第三章 概率的进一步认识（复习讲义）数学北师大版九年级上册

第三章 概率的进一步认识（复习讲义） 1. 了解概率的意义，体会概率与频率之间的联系。 2. 能用公式法、列表法、画树状图等方法计算概率。 3. 理解几何概型，能利用概率知识分析游戏公平性等问题。 【知识点1】概率 1.概率的概念[来源:学科网] 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A).[来源:学科网ZXXK] 【知识点2】概率的计算 （1）公式法 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率为P(A)＝ （2）列表法 当一次试验要涉及两个因素(例如掷两个骰子)并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. （3）画树状图 当一次试验要涉及3个或更多的因素(例如从3个口袋中取球)时，列表就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图. （4）几何概型 一般是用几何图形的面积比来求概率，计算公式为：P(A)＝,解这类题除了掌握概率的计算方法外，还应熟练掌握几何图形的面积计算. （5） 游戏公平性 判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率都相等，则游戏公平，否则不公平. 【知识点3】用频率估计概率 1.频率与概率的定义 频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值. 概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）. 2.频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. 3.利用频率估计概率 当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率. 题型一 列举法求概率 【例1】有四条线段，长度分别是，从中任取三条线段能组成三角形的概率是 ． 【变式1-1】如图，电路图上有，，三个开关、一个灯泡和一节电池，当闭合开关或者同时闭合开关，时，灯泡发光．现任意闭合其中一个开关，则灯泡发光的概率等于 ． 【变式1-2】从①，②，③，④四个关系中，任选两个作为条件，那么选到能够判定四边形是平行四边形的概率是 ． 【变式1-3】在，，这三个数中任选两个数分别作为点的横坐标和纵坐标，过点画双曲线（为常数，），则该双曲线位于第一、三象限的概率是 ． 题型二 几何面积法求概率 【例2】如图，是我国古代的铜钱，方孔铜钱应天圆地方之说，是古人智慧的结晶．如图，将它简易成几何图形，已知外圆的半径为6，里面正方形的边长为1．一小球（忽略体积的影响）在铜钱上自由地滚动，并随机停留在某区域，它最终停留在正方形里面的概率为 ．（结果保留） 【变式2-1】某游戏的规则为：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸（九个小正方形面积相等）上描一个点，若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一个；若落在白色区域，获得钢笔一支．选手获得笔记本的概率为 【变式2-2】如图，将一个微型机器人放置在封闭的圆形装置内部，圆形装置内部划分为三个区域，其中A、B两个区域为圆环，C区域为小圆．若微型机器人随机在装置内停止，则微型机器人停止在B区域的概率为 ． 【变式2-3】如图，此为计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的“雷区”中，随机埋藏着10颗“地雷”，每个小方格最多能埋藏1颗“地雷”．小明游戏时先踩中一个小方格，显示数字2，它表示与这个方格相邻的8个小方格（图中黑框所围区域，设为A区域）中埋藏着2颗“地雷”．小明在A区域外的“雷区”踩了一个小方格，这个小方格正好有“地雷”的概率为 ． 题型三 列表法或树状图法求概率 【例3】某班体育爱好者小川和小红对于足球和篮球赛事比较热心，但小川更喜欢足球，小红更喜欢篮球，某日约定一起在家中观看球赛，家中只有一部电视，如果此刻有两个台同时播放篮球赛，另一个台播放足球赛，二人商定利用抽签的方式确定观看比赛． (1)如果将三个不同的台做成签，小川先抽，则他从三个签抽一个，抽到的是播放足球这个台的概率为 ； (2)若小红先抽，则小川抽到的是播放足球赛的这个台的概率． 【变式3-1】南昌某实验学校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设了四大类社团活动（艺术社团、体育社团、文学社团、科技社团），要求每人必须参加且只参加一类社团活动． (1)“小华恰好选中文学社团”是______（填“必然”“不可能”或“随机”）事件； (2)现从艺术社团里表现优秀的，，三名同学中随机选取两名同学参加比赛，请用列表法或画树状图法求出恰好选中和两名同学的概率． 【变式3-2】春节前夕，某商场举行“抽奖返现”促销活动，凡购物每满元，即可抽奖一次抽奖规则如下：在一个不透明的箱子中装有个红球、个黄球、个白球仅颜色不同，每次抽奖前将其摇匀后，抽奖者从中随机摸出个球，记下颜色后，放回若是红球，则获得奖金元；若是黄球，则得奖金元；若是白球，则为感谢参与无奖金． (1)若抽奖者从该箱子中随机摸出一个球，摸到白球的概率是______； (2)王丹当天在该商场消费元，抽了两次奖，请用列表或画树状图的方法求她两次抽奖的和等于元的概率． 红 黄 白 白 红 （红，红） （红，黄） （红，白） （红，白） 黄 （黄，红） （黄，黄） （黄，白） （黄，白） 白 （白，红） （白，黄） （白，白） （白，白） 白 （白，红） （白，黄） （白，白） （白，白） 【变式3-3】春，是茶的盛事；茶，是景迈山给世人的馈赠．千年茶山年年春，世界遗产普洱景迈山2025年春茶季系列活动自3月下旬启幕，将持续至5月！其中，“醒春山”系列活动分为：A澜沧古茶“回家之旅”，B柏联寻茶之旅，C九泽茶窖春茶季大型活动．甲、乙两名同学准备前往一睹盛况，各自随机选择A、B、C三个活动中的一个，二人选择哪个活动不受任何因素影响，每一个活动被选到的可能性相同．记甲同学的选择为x，乙同学的选择为y． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求甲和乙选到不同活动的概率． 题型四 根据概率判断游戏的公平性 【例4】“石头、剪刀、布”的游戏古老而简单，早在汉朝时期就开始流行．甲同学、乙同学和丙同学约定游戏规则如下：由甲同学和乙同学玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么丙同学获胜；否则，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定甲同学和乙同学中的获胜者．假设甲同学和乙同学每次出这三种手势的可能性相同． (1)用树状图或列表法求出丙同学获胜的概率； (2)你认为这个游戏对三人公平吗？为什么？ 石头 剪刀 布 石头 （石头，石头） （剪刀，石头） （布，石头） 剪刀 （石头，剪刀） （剪刀，剪刀） （布，剪刀） 布 （石头，布） （剪刀，布） （布，布） 【变式4-1】嘉嘉和淇淇一起玩五子棋游戏，如图，棋盘旁有两个棋盒．甲盒中有3个白子和7个黑子，乙盒中有1个白子和1个黑子． (1)从甲盒中拿出m个黑子放入乙盒后，从两个棋盒中随机摸出1个棋子是白子的概率均相同，求m的值； (2)经过（1）的棋子调整后，用乙盒及棋盒中的棋子做如下游戏，规则：先随机摸出1个棋子，记下颜色后放回，再摸出1个棋子．若摸出两个棋子的颜色相同，则嘉嘉胜；若摸出两个棋子的颜色不同，则淇淇胜．请问该游戏规则公平吗？说明理由． 后拿先拿 白 白 （白，白） （白，） （白，） （，白） （，） （，） （，白） （，） （，） 【变式4-2】小明和小亮玩游戏，小明有一个质地均匀的骰子（如图1，六个面上分别刻有，，，，，个小圆点的小正方体），小亮有个小球，小球上分别标有数字、、（小球除数字不同外其余均相同），将其放入一个不透明的布袋中（如图2）搅匀． (1)小亮从布袋中随机摸出一个小球，记下数字后再将小球放回布袋中搅匀，这样重复摸了次小球，其中有次摸出的小球上的数字是，则摸出的小球上的数字是的频率是 ； (2)小明掷一次骰子，骰子朝上一面的点数记作小明掷出的数，小亮从布袋中随机摸出一个小球，小球上的数字记作小亮摸出的数，谁的数大，谁就获胜．这个游戏规则对两人公平吗？请利用列表或画树状图的方法进行说明． 【变式4-3】围棋是一种古老的中国传统游戏，起源于中国古代．赵婷和李海是围棋爱好者，他们在某次对弈前约定规则来决定由谁执黑棋（围棋的第一原则：黑棋先下子，白棋后下子，然后双方轮流下子）．将两枚白棋和三枚黑棋装入不透明的围棋罐中，摇匀． (1)从罐中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回罐中摇匀，不断重复这个过程，共摸棋子20次，其中有7次摸到白棋．则这20次摸棋子中，摸出白棋的频率是________； (2)他们约定的规则如下：赵婷先从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回，摇匀，然后李海再从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色．若摸出的两枚棋子颜色不同由赵婷执黑棋，若摸出的两枚棋子颜色相同由李海执黑棋．请用画树状图或列表的方法判断这个规则对双方是否公平？若不公平，他们两人中谁执黑棋的概率更大． 题型五 概率在转盘抽奖中的应用 【例5】某家电商场举办年终促销活动，其中之一是消费满3500元参与抽奖活动，抽奖活动设置的翻奖牌的正面、背面如图所示． (1)抽奖得到“手机”的概率是 ； (2)请你设计一个翻奖牌，包含“手机”“空气炸锅”“护眼灯”“洗衣液”“谢谢参与”，使得最后抽到“护眼灯”的概率是 ． 【变式5-1】某商场为吸引消费者，举行幸运大转盘活动，规定顾客消费满100元就可获得转如图所示的转盘（转盘被平均分成3份）的机会．为了活跃气氛，该商场设计了两个方案： 方案一：转动转盘一次，若指针指向数字1可领取一份奖品； 方案二：转动转盘两次，若两次指针指向的数字之和为奇数可领取一份奖品．（若指针指向分界线，则重转） (1)若转动转盘一次，则领取到一份奖品的概率为________； (2)若转动转盘两次，用树状图列举出所有等可能出现的结果； (3)如果你获得转动转盘的机会，想要领取到奖品，你会选择哪个方案？并说明理由． 【变式5-2】如图，图1、图2是可以自由转动的两个转盘．图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是120°．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色． (1)在图1转盘中转出数字6的概率为________． (2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘．若某个转盘的指针恰好指在分界线上时重转．小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 【变式5-3】九（1）班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在“手工”区域的次数 落在“手工”区域的频率 (1)求出的值； (2)请估计当很大时，频率将会接近______；假如你去转动该转盘一次，你获得“手工”奖品的概率约是______．（精确到） 题型六 统计与概率综合应用问题 【例6】我市某中学在参加“争创卫生城市”书画比赛中，杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班(用A，B，C，D表示)，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图．请根据以上信息，回答下列问题： (1)杨老师采用的调查方式是   ( 填“全面调查”或“抽样调查”)； (2)请补全条形统计图，并估计全校共征集作品的件数； (3)如果全校征集的作品中有3件获得特等奖，其中有2名作者是男生，1 名作者是女生，现要在获得特等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或画树状图的方法，求恰好选取的两名学生是一男一女的概率． 【变式6-1】北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青少年对冰雪项目的浓厚兴趣．某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的人数进行了统计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪四项（每人限选项），制作了如下统计图（部分信息未给出）． 请你根据图中提供的信息解答下列问题： (1)在这次调查中，一共调查了______名学生；若该校共有名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有______人； (2)补全条形统计图； (3)把短道速滑记为、花样滑冰记为、自由式滑雪记为、单板滑雪记为，学校将从这四个运动项目中抽出两项来做重点推介，请用画树状图或列表的方法求出抽到项目中恰有一项为单板滑雪的概率． 【变式6-2】某市图书馆计划举办中小学生“成语百变”趣味活动，因报名人数较多，将所有报名人员分为四组同时进行，现随机抽取了部分报名的学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成如下所示两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题． (1)本次抽取调查学生共有______人，其中组的学生人数为______． (2)补全条形统计图，并求出扇形统计图中组部分所占的圆心角的度数． (3)小红和小林都报名参加了“成语百变”趣味活动，他们会被随机分到四个组中，请用画树状图法或列表法，求两人恰好分到同一组的概率． 