率”的差异。 紧扣抽样与检验规则：按抽样方法确定概率计算的样本基数，独立性检验中严格遵循卡方值判断逻辑，不牵强关联。 例题4．2024年8月12日，2024巴黎奥运会落下帷幕．6名贵州籍运动员为国征战，赢得了3枚奥运金牌．射击运动员谢瑜在男子10米气手枪项目中获得金牌，为中国队夺得第三金，这也是贵州历史上第一个射击奥运冠军．为了解学生对观看奥运比赛的喜爱程度，某兴趣小组在本校随机抽取部分学生进行调查，被调查的每个学生按A（非常喜欢），B（比较喜欢），C（一般），D（不喜欢）四个等级进行评价．绘制成如下两幅不完整的统计图（如图①，图②）．请你结合图中信息解答下列问题： (1)这次被调查的学生共有________人；并补全条形统计图； (2)在A（非常喜欢），B（比较喜欢），C（一般），D（不喜欢）这四个等级中，选择________等级的人数是最多的，调查数据的中位数落在________等级． (3)学校决定成立“羽毛球”“篮球”“乒乓球”“排球”四个球类运动社团．若小亮、小颖都只能参加其中一个社团，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一社团的概率． 一、单选题 1．不透明的袋子中有两枚白色棋子，一枚黑色棋子，三枚棋子除颜色外无其他差别．从中随机摸出一枚棋子，放回并摇匀，再从中随机摸出一枚棋子，则第一次摸到白色棋子、第二次摸到黑色棋子的概率是（   ） A． B． C． D． 白 白 黑 白 （白，白） （白，白） （白，黑） 白 （白，白） （白，白） （白，黑） 黑 （黑，白） （黑，白） （黑，黑） 2．如图，在中，对角线，相交于点O，若在内随机取点，则点落在内的概率是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在四张完全相同的卡片上依次写有四个实数，将卡片置于暗箱中，摇匀后随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字都是无理数的概率是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．从标有数字1，2，3，4，5的五张卡片中，无放回地随机抽取两张，将抽取的卡片上的数字组成一个两位数，所组成的两位数的数字中为偶数的概率为 ．      1 2 3 4 5 1 12 13 14 15 2 21 23 24 25 3 31 32 34 35 4 41 42 43 45 5 51 52 53 54 5．如图，是中边的中线，点E是的中点，连接、，现随机向内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是 ． 6．在一个不透明的布袋里装有4个标号为，，，的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小慧从布袋里随机取出一个小球，记下数字为，小莹从剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为，这样确定了点的坐标．则点在函数的图象上的概率为 ． 三、解答题 7．在如图所示的地板（图中每一块方砖除颜色外完全相同）中，每块方砖的边长为，小猫在地板上自由走动，并随意停留在某块方砖上．求小猫停留在阴影区域的概率． 8．如图，4张卡片正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同，现将所有卡片背面朝上洗匀． (1)若从中随机抽取一张，这张卡片正面图案呈现的现象恰好属于化学变化的概率是_____． (2)若从中任意抽取2张（先抽取1张卡片，不放回，再抽取1张卡片），求抽取的两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率．（请用画树状图或列表法等方法说明理由） 9．一个布袋里装有1个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同．      (1)从布袋中摸一次球，摸到白球的可能性为_____； (2)若从布袋中先摸出一个球，无放回，再从口袋中摸出一个球，用树状图法求出两次摸出的球都是红球的概率是多少？ 10．如图，有甲、乙两个完全相同的转盘均被分成两个区域，甲转盘中区域的圆心角是，乙转盘中区域的圆心角是，自由转动转盘（如果指针指向区域分界线则重新转动）． (1)转动甲转盘一次，求指针指向区域的概率． (2)自由转动两个转盘各一次，利用树状图或列表法，求两个转盘指针同时指向区域的概率．    乙 甲 11．春节期间小昆和小明玩游戏赢《哪吒2》的电影票，游戏规则如下：在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3的三个小球（除标号外无其它差异）．从口袋中随机摸出一个小球，记下小球的标号后再放回；再从口袋中随机摸出一个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用，表示．若能被3整除则小昆赢；若能被4整除，则小明赢． (1)用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 1 2 3 1 2 3 12．一个不透明的袋子中，装有编号分别为数字1、2、3的3个小球．这些小球除了所标数字不同外无其他差别，将袋子中的小球充分搅匀． (1)随机摸出1个小球，摸到“数字是奇数”的概率是___________； (2)随机摸出1个小球（不放回），记下数字作为点M的横坐标x，再从剩余的小球中随机摸出1个小球，记下数字作为点的纵坐标，求点在一次函数的图象上的概率． 1 2 3 1 2 3 13．在一个不透明的袋中有大小、形状和质地等完全相同的小球，它们分别标有数字，0，1，．将袋中的小球搅匀后，先从袋中任意摸出一小球，记下数字后放回，搅匀小球，再从袋中摸出另一小球记下数字． (1)请你表示摸出小球上的数字可能出现的所有结果； (2)规定游戏规则：如果摸出的两个小球上的数字都是方程的根，那么小明赢；如果摸出的两个小球上的数字都不是方程的根，那么小亮赢．你认为这个游戏规则对小明、小亮双方公平吗？请说明理由． 0 1 2 0 1 2 14．贵州山川秀美，景色迷人，是中国西部的一个黄金旅游区．为了奖励员工，某公司计划组织一次旅游活动，有以下四个地点供选择：A．花江铁索桥；B．马岭河峡谷；C．二十四道拐；D．万峰林．现随机调查了部分员工最想去的旅游地点，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图． 请你根据统计图中的信息，解答下列问题： (1)这次调查一共抽取了________名员工；扇形统计图中，旅游地点D所对应的扇形圆心角的度数为________． (2)请补全条形统计图． (3)在选择旅游地点C的员工中，甲，乙，丙，丁4人表现最为积极，现打算从这4人中任选2人作为本次旅游活动的策划员，请用列表或画树状图的方法求出选中的两人中一定有甲的概率． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$