【变式6-3】新学期伊始，某校运用今年流行的“：龙行龘龘（da），：前程朤朤（lāng），：德行垚垚（yáo），：身体骉骉（biāo）”等祝福热词制作贺卡开展“龙年送祝福”活动，为了解学生对这四个热词的喜爱程度，随机对部分学生进行调查，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一个，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： (1)这次抽样调查共抽取__________人； (2)将条形统计图补充完整； (3)学校要从，，，四个词制作的四张贺卡中，随机抽出两张送给九（1）班的同学，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两张贺卡恰好是“前程朤朤”和“身体骉骉”的概率． 题型七 求某事件的频率 【例7】今天的日期是20250113，在这串数字中，“0”出现的频率是 ． 【变式7-1】已知数据：，，，，，其中无理数出现的频率是 ． 【变式7-2】每逢中秋佳节，赏月吃月饼是中国人的传统．有关部门对某食品生产企业生产的某一批次月饼进行抽样检测，结果如下表： 抽取月饼数量 50 100 200 500 1000 2000 优等品数量 45 92 194 474 951 1900 若从这批月饼中任取一个，则检测结果为优等品的概率约为 ．（精确到） 抽取月饼数量 50 100 200 500 1000 2000 优等品数量 45 92 194 474 951 1900 优等品频率 0.900 0.920 0.970 0.948 0.951 0.950 【变式7-3】某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据： 重复试验次数 10 50 100 500 1000 2000 5000 钉尖朝上次数 5 15 36 200 403 801 2001 估计任意抛掷一枚图钉，钉尖朝上的概率约为 .（结果精确到） 题型八 用频率估计概率 【例8】通过大量的掷图钉试验，发现钉尖朝上的频率稳定在0.75附近，则可估计钉尖朝上的概率为 ． 【变式8-1】某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数n 50 100 500 1000 1500 2000 3000 发芽的频数m 44 92 463 928 1396 1866 2794 发芽的频率 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931 这种绿豆发芽的概率的估计值为 （精确到0.01）． 【变式8-2】如图是小华用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果，若再次抛掷一枚图钉，则可以估计“钉尖向上”的概率是 ．（精确到0.001） 题型九 用频率求数量/面积 【例9】一个不透明的箱子里装有仅颜色不同的红色卡片和蓝色卡片共20张．随机从箱子里摸出1张卡片，记下颜色后再放回，经过多次的重复试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在附近，由此估计箱子中蓝色卡片有 张． 【变式9-1】在一个不透明的盒子中装有3个红球和若干个白球，这些球除颜色外均相同，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则这个盒子中大约有 个白球． 【变式9-2】七年级某班同学设计用频率去估计概率的试验如下：在一个不透明的口袋中，装有9个球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，统计了黄球出现的次数，绘出的统计图如图所示，则袋子中黄球的个数最可能是 个． 【变式9-3】小明为了解平整地面上一块不规则图案的面积，采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将它围起来（如图1），然后随机地朝长方形区域内扔小球，并计算小球落在阴影区域内（落在界线上或长方形区域外不计）的频率，并绘制成折线统计图（如图2），由此可估计不规则图案的面积约为 ． 题型十 用频率估计概率的综合应用 【例10】工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 合格频数 m 合格频率 (1)估计任抽一件该产品是合格品的概率是________；表格中m的值为________； (2)某天甲员工被抽检了件该产品，估计其中不合格品有多少件？ 【变式10-1】在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.59 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的________，________； (2)“摸到白球”的概率的估计值是________（精确到0.1）； (3)如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球． 【变式10-2】下表是某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数n 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的粒数m 94 a 475 954 1906 4748 发芽频率 0.94 0.955 0.946 b 0.953 0.9496 (1)上表中的_______，______； (2)任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是______（精确到0.01）； (3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育． 【变式10-3】在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)表中________；________； (2)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近________（精确到）； (3)估计袋子中有白球________个； (4)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球________个． 基础巩固通关测 一、单选题 1．为发展学生的阅读素养，某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这四个阅读项目中随机抽取一个，则他们恰好抽到不同阅读项目的概率是（   ） A． B． C． D． 2．袋中有黑球6个，白球有若干个，这些球除颜色外都相同，通过多次摸球实验发现，摸到白球的频率稳定在附近，则袋中有白球（   ） A．3个 B．2个 C．4个 D．5个 3．数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个白球、3个红球、2个黄球和1个黑球，这些球除颜色外无其他区别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球最有可能是（    ） A．黑球 B．红球 C．黄球 D．白球 4．数学兴趣小组做“抛瓶盖试验”获得的数据如下表： 拋掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 盖口向上的频数 64 118 189 252 310 370 434 498 558 621 盖口向上的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.61 0.62 0.62 0.62 0.62 下列说法正确的是（　　） A．根据实验结果，“盖口向上”和“盖口向下”具有等可能性 B．若再抛掷瓶盖100次，则一定有62次“盖口向上” C．若抛掷瓶盖10次，结果“盖口向上”8次，则“盖口向上”的概率为0.8 D．若抛掷瓶盖2000次，则“盖口向上”的次数大约有1240次 5．今年植树节，某社区集中移栽了一批香樟树．该社区调查了这批香樟树移栽成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计这批香樟树移栽成活的概率约为（    ） A．0.85 B．0.90 C．0.95 D．0.98 二、填空题 6．如图，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是 ． 7．抛一个瓶盖，落地后会出现“盖口向上”和“盖口向下”两种情况小明通过信息技术模拟实验得到了如下的折线统计图根据统计结果估计事件“盖口向上”发生的概率为 ． 8．如图所示的是可以自由转动的转盘，转动转盘，转盘停止时指针落在白色区域的概率为 ． 9．小颖和小亮玩“抓纸牌”的游戏．在一个不透明的盒子里，有8张红桃、4张黑桃、a张方块．每张牌质地、大小都相同．一人摸牌，一人记录，经过多次的试验、数据的记录、平均值的计算．小颖和小亮发现摸出方块的频率越来越接近．请你估计a的值为 ． 10．如图，小颖在10×10的方格纸中绘制图形“19”，为计算它的面积，小颖将米粒随机撒在方格纸上，经过大量重复试验，发现米粒落在“19”区域的频率稳定在常数附近，由此可估计图形“19”的面积为 ． 三、解答题 11．在复习了“三角形三边之间的数量关系”之后，老师设计了如下这道概率题：有一组互不全等的三角形，它们的三边长均为整数，每一个三角形有两条边的长分别为6和8． (1)设组中最多有个三角形，求的值； (2)在两组勾股数3、4、5和5、12、13中各任取一个数，用列表法或画树状图的方法求两个数的和是偶数的概率． 3 4 5 5 8 9 10 12 15 16 17 13 16 17 18 12．2025年春节档饺子导演的电影《哪吒之魔童闹海》红遍全球，以156亿元票房高居全球票房第五名，将中国文化推向世界，让世界各族人民喜欢中国文化、学习中国文化．哪吒、敖丙、太乙真人和申公豹的图像的卡片成为热门商品，某中学两名同学用4张哪吒、敖丙、太乙真人和申公豹的卡片玩游戏，（卡片形状大小完全相同，背面颜色一致）充分洗匀后随机抽取． (1)随机抽取一张卡片，抽到哪吒卡片的概率是___________； (2)若第一次抽取后不放回求连续两次抽到一对师徒的概率？（太乙真人与哪吒、申公豹和敖丙是师徒） 13．综合与实践 实践背景：某小型植物可能开出多种颜色的花朵．为了解该植物开红色花朵的比例，植物社团的成员打算随机收集一些该植物植株幼苗进行试验研究． 试验设计：由五个小组的成员分别收集该植物的一些植株幼苗，播种在校园五处适合植物生长的空地分开试验，最后统计各组数据． 【数据记录】 一组 二组 三组 四组 五组 开红花的植株数量 56 1 71 63 86 开其他颜色花的植株数量 86 9 101 93 129 出现红花的频率（保留两位小数） 0.39 a 0.41 0.40 b （1）表中________，________； 【理论分析】 （2）经过学习我们知道，在大量重复的试验中，我们可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率．在上述五个小组的数据中，你认为第________组的数据不适合用频率估计概率，理由是___________，你认为一株该植物开出红花的概率是________． 【实际应用】 （3）某小公园自然存在有大量该植物，经统计其中开红花的该植株有514棵，请你估计该公园此植物植株的总数量． 14．某学校为丰富课后服务内容，计划开设经典诵读，花样跳绳、电脑编程、国画赏析、民族舞蹈五门兴趣课程．为了解学生对这五门兴趣课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（要求每位学生只能选择一门课程），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息，完成下列问题： (1)本次调查共抽取了________名学生；扇形统计图中“电脑编程”所对应扇形的圆心角度数为________． (2)若全校共有1200名学生，请估计选择“民族舞蹈”课程的学生人数． (3)在经典诵读课前展示中，甲同学从标有A《出师表》、B《观沧海》、C《行路难》的三个签中随机抽取一个后放回，乙同学再随机抽取一个，请用列表或画树状图的方法，求甲乙两人至少有一人抽到A《出师表》的概率． 甲乙 能力提升进阶练 一、单选题 1．一个转盘分为白色（圆心角）和红色（圆心角）区域，自由转动两次，一次白色一次红色的概率是（    ） A． B． C． D． 让转盘自由转动2次，画树状图如下： 共有9种等可能的结果，指针一次落在白色区域，另一次落在红色区域结果有4种， ∴指针一次落在白色区域，另一次落在红色区域的概率为． 2．山西省农业科学院高粱研究所在培育高粱晋杂23号时，在相同条件下进行了发芽试验，发芽情况绘制成如图所示的统计图，据此估计高粱晋杂23号种子的发芽概率约为（   ） A．1 B．0.95 C．0.9 D．0.85 3．在生物学中，根据生物细胞结构的不同可分为真核生物和原核生物．下列卡片除正而图案不同外其他均相同，其中酵母菌、黏菌属于真核生物，螺旋藻、支原体则属于原核生物．现将这四张卡片背面朝上洗匀放好，琦琦从中随机抽取一张卡片（不放回），亮亮再从中随机抽取一张卡片，则所抽取的两张卡片上的生物均属于真核生物的概率是（   ） A． B． C． D． 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的生物均属于真核生物的为和，共2种， 则两张卡片上的生物均属于真核生物的概率为， 4．在一个不透明的盒子里装有个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色再把它放回盒子中，不断重复实验，统计结果显示，随着实验次数越来越大，摸到黑球的频率逐渐稳定在左右，则据此估计盒子中大约有白球（     ） A． B． C． D． 5．设计比赛的靶子是由10个同心圆组成，如图．已知这个靶子上面每相邻的两个同心圆半径之差等于最里面小圆的半径，规定：从最外面的圆环到最里面的小圆的环数依次为1环、2环、……、10环．在第33届巴黎夏季奥运会射击比赛中，某选手射出一发子弹，他射中8环的概率是（   ） A． B． C． D． 6．某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，符合这一结果的实验最有可能的是（   ） 实验次数 100 200 500 800 1000 2000 频率 0.165 0.166 0.166 0.167 0.166 0.167 A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” C．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5 D．抛一枚硬币，出现反面的概率 二、填空题 7．如图，转动转盘当转盘停止后，指针落在B区域的概率是 ． 8．如图，已知面积为的正方形二维码，为估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内任取个点，若有个点在黑色部分，则二维码中黑色部分的面积约为 ． 9．在一个不透明的口袋中有10个除颜色外都相同的小球，每次摇匀后摸出一个球，记下颜色后放回．下表是摸到红球的频数记录，则袋中红球的个数是 ． 摸球总次数 10 20 30 40 50 60 70 80 摸到红球的次数 2 5 9 13 16 18 22 24 摸到红球的频率 10．如图1，在边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为 ． 11．在一个不透明的布袋里装有4个标号为，，，的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小慧从布袋里随机取出一个小球，记下数字为，小莹从剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为，这样确定了点的坐标．则点在函数的图象上的概率为 ． 三、解答题 12．有5张背面看上去无差别的卡片，正面分别写着数字4，4，5，5，6，将卡片背面朝上，洗匀后放在水平桌面上． (1)随机抽取1张卡片，则抽取的卡片上的数字是4的概率是_______； (2)从5 张卡片中随机抽取2 张（不放回），请利用列表或画树状图的方法，求抽取的2 张卡片上的数字不同的概率． 4 4 5 5 6 4 — (4，4) (4，5) (4，5) (4，6) 4 (4，4) — (4，5) (4，5) (4，6) 5 (5，4) (5，4) — (5，5) (5，6) 5 (5，4) (5，4) (5，5) — (5，6) 6 (6，4) (6，4) (6，5) (6，5) — 13．无锡阳山水蜜桃以果肉细腻、汁多味甜闻名全国，是江苏省地理标志产品．每年盛夏，阳山水蜜桃进入成熟季，果农们会严格检测品质以确保消费者能品尝到最佳风味．某基地对不同批次的水蜜桃进行坏果率抽检，得到如下数据： 检测批次的总果数 1000 2000 3000 4000 5000 6000 坏果数 59 124 240 305 354 坏果频率 根据表格回答下列问题： (1)表中的___________，___________； (2)任取一个水蜜桃，估计它是坏果的概率为___________（精确到）； (3)若基地需要为即将到来的水果节确保9400颗完好水蜜桃用于销售，那么至少需要准备多少颗水蜜桃进行分拣？ 14．数学老师用游戏的方式给甲、乙两个学习小组提供足球票观看比赛．游戏规则如下：在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四张卡片（除标号外，其余都相同），甲组代表从口袋中任意摸出1张卡片，卡片上的数字记为x．在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3的三个小球（除标号外，其余都相同），乙组代表从该口袋里任意摸出1个小球，小球上的数字记为y．然后计算这两个数的积，即．若为奇数，则甲组获得足球票，否则，乙组获得足球票． (1)用列表或画树状图的方法，求甲组获得足球票的概率； (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． xy 1 2 3 4 1 2 3 15．春风送暖，万物复苏，2025年3月12日，在第47个中国植树节来临之际，河南省开展了2025年度春季义务植树活动．林业局对本次植树活动的移植成活率进行统计并绘制了统计图（如图）． 请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)这批树苗成活的频率稳定在_____附近，估计成活概率为_____；（精确到0.1） (2)此次植树活动的树苗主要有油松、侧柏、杨树和云杉，每种树苗的棵数均相同．如果小张随机拿取一棵树苗栽种，拿中侧柏的概率是多少? (3)此次植树活动已经种了2000棵树苗，请你估计，要使此次移植的树苗成活2160棵，还需要移植多少棵树苗？ 16．某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有红球、黑球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据： 摸球次数 100 150 200 500 800 1000 2000 摸到红球的次数 52 72 262 404 499 1000 摸到红球的频率 0.52 0.51 0.524 0.505 0.499 0.5 (1)表中的_____________，_____________； (2)通过摸球实验，请你估计摸到红球的概率是_____________； (3)上述实验中，若袋中10个球中有3个黑球，为决定谁将获得仅有的一张电影票，设计了如下的摸球游戏，规则如下：如果摸到黑球，则小明获胜；如果摸到白球，则小颖获胜；如果抽到红球，则视为无效抽球，需将球放回袋中，游戏继续，这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由，如果不公平，请重新设计一个公平游戏． 17．2024年4月23日是世界读书日，今年的主题是“阅读改变未来”．读书不仅能够让我们获得知识、扩展视野，还可以激发思考、增加创造力、促进个人成长．小敏随机调查了七年级40名同学近半年内每人阅读课外书的数量，数据如下表： 人数 10 10 a 5 课外书数量（本） 3 4 6 8 (1)样本容量为______，表中______； (2)阅读课外书数量的中位数是______，众数是______，平均阅读课外书为______本； (3)若将阅读课外书数量以扇形统计图的形式呈现，则阅读数量为6本的人数对应圆心角为多少度？ (4)若从阅读8本课外书的5名学生（一男四女）中抽取两名参加学校组织的课外知识竞赛，试用树状图或列表法求抽取为一男一女的概率． 18．为进一步增强学生的法制意识，提升学生的法律知识素养，某校在开展“学宪法 讲宪法”期间，将七年级参加竞赛的学生成绩统计后，绘制成如下统计图表(不完整)：A组：，B组：，C组：，D组：． 　　　 根据以上信息回答下列问题： (1)补全图1，图2中 ，D组的圆心角是 度； (2)已知该校七年级有500人，估计七年级“学宪法 讲宪法”属于D组的人数一共是多少? (3)现在准备从D组4名同学中，有2名男生和2名女生，随机抽取2名同学参加校级比赛，请你用画树状图或列表法求抽取的两名同学恰好1名男生和1名女生的概率． 男1 男2 女1 女2 男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 概率的进一步认识（复习讲义） 1. 了解概率的意义，体会概率与频率之间的联系。 2. 能用公式法、列表法、画树状图等方法计算概率。 3. 理解几何概型，能利用概率知识分析游戏公平性等问题。 【知识点1】概率 1.概率的概念[来源:学科网] 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A).[来源:学科网ZXXK] 【知识点2】概率的计算 （1）公式法 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率为P(A)＝ （2）列表法 当一次试验要涉及两个因素(例如掷两个骰子)并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. （3）画树状图 当一次试验要涉及3个或更多的因素(例如从3个口袋中取球)时，列表就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图. （4）几何概型 一般是用几何图形的面积比来求概率，计算公式为：P(A)＝,解这类题除了掌握概率的计算方法外，还应熟练掌握几何图形的面积计算. （5） 游戏公平性 判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率都相等，则游戏公平，否则不公平. 【知识点3】用频率估计概率 1.频率与概率的定义 频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值. 概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）. 2.频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. 3.利用频率估计概率 当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率. 题型一 列举法求概率 【例1】有四条线段，长度分别是，从中任取三条线段能组成三角形的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了用列举法求概率，根据题意列举出所有的情况，找出能组成三角形的结果，进而根据概率公式计算即可求解． 【详解】解：所有情况有：；；；，共种， 其中能组成三角形的情况有种， ∴任取三条线段能组成三角形的概率是， 故答案为：． 【变式1-1】如图，电路图上有，，三个开关、一个灯泡和一节电池，当闭合开关或者同时闭合开关，时，灯泡发光．现任意闭合其中一个开关，则灯泡发光的概率等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用列举法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握列举法的概念以及用列举法求概率的基本步骤是解题的关键：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法；用列举法求概率的基本步骤如下：列举出一次试验的所有可能结果，假设共种；数出满足要求的结果数，假设共种；根据概率公式计算概率：概率． 按照用列举法求概率的基本步骤求解即可． 【详解】解：现任意闭合其中一个开关，则一次试验的所有可能结果共有种，即： 闭合，闭合，闭合， 满足要求的结果数共有种，即： 闭合， （灯泡发光的概率）， 故答案为：． 【变式1-2】从①，②，③，④四个关系中，任选两个作为条件，那么选到能够判定四边形是平行四边形的概率是 ． 【答案】 【分析】根据一对对边平行且相等的四边形、两组对边相等的四边形、两组对边平行的四边形都是平行四边形，逐一判定，而后根据概率的计算方法解答． 【详解】解：①，②，∴四边形ABCD是平行四边形， ①，③，∴四边形ABCD是平行四边形， ①，④，无法判断； ②，③，无法判断； ②，④∴四边形ABCD是平行四边形； ③，④∴四边形ABCD是平行四边形； 故选到能够判定判定四边形有4种结果， ∴选到能够判定是菱形的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，概率等，解决问题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，概率的计算方法． 【变式1-3】在，，这三个数中任选两个数分别作为点的横坐标和纵坐标，过点画双曲线（为常数，），则该双曲线位于第一、三象限的概率是 ． 【答案】 【分析】列举法求概率即可． 【详解】解：由题意，得：点共有：，6种情况， ∵当点的横纵坐标符号相同时，双曲线位于第一、三象限，共有种情况， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查列举法求概率．熟练掌握列举法，以及双曲线上点的特征，是解题的关键． 题型二 几何面积法求概率 【例2】如图，是我国古代的铜钱，方孔铜钱应天圆地方之说，是古人智慧的结晶．如图，将它简易成几何图形，已知外圆的半径为6，里面正方形的边长为1．一小球（忽略体积的影响）在铜钱上自由地滚动，并随机停留在某区域，它最终停留在正方形里面的概率为 ．（结果保留） 【答案】 【知识点】几何概率 【分析】本题考查几何概率，解题的关键是明确题意，求出相应的概率．根据几何概率的求法：一个小球停留在某个区域上的概率就是该区域的面积与总面积的比值． 【详解】由题意可得，小球最终停留在正方形里面的概率为： ， 故答案为：． 【变式2-1】某游戏的规则为：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸（九个小正方形面积相等）上描一个点，若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一个；若落在白色区域，获得钢笔一支．选手获得笔记本的概率为 【答案】 【知识点】几何概率 【分析】此题考查了几何概率计算公式以及其简单应用，注意面积之比几何概率．利用击中黑色区域的概率等于黑色区域面积与正方形总面积之比，进而求出答案． 【详解】解：整个正方形被分成了9个小正方形，黑色正方形有5个， 落在黑色区域即获得笔记本的概率为， 故答案为：． 【变式2-2】如图，将一个微型机器人放置在封闭的圆形装置内部，圆形装置内部划分为三个区域，其中A、B两个区域为圆环，C区域为小圆．若微型机器人随机在装置内停止，则微型机器人停止在B区域的概率为 ． 【答案】 【知识点】几何概率、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，分别求出三个区域的面积，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：， ， ， 微型机器人停在区域的概率为． 故答案为：． 【变式2-3】如图，此为计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的“雷区”中，随机埋藏着10颗“地雷”，每个小方格最多能埋藏1颗“地雷”．小明游戏时先踩中一个小方格，显示数字2，它表示与这个方格相邻的8个小方格（图中黑框所围区域，设为A区域）中埋藏着2颗“地雷”．小明在A区域外的“雷区”踩了一个小方格，这个小方格正好有“地雷”的概率为 ． 【答案】 【分析】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 根据概率公式，用地雷的颗数除以小方格总数即可 【详解】解：∵在个小方格的雷区中，随机地埋藏着10颗“地雷”，每个小方格最多能埋藏1颗地雷． ∴小明如果踩在图1中个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是； 故答案为：． 题型三 列表法或树状图法求概率 【例3】某班体育爱好者小川和小红对于足球和篮球赛事比较热心，但小川更喜欢足球，小红更喜欢篮球，某日约定一起在家中观看球赛，家中只有一部电视，如果此刻有两个台同时播放篮球赛，另一个台播放足球赛，二人商定利用抽签的方式确定观看比赛． (1)如果将三个不同的台做成签，小川先抽，则他从三个签抽一个，抽到的是播放足球这个台的概率为 ； (2)若小红先抽，则小川抽到的是播放足球赛的这个台的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了概率公式、列表法或树状图法求概率等知识点，用树状图表示所有等可能的出现的结果是正确解答的关键． （1）共有3种等可能出现的结果，其中抽到的刚好是播放足球赛的有1种，再根据概率的定义求解即可； （2）用树状图列举出所有等可能出现的结果以及抽到播放足球赛的这个台的情况数，再根据概率的公式计算即可． 【详解】（1）解：将三个台做成三个签，小川先抽，他从三个签抽一个，抽到的刚好是播放足球这个台的概率为． 故答案为：． （2）解：设播放篮球赛为A，B台，播放足球赛C台， 所有等可能结果用树状图表示如下： 即所有等可能结果共有6种，其中小川抽到足球赛的有2种， 所以小川抽到足球赛的这个台的概率为． 【变式3-1】南昌某实验学校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设了四大类社团活动（艺术社团、体育社团、文学社团、科技社团），要求每人必须参加且只参加一类社团活动． (1)“小华恰好选中文学社团”是______（填“必然”“不可能”或“随机”）事件； (2)现从艺术社团里表现优秀的，，三名同学中随机选取两名同学参加比赛，请用列表法或画树状图法求出恰好选中和两名同学的概率． 【答案】(1)随机； (2)恰好选中和两名同学的概率为． 【分析】本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及用列表法或画树状图法求概率的知识点，解题的关键是准确理解相关概念和熟练运用求概率的方法． （）根据随机事件的定义判断小华选中文学社的事件类型； （）通过列表法或画树状图法列出所有可能的结果，再找出恰好选中和的结果，最后根据概率公式计算概率． 【详解】（1）解：“小华恰好选中文学社团”是随机事件， 故答案为：随机； （2）解：画树状图如图， 共有个等可能的结果，恰好选中和两名同学的结果有个， ∴恰好选中和两名同学的概率为． 【变式3-2】春节前夕，某商场举行“抽奖返现”促销活动，凡购物每满元，即可抽奖一次抽奖规则如下：在一个不透明的箱子中装有个红球、个黄球、个白球仅颜色不同，每次抽奖前将其摇匀后，抽奖者从中随机摸出个球，记下颜色后，放回若是红球，则获得奖金元；若是黄球，则得奖金元；若是白球，则为感谢参与无奖金． (1)若抽奖者从该箱子中随机摸出一个球，摸到白球的概率是______； (2)王丹当天在该商场消费元，抽了两次奖，请用列表或画树状图的方法求她两次抽奖的和等于元的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式． （1）由题意知，共有种等可能的结果，其中摸到白球的结果有种，利用概率公式可得答案； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及她两次抽奖的和等于元的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有种等可能的结果，其中摸到白球的结果有种， 摸到白球的概率为． 故答案为：； （2）解：列表如下： 红 黄 白 白 红 （红，红） （红，黄） （红，白） （红，白） 黄 （黄，红） （黄，黄） （黄，白） （黄，白） 白 （白，红） （白，黄） （白，白） （白，白） 白 （白，红） （白，黄） （白，白） （白，白） 共有种等可能的结果，其中她两次抽奖的和等于元的结果有：（红，黄），（黄，红），共种， 她两次抽奖的和等于元的概率为． 【变式3-3】春，是茶的盛事；茶，是景迈山给世人的馈赠．千年茶山年年春，世界遗产普洱景迈山2025年春茶季系列活动自3月下旬启幕，将持续至5月！其中，“醒春山”系列活动分为：A澜沧古茶“回家之旅”，B柏联寻茶之旅，C九泽茶窖春茶季大型活动．甲、乙两名同学准备前往一睹盛况，各自随机选择A、B、C三个活动中的一个，二人选择哪个活动不受任何因素影响，每一个活动被选到的可能性相同．记甲同学的选择为x，乙同学的选择为y． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求甲和乙选到不同活动的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了概率的计算，用列表法展示所有可能的结果，关键在于准确找出符合条件的结果数和所有可能的结果数，然后利用概率公式计算． （1）通过列举法分析所有可能的结果； （2）利用概率公式计算符合条件的情况概率即可． 【详解】（1）解：由题意列表如下： 由表可知，共有9种等可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相同． （2）由（1）可知，甲和乙选到不同活动有，，，，，共6种结果， 概率为． 题型四 根据概率判断游戏的公平性 【例4】“石头、剪刀、布”的游戏古老而简单，早在汉朝时期就开始流行．甲同学、乙同学和丙同学约定游戏规则如下：由甲同学和乙同学玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么丙同学获胜；否则，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定甲同学和乙同学中的获胜者．假设甲同学和乙同学每次出这三种手势的可能性相同． (1)用树状图或列表法求出丙同学获胜的概率； (2)你认为这个游戏对三人公平吗？为什么？ 【答案】(1) (2)公平，理由见解析． 【分析】此题考查了游戏公平性、列表法与树状图法以及概率公式，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． （1）列表得出共有9种等可能的结果，其中两人的手势相同的结果有3种，再由概率公式求解即可； （2）求出甲同学获胜的概率和乙同学获胜的概率，再比较即可得出结论． 【详解】（1）解：列表如下： 石头 剪刀 布 石头 （石头，石头） （剪刀，石头） （布，石头） 剪刀 （石头，剪刀） （剪刀，剪刀） （布，剪刀） 布 （石头，布） （剪刀，布） （布，布） 共有9种等可能的结果，其中两人的手势相同的结果有3种， ∴丙同学获胜的概率； （2）这个游戏对三人公平，理由如下： 由（1）可知，丙同学获胜的概率为，甲同学获胜的结果有3种，乙同学获胜的结果有3种， ∴甲同学获胜的概率＝乙同学获胜的概率， ∴甲同学获胜的概率＝乙同学获胜的概率＝丙同学获胜的概率， ∴这个游戏对三人公平． 【变式4-1】嘉嘉和淇淇一起玩五子棋游戏，如图，棋盘旁有两个棋盒．甲盒中有3个白子和7个黑子，乙盒中有1个白子和1个黑子． (1)从甲盒中拿出m个黑子放入乙盒后，从两个棋盒中随机摸出1个棋子是白子的概率均相同，求m的值； (2)经过（1）的棋子调整后，用乙盒及棋盒中的棋子做如下游戏，规则：先随机摸出1个棋子，记下颜色后放回，再摸出1个棋子．若摸出两个棋子的颜色相同，则嘉嘉胜；若摸出两个棋子的颜色不同，则淇淇胜．请问该游戏规则公平吗？说明理由． 【答案】(1)1 (2)不公平，见解析 【分析】（1）根据简单地概率公式列出分式方程解答即可； （2）利用列表法，计算各自的概率，比较大小，判定即可． 本题考查了简单地概率公式，列表法求概率，解分式方程，正确选择方法是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， 经检验，是这个分式方程的解， 的值为1． （2）解：该游戏规则不公平，理由如下： 经过（1）的棋子调整后，乙盒中有1个白子和2个黑子，列表如下： 后拿先拿 白 白 （白，白） （白，） （白，） （，白） （，） （，） （，白） （，） （，） 共有9种等可能的结果，其中摸出的两个棋子颜色相同的有5种结果，摸出的两个棋子颜色不同的有4种结果， 嘉嘉获胜的概率为，淇淇获胜的概率为， 该游戏规则不公平． 【变式4-2】小明和小亮玩游戏，小明有一个质地均匀的骰子（如图1，六个面上分别刻有，，，，，个小圆点的小正方体），小亮有个小球，小球上分别标有数字、、（小球除数字不同外其余均相同），将其放入一个不透明的布袋中（如图2）搅匀． (1)小亮从布袋中随机摸出一个小球，记下数字后再将小球放回布袋中搅匀，这样重复摸了次小球，其中有次摸出的小球上的数字是，则摸出的小球上的数字是的频率是 ； (2)小明掷一次骰子，骰子朝上一面的点数记作小明掷出的数，小亮从布袋中随机摸出一个小球，小球上的数字记作小亮摸出的数，谁的数大，谁就获胜．这个游戏规则对两人公平吗？请利用列表或画树状图的方法进行说明． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】本题考查了求频率，画树状图求概率，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据频率等于频数除以总数，即可求解； （2）画出树状图或列表可知共有种情况，分别算出两个人获胜的概率，如果相等则说明游戏公平，不相等，说明不公平． 【详解】（1）解：小亮随机摸球次，其中次摸出的小球上的数字是， 故摸出的小球上的数字是的频率是． 故答案为：． （2）解：画树状图如下： 由上图可知共有种等可能的结果，其中小明获胜的结果数有种，小亮获胜的结果数有种， 故小明获胜的概率为：，小亮获胜的概率为：， ∵， ∴这个游戏规则对两人不公平． 【变式4-3】围棋是一种古老的中国传统游戏，起源于中国古代．赵婷和李海是围棋爱好者，他们在某次对弈前约定规则来决定由谁执黑棋（围棋的第一原则：黑棋先下子，白棋后下子，然后双方轮流下子）．将两枚白棋和三枚黑棋装入不透明的围棋罐中，摇匀． (1)从罐中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回罐中摇匀，不断重复这个过程，共摸棋子20次，其中有7次摸到白棋．则这20次摸棋子中，摸出白棋的频率是________； (2)他们约定的规则如下：赵婷先从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回，摇匀，然后李海再从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色．若摸出的两枚棋子颜色不同由赵婷执黑棋，若摸出的两枚棋子颜色相同由李海执黑棋．请用画树状图或列表的方法判断这个规则对双方是否公平？若不公平，他们两人中谁执黑棋的概率更大． 【答案】(1)0.35（或） (2)这个规则对双方不公平，李海执黑棋的概率更大 【分析】此题考查了频率的计算，游戏的公平性、用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件． （1）用摸到白球的个数除以摸球的总数即可； （2）画出树状图，分别求出李海执黑棋和李海执黑棋的概率即可求解． 【详解】（1）； （2）画树状图如下： 由树状图可知，共有25种等可能的结果，其中摸出的两枚棋子颜色不同的结果有12种，颜色相同的结果有13种， （赵婷执黑棋），P（李海执黑棋）， （赵婷执黑棋）（李海执黑棋）， 这个规则对双方不公平，李海执黑棋的概率更大． 题型五 概率在转盘抽奖中的应用 【例5】某家电商场举办年终促销活动，其中之一是消费满3500元参与抽奖活动，抽奖活动设置的翻奖牌的正面、背面如图所示． (1)抽奖得到“手机”的概率是 ； (2)请你设计一个翻奖牌，包含“手机”“空气炸锅”“护眼灯”“洗衣液”“谢谢参与”，使得最后抽到“护眼灯”的概率是 ． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】概率在转盘抽奖中的应用、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了概率公式，解题的关键是： （1）一共有9张牌，其中2张手机的牌，再根据公式计算； （2）根据可能性的大小，保证“护眼灯”有3张即可，设计九张牌中有三张写着“护眼灯”，其它的六张牌中“手机”“空气炸锅” “洗衣液”各一张，“谢谢参与”三张，答案不唯一． 【详解】（1）解：由题意可知一共有9张牌，其中“手机”有2张，则抽到“手机”奖品的可能性是：， 故答案为：； （2）解：设计九张牌中有三张写着“护眼灯”，其它的六张牌中“手机”“空气炸锅” “洗衣液”各一张，“谢谢参与”三张，答案不唯一． 如图： 【变式5-1】某商场为吸引消费者，举行幸运大转盘活动，规定顾客消费满100元就可获得转如图所示的转盘（转盘被平均分成3份）的机会．为了活跃气氛，该商场设计了两个方案： 方案一：转动转盘一次，若指针指向数字1可领取一份奖品； 方案二：转动转盘两次，若两次指针指向的数字之和为奇数可领取一份奖品．（若指针指向分界线，则重转） (1)若转动转盘一次，则领取到一份奖品的概率为________； (2)若转动转盘两次，用树状图列举出所有等可能出现的结果； (3)如果你获得转动转盘的机会，想要领取到奖品，你会选择哪个方案？并说明理由． 【答案】(1) (2)图见解析，共有9种等可能的结果 (3)会选择方案二；理由见解析 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率、概率在转盘抽奖中的应用 【分析】本题考查了概率公式以及列表法与树状图法求概率，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用概率公式求解； （2）根据题意画出树状图即可解决； （3）利用（2）中树状图求出方案二中领取一份奖品的概率，然后比较两个方案中领取一份奖品的概率的大小来判断选择哪个方案． 【详解】（1）解：若转动一次转盘，指针指向数字1的概率为， 故答案为：； （2）解：树状图如图，共有9种等可能的结果； （3）解：会选择方案二． 理由：由（2）可得，方案二中，领取到一份奖品的概率为， ， 选择方案二． 【变式5-2】如图，图1、图2是可以自由转动的两个转盘．图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是120°．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色． (1)在图1转盘中转出数字6的概率为________． (2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘．若某个转盘的指针恰好指在分界线上时重转．小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 【答案】(1) (2)小颖的观点是对的，理由见解析 【知识点】根据概率公式计算概率、概率在转盘抽奖中的应用 【分析】本题考查概率的应用．熟练掌握概率公式，正确的计算是解题的关键． （1）共有9种结果，转出数字6的结果有1种，利用概率公式计算即可； （2）分别求出转出的数字小于7的概率和转出的颜色是红色的概率，进行比较即可得出结论． 【详解】（1）共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，“转出数字是6的结果有1种， ∴P（转出数字6）； 故答案为：； （2）小颖说法正确，理由： 小明转动图1的转盘：转出的数字共有9种等可能的结果，其中，转出的数字小于7共有6种等可能的结果，所以小明转出的数字小于7的概率是， 小亮转动图2的转盘：红色部分所在扇形的圆心角度数是， P（转出红色）， P（转出数字小于7）（转出红色）， 小颖的观点是对的． 【变式5-3】九（1）班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在“手工”区域的次数 落在“手工”区域的频率 (1)求出的值； (2)请估计当很大时，频率将会接近______；假如你去转动该转盘一次，你获得“手工”奖品的概率约是______．（精确到） 【答案】(1)， (2)， 【知识点】概率在转盘抽奖中的应用 【分析】(1)根据频率频数总数求解即可； (2)根据表格中的数据可以估计频率是多少以及转动该转盘一次，获得“手工”的概率． 【详解】（1）解：∵转动转盘的次数为，落在“手工”区域的频率为， ∴， ∵转动转盘的次数为，落在“手工”区域的频率为， ∴， （2）解：∵根据表格信息可知：落在“手工”区域的频率的平均数大约为：, ∴当n很大时，频率将会接近， ∴假如你去转动该转盘一次，你获得“手工”奖品的概率约是． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，明确题意，利用数形结合的思想是解题的关键． 题型六 统计与概率综合应用问题 【例6】我市某中学在参加“争创卫生城市”书画比赛中，杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班(用A，B，C，D表示)，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图．请根据以上信息，回答下列问题： (1)杨老师采用的调查方式是   ( 填“全面调查”或“抽样调查”)； (2)请补全条形统计图，并估计全校共征集作品的件数； (3)如果全校征集的作品中有3件获得特等奖，其中有2名作者是男生，1 名作者是女生，现要在获得特等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或画树状图的方法，求恰好选取的两名学生是一男一女的概率． 【答案】(1)抽样调查 (2)补全的条形统计图见解析；件 (3) 【知识点】判断全面调查与抽样调查、画条形统计图、条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，涉及抽样调查，用样本估计总体，列举法求概率等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查； （2）由B班的作品数量除以所占的百分比即可求出所调查的4个班征集到的作品总数，将作品总数减去其他三个班的作品数量即可得到班作品数量，即可补全条形统计图．的件数为：（件；继而可补全条形统计图；求出所抽取的4个班级作品数量的平均数，乘以全级30个班级，可估计全校共征集作品的数量． （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两名学生是一男一女的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）解：杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查． 故答案为：抽样调查． （2）解：所调查的4个班征集到的作品数为：（件， 班有（件， 补全条形图如图所示， 所抽取的4个班级作品数量的平均数为（件）， ∴估计全校共征集作品数量为（件）； （3）解：画树状图为： 共有6种等可能的结果，恰好选取的两名学生是一男一女的有4种情况， 恰好选取的两名学生是一男一女的概率为． 【变式6-1】北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青少年对冰雪项目的浓厚兴趣．某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的人数进行了统计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪四项（每人限选项），制作了如下统计图（部分信息未给出）． 请你根据图中提供的信息解答下列问题： (1)在这次调查中，一共调查了______名学生；若该校共有名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有______人； (2)补全条形统计图； (3)把短道速滑记为、花样滑冰记为、自由式滑雪记为、单板滑雪记为，学校将从这四个运动项目中抽出两项来做重点推介，请用画树状图或列表的方法求出抽到项目中恰有一项为单板滑雪的概率． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3) 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、画条形统计图、条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率 【分析】（）先利用花样滑冰的人数除以其所对应的百分比，可得调查的总人数；再利用乘以花样滑冰的人数所占的百分比，即可求解； （）分别求出单板滑雪的人数，自由式滑雪的人数，即可求解； （）根据题意，画出树状图可得从四项中任取两项运动的所有机会均等的结果共有种，抽到项目中恰有一个项目为单板滑雪的有种等可能结果，再根据概率公式计算，即可求解； 本题主要考查了扇形统计图和条形统计图，用样本估计总体，利用树状图和列表法求概率，明确题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键． 【详解】（1）调查的总人数为人，人； 故答案为：，； （2）单板滑雪的人数为人， 自由式滑雪的人数为人， 补全条形统计图如下： （3）根据题意，画出树状图如下： 从四项中任取两项运动的所有机会均等的结果共有种，抽到项目中恰有一个项目为单板滑雪的有种等可能结果． ∴抽到项目中恰有一项为单板滑雪的概率为． 【变式6-2】某市图书馆计划举办中小学生“成语百变”趣味活动，因报名人数较多，将所有报名人员分为四组同时进行，现随机抽取了部分报名的学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成如下所示两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题． (1)本次抽取调查学生共有______人，其中组的学生人数为______． (2)补全条形统计图，并求出扇形统计图中组部分所占的圆心角的度数． (3)小红和小林都报名参加了“成语百变”趣味活动，他们会被随机分到四个组中，请用画树状图法或列表法，求两人恰好分到同一组的概率． 【答案】(1)60；21 (2)见解析， (3) 【知识点】画条形统计图、求扇形统计图的圆心角、条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、列举法求概率等知识，通过条形统计图和扇形统计图获得所需信息是解题关键． （1）利用“组学生人数除以其占比”，即可求得本次抽取调查学生总人数；利用“本次抽取调查学生总人数组的学生人数占比”，即可求得答案； （2）结合（1）补全条形图；利用“组学生占比”即可求得答案； （3）根据题意作出树状图，结合树状图求解即可． 【详解】（1）解：本次抽取调查的学生总人数为（人）， 组的人数为（人）． 故答案为：60；21； （2）结合（2），可补全条形图如下图所示， 组部分所占的圆心角； （3）根据题意，画树状图如下， 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中两人恰好分到同一组的结果为4， 所以两人恰好分到同一组的概率． 【变式6-3】新学期伊始，某校运用今年流行的“：龙行龘龘（da），：前程朤朤（lāng），：德行垚垚（yáo），：身体骉骉（biāo）”等祝福热词制作贺卡开展“龙年送祝福”活动，为了解学生对这四个热词的喜爱程度，随机对部分学生进行调查，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一个，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： (1)这次抽样调查共抽取__________人； (2)将条形统计图补充完整； (3)学校要从，，，四个词制作的四张贺卡中，随机抽出两张送给九（1）班的同学，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两张贺卡恰好是“前程朤朤”和“身体骉骉”的概率． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，条形统计图与扇形统计图，掌握统计的基本知识是解题的关键． （1）利用选项的人数除以其百分比，即可求解； （2）先计算的数据，再画条形图； （3）先列表，再根据简单事件的概率求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）（人）， 补全的条形统计图如图所示： （3）列表如下： 由表可知，一共存在种等可能性结果，其中抽出的两张贺卡恰好是“前程朤朤”和“身体骉骉”的可能性有种， 抽出的两张贺卡恰好是“前程朤朤”和“身体骉骉”的概率为． 题型七 求某事件的频率 【例7】今天的日期是20250113，在这串数字中，“0”出现的频率是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了频率的计算，掌根频率的计算方法成为解题的关键． 据日期“20250113”中，共有8个数字，其中数字“0”出现了2次，然后运用频率公式计算即可． 【详解】解：日期“20250113”中，共有8个数字，其中数字“0”出现了2次，数字“2”出现的频率是． 故答案为：． 【变式7-1】已知数据：，，，，，其中无理数出现的频率是 ． 【答案】0.4 【分析】此题考查了频率的求法以及无理数的定义，正确把握无理数的定义是解题关键．直接利用无理数的定义结合频率的求法得出答案． 【详解】解：∵数据：，，，，，其中无理数有：，π， ∴无理数出现的频率是：． 故答案为0.4． 【变式7-2】每逢中秋佳节，赏月吃月饼是中国人的传统．有关部门对某食品生产企业生产的某一批次月饼进行抽样检测，结果如下表： 抽取月饼数量 50 100 200 500 1000 2000 优等品数量 45 92 194 474 951 1900 若从这批月饼中任取一个，则检测结果为优等品的概率约为 ．（精确到） 【答案】 【分析】本题考查用频率估计概率，随着抽取球数目的增加，频率值都在常数的附近摆动，由此能求出任意抽取一个乒乓球检测时，其为优等品的概率．其做法是取多次试验发生的频率稳定值来估计概率．掌握用频率估计概率是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得， 抽取月饼数量 50 100 200 500 1000 2000 优等品数量 45 92 194 474 951 1900 优等品频率 0.900 0.920 0.970 0.948 0.951 0.950 随着抽取球数目的增加，计算得到的频率值虽然不同，但都在常数的附近摆动， ∴任意抽取一个乒乓球检测时，其为优等品的概率约为． 答案为：． 【变式7-3】某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据： 重复试验次数 10 50 100 500 1000 2000 5000 钉尖朝上次数 5 15 36 200 403 801 2001 估计任意抛掷一枚图钉，钉尖朝上的概率约为 .（结果精确到） 【答案】 【分析】本题考查了求频率，用频率估计概率，随着试验次数的增加，频率稳定趋向一个固定的值，这个固定值即是概率；求出各个频率即可估计出概率． 【详解】解：表中从左往右，频率分别为， 钉尖朝上的概率约为； 故答案为：． 题型八 用频率估计概率 【例8】通过大量的掷图钉试验，发现钉尖朝上的频率稳定在0.75附近，则可估计钉尖朝上的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查用频率估计概率，牢记随机事件的频率与概率的关系（可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率）是解题的关键．根据随机事件通过大量重复试验发生的频率与概率的关系求解即可． 【详解】解：∵钉尖朝上的频率稳定在0.75附近， ∴估计钉尖朝上的概率为． 【变式8-1】某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数n 50 100 500 1000 1500 2000 3000 发芽的频数m 44 92 463 928 1396 1866 2794 发芽的频率 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931 这种绿豆发芽的概率的估计值为 （精确到0.01）． 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确． 根据利用频率估计概率得到随试验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在左右，由此该种绿豆发芽的概率的估计值为． 【详解】解：根据表中的发芽的频率，当试验次数的增多时，发芽的频率越来越稳定在左右，所以可估计这种绿豆发芽的机会大约是． 故答案为：． 【变式8-2】如图是小华用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果，若再次抛掷一枚图钉，则可以估计“钉尖向上”的概率是 ．（精确到0.001） 【答案】 【分析】本题考查了用频率估计概率．当试验次数足够大，频率趋于稳定，此时可以频率来表示概率．用频率估计概率作答即可． 【详解】解：由题意知，估计“钉尖向上”的概率是， 故答案为：． 题型九 用频率求数量/面积 【例9】一个不透明的箱子里装有仅颜色不同的红色卡片和蓝色卡片共20张．随机从箱子里摸出1张卡片，记下颜色后再放回，经过多次的重复试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在附近，由此估计箱子中蓝色卡片有 张． 【答案】8 【分析】本题考查的知识点是由频率估计概率、根据概率公式计算概率，解题关键是熟练掌握由频率估计概率的方法． 根据频率估计概率，然后根据概率公式列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设箱子中蓝色卡片有x张，根据题意得： ， 解得， 则箱子中蓝色卡片有8张． 故答案为：8． 【变式9-1】在一个不透明的盒子中装有3个红球和若干个白球，这些球除颜色外均相同，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则这个盒子中大约有 个白球． 【答案】12 【分析】此题考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，首先根据红球的个数和摸到红球的频率求出球的总个数，然后减去红球的个数即可得到白球的个数． 【详解】解：∵有3个红球，摸到红球的频率稳定在0.2左右， ∴这个盒子中大约有个球， ∴（个）， ∴这个盒子中大约有12个白球． 故答案为：12． 【变式9-2】七年级某班同学设计用频率去估计概率的试验如下：在一个不透明的口袋中，装有9个球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，统计了黄球出现的次数，绘出的统计图如图所示，则袋子中黄球的个数最可能是 个． 【答案】 【分析】本题考查了由频率求数量，由统计图可得，黄球出现的频率稳定在，由此计算即可得解，正确得出黄球出现的频率是解此题的关键． 【详解】解：由统计图可得，黄球出现的频率稳定在， 故袋子中黄球的个数可能是（个）， 故答案为：． 【变式9-3】小明为了解平整地面上一块不规则图案的面积，采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将它围起来（如图1），然后随机地朝长方形区域内扔小球，并计算小球落在阴影区域内（落在界线上或长方形区域外不计）的频率，并绘制成折线统计图（如图2），由此可估计不规则图案的面积约为 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率，频率分布折线图，以及利用频率估计概率，正确理解折线统计图是解题的关键．由折线统计图可知，小球落在不规则图案内的概率约为，求出长方形的面积，再乘概率求解即可． 【详解】解：由折线统计图可知，小球落在不规则图案内的概率约为， 长方形的长为，宽为， 长方形的面积为， 不规则图案的面积约为， 故答案为：． 题型十 用频率估计概率的综合应用 【例10】工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 合格频数 m 合格频率 (1)估计任抽一件该产品是合格品的概率是________；表格中m的值为________； (2)某天甲员工被抽检了件该产品，估计其中不合格品有多少件？ 【答案】(1)； (2)估计其中不合格品有件 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）利用频率估计概率可得任抽一件该产品是合格品的概率，用总件数乘合格的频率即可得出m的值； （2）总件数乘以不合格的概率即可． 【详解】（1）解：估计任抽一件该产品是合格品的概率是， ， 故答案为：，； （2）解：抽取件数为时，合格的频率趋近于， 估计任抽一件该产品是不合格品的概率为； ∴（件）， 答：估计其中不合格品有件． 【变式10-1】在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.59 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的________，________； (2)“摸到白球”的概率的估计值是________（精确到0.1）； (3)如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球． 【答案】(1)0.58，118； (2) (3)个 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）利用频率频数样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数． 【详解】（1）解：，， 故答案为：0.58，118； （2）解：由表格的数据可得， “摸到白球的”的概率的估计值是0.6． 故答案为：0.6； （3）解：(个)， 答：除白球外，还有大约10个其它颜色的小球． 【变式10-2】下表是某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数n 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的粒数m 94 a 475 954 1906 4748 发芽频率 0.94 0.955 0.946 b 0.953 0.9496 (1)上表中的_______，______； (2)任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是______（精确到0.01）； (3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育． 【答案】(1)，； (2)； (3)需要准备10000粒种子进行发芽培育． 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量： （1）根据频率等于频数除以总数，进行计算即可； （2）利用频率估算概率即可； （3）利用概率计算数量即可． 【详解】（1）解： ， ． 答案为：，； （2）∵随着实验种子数的增加，频率稳定在， ∴任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是． 故答案为：； （3） 答：需要准备10000粒种子进行发芽培育． 【变式10-3】在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)表中________；________； (2)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近________（精确到）； (3)估计袋子中有白球________个； (4)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球________个． 【答案】(1)，； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了利用频率估计概率，分式方程的应用，解题的关键是正确理解大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （）根据，即可求解； （）根据表格分析即可求解； （）由摸到黑球的频率将会接近，则有摸到黑球的概率为，故摸到黑球的概率为，则袋子中有白球， （）设增加相同的白球个，根据题意得，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：当很大时，摸到黑球的频率将会接近， 故答案为：； （3）解：∵摸到黑球的频率将会接近， ∴摸到黑球的概率为， ∴摸到黑球的概率为， ∴袋子中有白球（个）， 故答案为：； （4）解：设增加相同的白球个， 根据题意得，， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合实际， 故答案为：． 基础巩固通关测 一、单选题 1．为发展学生的阅读素养，某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这四个阅读项目中随机抽取一个，则他们恰好抽到不同阅读项目的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查概率的计算，掌握画树状图法或列表法是关键，事件发生的概率事件发生的次数所有可能出现的次数，解题的易错点是分清题目中抽签是否放回．先画树状图求出两位同学恰好都抽到不同阅读项目的情况，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：设《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目分别为，画树状图如下： 一共有种等可能的结果，其中恰好抽到不同阅读项目的结果有种可能， ∴他们恰好抽到不同阅读项目的概率是， 故选：A． 2．袋中有黑球6个，白球有若干个，这些球除颜色外都相同，通过多次摸球实验发现，摸到白球的频率稳定在附近，则袋中有白球（   ） A．3个 B．2个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了随机概率，利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键． 由摸到白球的频率稳定在附近，可以得出口袋中得到白色球的概率，然后求得口袋中得到黑色球的概率，然后即可求解． 【详解】解：∵通过多次摸球实验发现，摸到白球的频率稳定在附近， ∴袋中得到白球的概率为， ∴袋中得到黑球的概率为：， ∵袋中有黑球6个， ∴袋中球的总个数为：个， ∴袋中有白球：个； 故选：C； 3．数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个白球、3个红球、2个黄球和1个黑球，这些球除颜色外无其他区别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球最有可能是（    ） A．黑球 B．红球 C．黄球 D．白球 【答案】C 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，解题的关键是理解题意；由频率图可知：抽出某个颜色的球的概率稳定在0.20，然后问题可求解． 【详解】解：由图可知：抽出某个颜色的球的概率稳定在0.20， ， 抽出某个球的颜色最有可能的是黄球； 故选：C． 4．数学兴趣小组做“抛瓶盖试验”获得的数据如下表： 拋掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 盖口向上的频数 64 118 189 252 310 370 434 498 558 621 盖口向上的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.61 0.62 0.62 0.62 0.62 下列说法正确的是（　　） A．根据实验结果，“盖口向上”和“盖口向下”具有等可能性 B．若再抛掷瓶盖100次，则一定有62次“盖口向上” C．若抛掷瓶盖10次，结果“盖口向上”8次，则“盖口向上”的概率为0.8 D．若抛掷瓶盖2000次，则“盖口向上”的次数大约有1240次 【答案】D 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．利用频率估计概率即可得出答案． 【详解】解：A、根据实验结果，“盖口向上”的概率约为0.62，“盖口向下”的概率约为0.38，不具有等可能性，此选项错误，不符合题意； B、若再抛掷瓶盖100次，则大约有62次“盖口向上”，此选项错误，不符合题意； C、若抛掷瓶盖10次，结果“盖口向上”8次，则“盖口向上”的频率为0.8，次数较少，不能用来估计概率的大小，此选项错误，不符合题意； D、若抛掷瓶盖2000次，则“盖口向上”的次数大约有（次），此选项正确，符合题意； 故选：D． 5．今年植树节，某社区集中移栽了一批香樟树．该社区调查了这批香樟树移栽成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计这批香樟树移栽成活的概率约为（    ） A．0.85 B．0.90 C．0.95 D．0.98 【答案】B 【分析】本题考查的是利用频率估算概率，频数分布表，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键．由图可知，这批香樟树移栽成活的棵数占比稳定在0.90，故成活的概率估计值为0.90． 【详解】解：由统计图可得，随着移栽数量的增加，成活棵树的占比逐步稳定在0.90附近， 成活的概率约为0.90． 故选：B． 二、填空题 6．如图，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．利用树状图列举出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率． 【详解】解：用树状图表示所有可能出现的结果有： ∴能让灯泡发光的概率， 故答案为：． 7．抛一个瓶盖，落地后会出现“盖口向上”和“盖口向下”两种情况小明通过信息技术模拟实验得到了如下的折线统计图根据统计结果估计事件“盖口向上”发生的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确． 根据折线统计图可得“盖口向上”的频率稳定到的常数，再根据大量重复实验中事件发生的概率求解即可． 【详解】解：观察折线统计图发现：随着实验次数的增加频率逐渐稳定到常数附近， 估计事件“盖口向上”发生的概率为． 故答案为：． 8．如图所示的是可以自由转动的转盘，转动转盘，转盘停止时指针落在白色区域的概率为 ． 【答案】/ 【分析】本是考查的是简单事件的概率问题，掌握概率的计算方法是解决此类问题的关键．白色区域的圆心角度数除以圆的周角的度数可得到指针落在白色区域的概率． 【详解】解：指针落在白色区域内的概率， 故答案为：． 9．小颖和小亮玩“抓纸牌”的游戏．在一个不透明的盒子里，有8张红桃、4张黑桃、a张方块．每张牌质地、大小都相同．一人摸牌，一人记录，经过多次的试验、数据的记录、平均值的计算．小颖和小亮发现摸出方块的频率越来越接近．请你估计a的值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了根据频率估计概率，应用概率公式进行计算．先根据摸出方块的频率越来越接近，得出摸出方块的概率为，再求出纸牌的总数为18，再求出a的值即可． 【详解】∵摸出方块的频率越来越接近， ∴摸出方块的概率为， ∴摸出红桃、黑桃的概率为：， ∴纸牌的总数为：， ∴， 故答案为：6． 10．如图，小颖在10×10的方格纸中绘制图形“19”，为计算它的面积，小颖将米粒随机撒在方格纸上，经过大量重复试验，发现米粒落在“19”区域的频率稳定在常数附近，由此可估计图形“19”的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，设图形“19”的面积是，由题意可得，解之即可求解，解题的关键是理解大量重复试验中事件发生的频率即是事件发生的概率． 【详解】解：设图形“”的面积是， 由题意可得，， 解得， 由此可估计图形“”的面积为 故答案为：． 三、解答题 11．在复习了“三角形三边之间的数量关系”之后，老师设计了如下这道概率题：有一组互不全等的三角形，它们的三边长均为整数，每一个三角形有两条边的长分别为6和8． (1)设组中最多有个三角形，求的值； (2)在两组勾股数3、4、5和5、12、13中各任取一个数，用列表法或画树状图的方法求两个数的和是偶数的概率． 【答案】(1)11 (2) 【分析】本题考查了列表法求概率，三角形的三边关系的应用； （1）根据三角形的三边关系可得，再根据第三边为整数进一步求解即可； （2）先列表得到所有的情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：设三角形的第三边为， 每一个三角形有两条边的长分别为6和8， ， ， 三角形的三边长均为整数， ， 组中最多有11个三角形， ； （2）解：列表如下， 3 4 5 5 8 9 10 12 15 16 17 13 16 17 18 共9种等可能结果，其中和为偶数有5种， 故两个数的和是偶数的概率为. 12．2025年春节档饺子导演的电影《哪吒之魔童闹海》红遍全球，以156亿元票房高居全球票房第五名，将中国文化推向世界，让世界各族人民喜欢中国文化、学习中国文化．哪吒、敖丙、太乙真人和申公豹的图像的卡片成为热门商品，某中学两名同学用4张哪吒、敖丙、太乙真人和申公豹的卡片玩游戏，（卡片形状大小完全相同，背面颜色一致）充分洗匀后随机抽取． (1)随机抽取一张卡片，抽到哪吒卡片的概率是___________； (2)若第一次抽取后不放回求连续两次抽到一对师徒的概率？（太乙真人与哪吒、申公豹和敖丙是师徒） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法，概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为哪吒的结果有1种，利用概率公式可得答案； （2）画出表格展示所有12种可能的结果数以及取出的张卡片为一对师徒的结果数为4，再利用概率公式可得出答案； 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中取出的卡片图案为哪吒的结果有1种， ∴随机取出的卡片图案为哪吒的概率为 ， 故答案为：； （2）解：任意取出1张卡片，记录后不放回，再从中任意取出1张卡片，设哪吒为A；敖丙为B；太乙真人为C；申公豹为D；作出表格如下： 共有12种可能的结果，其中两次取出的卡片中图案为一对师徒的结果数为4， ∴两次取出的卡片中图案为一对师徒的概率为 ， 答：取出的卡片为一对师徒的概率为． 13．综合与实践 实践背景：某小型植物可能开出多种颜色的花朵．为了解该植物开红色花朵的比例，植物社团的成员打算随机收集一些该植物植株幼苗进行试验研究． 试验设计：由五个小组的成员分别收集该植物的一些植株幼苗，播种在校园五处适合植物生长的空地分开试验，最后统计各组数据． 【数据记录】 一组 二组 三组 四组 五组 开红花的植株数量 56 1 71 63 86 开其他颜色花的植株数量 86 9 101 93 129 出现红花的频率（保留两位小数） 0.39 a 0.41 0.40 b （1）表中________，________； 【理论分析】 （2）经过学习我们知道，在大量重复的试验中，我们可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率．在上述五个小组的数据中，你认为第________组的数据不适合用频率估计概率，理由是___________，你认为一株该植物开出红花的概率是________． 【实际应用】 （3）某小公园自然存在有大量该植物，经统计其中开红花的该植株有514棵，请你估计该公园此植物植株的总数量． 【答案】（1）；（2）二，试验的植株数太少，；（3）估计该公园此植物植株的总数量为1285棵． 【分析】本题考查了频率，用频率估计概率，样本估计总体数量等知识，理解大量重复实验中，频率趋向于一个稳定的数，这个数即为概率是解题的关键． （1）根据频数除以数据总数得频率即可求解； （2）根据大量重复实验中，频率趋向于概率的特点进行解答即可； （3）根据用样本估计总体的思想即可求解． 【详解】解：（1），； 故答案为：； （2）第二组的数据不适合用频率估计概率，理由是试验的植株数太少，除第二组外，其余各组的频率在附近摆动，且实数的植株数比较多，可以认为一株该植物开出红花的概率为； 故答案为：二，试验的植株数太少，； （3）（棵）； 答：估计该公园此植物植株的总数量为1285棵． 14．某学校为丰富课后服务内容，计划开设经典诵读，花样跳绳、电脑编程、国画赏析、民族舞蹈五门兴趣课程．为了解学生对这五门兴趣课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（要求每位学生只能选择一门课程），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息，完成下列问题： (1)本次调查共抽取了________名学生；扇形统计图中“电脑编程”所对应扇形的圆心角度数为________． (2)若全校共有1200名学生，请估计选择“民族舞蹈”课程的学生人数． (3)在经典诵读课前展示中，甲同学从标有A《出师表》、B《观沧海》、C《行路难》的三个签中随机抽取一个后放回，乙同学再随机抽取一个，请用列表或画树状图的方法，求甲乙两人至少有一人抽到A《出师表》的概率． 【答案】(1)300； (2)200名 (3) 【分析】（1）用条形统计图中“国画鉴赏”的人数除以扇形统计图中“国画鉴赏”的百分比可得本次调查的学生人数；用360°乘以“电脑编程”的人数所占的百分比，即可得出答案． （2）根据用样本估计总体，用1200乘以样本中选择“民族舞蹈”课程的人数所占的百分比，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两人至少有一人抽到A《出师表》的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 【详解】（1）解：本次调查共抽取学生名． ∴扇形统计图中“电脑编程”所对应扇形圆心角的度数为． 故答案为：300，． （2）解：名． ∴估计选择“民族舞蹈”课程的学生人数约200名． （3）解：列表如下： 甲乙 由表格可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人至少有一人抽到A《出师表》的结果有5种， ∴甲、乙两人至少有一人抽到A《出师表》的概率为． 能力提升进阶练 一、单选题 1．一个转盘分为白色（圆心角）和红色（圆心角）区域，自由转动两次，一次白色一次红色的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了树状图法以及概率公式，正确画出树状图是解题的关键．把红色区域等分成两部分，再利用树状图由概率公式求解即可． 【详解】解：如图，把红色区域等分成两部分， 让转盘自由转动2次，画树状图如下： 共有9种等可能的结果，指针一次落在白色区域，另一次落在红色区域结果有4种， ∴指针一次落在白色区域，另一次落在红色区域的概率为． 故选：D． 2．山西省农业科学院高粱研究所在培育高粱晋杂23号时，在相同条件下进行了发芽试验，发芽情况绘制成如图所示的统计图，据此估计高粱晋杂23号种子的发芽概率约为（   ） A．1 B．0.95 C．0.9 D．0.85 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 由图可知，成活频率在0.9上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值为0.9． 【详解】解：这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.9． 故选：C． 3．在生物学中，根据生物细胞结构的不同可分为真核生物和原核生物．下列卡片除正而图案不同外其他均相同，其中酵母菌、黏菌属于真核生物，螺旋藻、支原体则属于原核生物．现将这四张卡片背面朝上洗匀放好，琦琦从中随机抽取一张卡片（不放回），亮亮再从中随机抽取一张卡片，则所抽取的两张卡片上的生物均属于真核生物的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列表法或画树状图的方法求概率；通过画树状图，可得共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的生物均属于真核生物的为和，共2种，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：将酵母菌、黏菌、螺旋藻、支原体用表示， 画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的生物均属于真核生物的为和，共2种， 则两张卡片上的生物均属于真核生物的概率为， 故选：C． 4．在一个不透明的盒子里装有个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色再把它放回盒子中，不断重复实验，统计结果显示，随着实验次数越来越大，摸到黑球的频率逐渐稳定在左右，则据此估计盒子中大约有白球（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系． 设白球有个，利用概率公式列出方程求解即可． 【详解】解：设白球有个，根据题意得， ， 解得， 所以，盒子中大约有白球9个， 故选：C． 5．设计比赛的靶子是由10个同心圆组成，如图．已知这个靶子上面每相邻的两个同心圆半径之差等于最里面小圆的半径，规定：从最外面的圆环到最里面的小圆的环数依次为1环、2环、……、10环．在第33届巴黎夏季奥运会射击比赛中，某选手射出一发子弹，他射中8环的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何概率，设最小的圆的半径为1，根据每相邻的两个同心圆半径之差等于最里面小圆的半径，结合圆的面积求出8环的面积，再乘以整个大圆的面积即可得出结果． 【详解】解：设最小的圆的半径为1，则从里到外，圆的半径依次为， ∴他射中8环的概率是； 故选B． 6．某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，符合这一结果的实验最有可能的是（   ） 实验次数 100 200 500 800 1000 2000 频率 0.165 0.166 0.166 0.167 0.166 0.167 A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” C．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5 D．抛一枚硬币，出现反面的概率 【答案】C 【分析】此题考查了用频率估计概率， 根据表格数据，随着实验次数的增加，频率稳定在0.167左右，对应的概率约为．需逐一验证各选项的理论概率，选择最接近的选项． 【详解】解：表格中实验次数从100到2000时，频率在0.165至0.167之间波动，最终稳定在附近， A：一副去掉大小王的扑克牌共52张，红桃有13张，概率为，不符合． B：在“石头、剪刀、布”游戏中，每个选项的概率为，不符合． C：正六面体骰子每个点数出现的概率均为，与表格数据一致． D：抛硬币出现反面的概率为，不符合． ∴选项C的理论概率与实验频率最接近． 故选：C． 二、填空题 7．如图，转动转盘当转盘停止后，指针落在B区域的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率，根据B区域的圆心角为得出B区域占整个转盘的比值，即可求出指针落在B区域的概率． 【详解】解：由转盘上的度数得出B区域的圆心角为， 则， 即指针落在B区域的概率是． 故答案为： 8．如图，已知面积为的正方形二维码，为估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内任取个点，若有个点在黑色部分，则二维码中黑色部分的面积约为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率的方法是解题的关键．用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：二维码中黑色部分的面积约为， 故答案为：． 9．在一个不透明的口袋中有10个除颜色外都相同的小球，每次摇匀后摸出一个球，记下颜色后放回．下表是摸到红球的频数记录，则袋中红球的个数是 ． 摸球总次数 10 20 30 40 50 60 70 80 摸到红球的次数 2 5 9 13 16 18 22 24 摸到红球的频率 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，已知概率求数量，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近．根据表格中的数据，随着实验次数的增大，频率逐渐稳定在左右，即为摸出红球的概率，再进一步求解即可． 【详解】解：观察表格得：通过多次摸球实验后发现其中摸到红球的频率稳定在左右， 则． ∴袋中红球的个数是， 故答案为3． 10．如图1，在边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为，即可求得不规则图案的面积． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 设不规则图案的面积为，则有， 解得：， 即不规则图案的面积为． 故答案为：． 11．在一个不透明的布袋里装有4个标号为，，，的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小慧从布袋里随机取出一个小球，记下数字为，小莹从剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为，这样确定了点的坐标．则点在函数的图象上的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了画树状图求概率， 先画出树状图，即可得出所有可能出现的结果，进而得出符合题意的结果，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图， 点所有可能的坐标有，，，，，，，，，，，，共12种，其中在函数图象上的有2种，即，， 点在函数图象上的概率为． 故答案为：． 三、解答题 12．有5张背面看上去无差别的卡片，正面分别写着数字4，4，5，5，6，将卡片背面朝上，洗匀后放在水平桌面上． (1)随机抽取1张卡片，则抽取的卡片上的数字是4的概率是_______； (2)从5 张卡片中随机抽取2 张（不放回），请利用列表或画树状图的方法，求抽取的2 张卡片上的数字不同的概率． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解； （2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】（1）解∶ 随机抽取1张卡片，则抽取的卡片上的数字是4的概率是， 故答案为∶ （2）解：根据题意，列表如下： 4 4 5 5 6 4 — (4，4) (4，5) (4，5) (4，6) 4 (4，4) — (4，5) (4，5) (4，6) 5 (5，4) (5，4) — (5，5) (5，6) 5 (5，4) (5，4) (5，5) — (5，6) 6 (6，4) (6，4) (6，5) (6，5) — 由表格可知，共有20种等可能的结果，其中抽取的2张卡片上的数字不同的结果有16 种．故所求概率为 13．无锡阳山水蜜桃以果肉细腻、汁多味甜闻名全国，是江苏省地理标志产品．每年盛夏，阳山水蜜桃进入成熟季，果农们会严格检测品质以确保消费者能品尝到最佳风味．某基地对不同批次的水蜜桃进行坏果率抽检，得到如下数据： 检测批次的总果数 1000 2000 3000 4000 5000 6000 坏果数 59 124 240 305 354 坏果频率 根据表格回答下列问题： (1)表中的___________，___________； (2)任取一个水蜜桃，估计它是坏果的概率为___________（精确到）； (3)若基地需要为即将到来的水果节确保9400颗完好水蜜桃用于销售，那么至少需要准备多少颗水蜜桃进行分拣？ 【答案】(1)183，； (2) (3)10000颗 【分析】本题考查频率估计概率及概率的实际应用，解题关键是利用频率稳定值估计概率，再通过概率建立方程解决实际问题． （1）根据“坏果频率”的关系，结合表格中对应数据列等式，分别求出（利用3000批次的频率算坏果数）和（用5000批次坏果数与总果数算频率 ）． （3）观察多组检测数据的坏果频率，发现其随总果数增加逐渐稳定在，以此估计任取一个水蜜桃是坏果的概率 ． （3）先确定完好水蜜桃的概率（坏果概率），设准备水蜜桃总数为，依据“完好水蜜桃数总数完好概率”且要满足至少9400颗完好，列不等式求解的最小值 ． 【详解】（1）解：根据题意得； 解得： ． 故答案为：183，； （2）观察坏果频率，随着检测批次总果数增加，坏果频率逐渐稳定在左右， 所以估计任取一个水蜜桃是坏果的概率为 ． 故答案为：； （3）解：设至少需要准备颗水蜜桃，完好水蜜桃的概率为，要确保9400颗完好水蜜桃， ， 解得， ∴至少需要准备10000颗水蜜桃进行分拣． 14．数学老师用游戏的方式给甲、乙两个学习小组提供足球票观看比赛．游戏规则如下：在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四张卡片（除标号外，其余都相同），甲组代表从口袋中任意摸出1张卡片，卡片上的数字记为x．在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3的三个小球（除标号外，其余都相同），乙组代表从该口袋里任意摸出1个小球，小球上的数字记为y．然后计算这两个数的积，即．若为奇数，则甲组获得足球票，否则，乙组获得足球票． (1)用列表或画树状图的方法，求甲组获得足球票的概率； (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)这个游戏不公平，理由见解析 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率，准确列表或画树状图是关键． （1）列表得到所有等可能的情况和满足题意的情况，用概率公式进行解答即可； （2）根据甲组获得足球票的概率和乙组获得足球票的概率即可进行解答． 【详解】（1）解：列表如下： xy 1 2 3 4 1 2 3 共有12种等可能的结果，其中为奇数的结果有4种， 甲组获得足球票的概率； （2）这个游戏不公平，理由如下： 由（1）可知，甲组获得足球票的概率，共有12种等可能的结果，其中为偶数的结果有8种， 乙组获得足球票的概率， ， 甲组获得足球票的概率乙组获得足球票的概率， 这个游戏不公平． 15．春风送暖，万物复苏，2025年3月12日，在第47个中国植树节来临之际，河南省开展了2025年度春季义务植树活动．林业局对本次植树活动的移植成活率进行统计并绘制了统计图（如图）． 请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)这批树苗成活的频率稳定在_____附近，估计成活概率为_____；（精确到0.1） (2)此次植树活动的树苗主要有油松、侧柏、杨树和云杉，每种树苗的棵数均相同．如果小张随机拿取一棵树苗栽种，拿中侧柏的概率是多少? (3)此次植树活动已经种了2000棵树苗，请你估计，要使此次移植的树苗成活2160棵，还需要移植多少棵树苗？ 【答案】(1)0.9，0.9 (2) (3)还需要移植400棵树苗 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率、概率的简单计算以及概率在实际问题中的应用，熟练掌握频率与概率的关系、概率公式是解题的关键． （1）观察统计图中频率的变化趋势，找到稳定值，依据频率估计概率的思想确定成活概率． （2）根据概率的定义，利用树苗种类数量关系，计算拿到侧柏的概率． （3）先由成活概率算出达到目标成活数所需总树苗数，再减去已种树苗数，得到还需移植数量． 【详解】（1）解：∵ 观察统计图，成活频率在附近波动 ∴ 这批树苗成活的频率稳定在附近，估计成活概率为 故答案为：0.9，0.9 （2）解：∵ 树苗有油松、侧柏、杨树和云杉，共种，每种棵数相同 ∴ 拿中侧柏的概率 （3）解：∵ 成活概率为，要成活棵 ∴ 所需总树苗数为（棵） ∵ 已种棵 ∴ 还需移植（棵） 16．某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有红球、黑球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据： 摸球次数 100 150 200 500 800 1000 2000 摸到红球的次数 52 72 262 404 499 1000 摸到红球的频率 0.52 0.51 0.524 0.505 0.499 0.5 (1)表中的_____________，_____________； (2)通过摸球实验，请你估计摸到红球的概率是_____________； (3)上述实验中，若袋中10个球中有3个黑球，为决定谁将获得仅有的一张电影票，设计了如下的摸球游戏，规则如下：如果摸到黑球，则小明获胜；如果摸到白球，则小颖获胜；如果抽到红球，则视为无效抽球，需将球放回袋中，游戏继续，这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由，如果不公平，请重新设计一个公平游戏． 【答案】(1)0.48；102 (2)0.5 (3)这个游戏不公平，理由见解析，新设计一个公平游戏见解析 【分析】此题考查了频率统计表，利用频率估计概率，概率公式，游戏公平性．大量反复试验下频率稳定值即概率．掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键． （1）用摸到红球的次数除以摸球的总次数，求出a；用摸球的总次数乘以摸到红球的频率，求出b； （2）根据图表给出的数据即可得出摸到红球的频率，然后用频率估计算概率即可； （3）根据摸到红球的频率计算出红球的个数，从而求出白球个数，再分别求出摸到的白球与黑球的概率，再比较即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：0.48；102． （2）解：由统计表可知：摸到红球的频率约为0.5， ∴估计摸到红球的概率是0.5． （3）解：由（2）摸到红球的概率是0.5， ∴红球的个数为（个）， ∴白球的个数为（个）， ∴摸到的白球的概率为 摸到的黑球的概率， ∵， ∴这个游戏不公平， 设计公平游戏为：将袋中红球拿出 1个换成白球，即袋中10个球，有3个黑球，3个白球，4个红球，或将袋中黑球拿出 1个换成红球，即袋中10个球，有2个黑球，2个白球，6个红球．规则不变，即为公平的游戏． 17．2024年4月23日是世界读书日，今年的主题是“阅读改变未来”．读书不仅能够让我们获得知识、扩展视野，还可以激发思考、增加创造力、促进个人成长．小敏随机调查了七年级40名同学近半年内每人阅读课外书的数量，数据如下表： 人数 10 10 a 5 课外书数量（本） 3 4 6 8 (1)样本容量为______，表中______； (2)阅读课外书数量的中位数是______，众数是______，平均阅读课外书为______本； (3)若将阅读课外书数量以扇形统计图的形式呈现，则阅读数量为6本的人数对应圆心角为多少度？ (4)若从阅读8本课外书的5名学生（一男四女）中抽取两名参加学校组织的课外知识竞赛，试用树状图或列表法求抽取为一男一女的概率． 【答案】(1)40；15 (2)5，6，5 (3)135度 (4) 【分析】本题考查的是扇形统计图、用样本估计总体、平均数、众数和中位数的概念，树状图法或列表示求概率． （1）根据题意可得样本容量为40，用40减去另外三个的人数即可得出a的值； （2）根据众数、中位数、平均数的概念即可求解； （3）乘阅读数量为6本的人数所占的比例可得阅读数量为6本的人数对应的圆心角度数； （4）画树状图，共有20种等可能的结果，被抽到的两名学生恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：样本容量为40， ， 故答案为：40；15； （2）解：∵共有40名同学，中位数是第20、21个数的平均数， ∴中位数是：； ∵6出现了15次，出现的次数最多， ∴众数是6； 这40名同学平均阅读的课外书的数量为（本）， 故答案为：5，6，5； （3）解：， 答：阅读数量为6本的人数对应的圆心角为135度； （4）解：设四名女同学分别用A、B、C、D表示，一名男同学用E表示，画树状图如下； 由树状图可知一共有20种等可能性的结果数，其中恰好是一男一女的结果数有8种， ∴恰好抽取为一男一女的概率为． 18．为进一步增强学生的法制意识，提升学生的法律知识素养，某校在开展“学宪法 讲宪法”期间，将七年级参加竞赛的学生成绩统计后，绘制成如下统计图表(不完整)：A组：，B组：，C组：，D组：． 　　　 根据以上信息回答下列问题： (1)补全图1，图2中 ，D组的圆心角是 度； (2)已知该校七年级有500人，估计七年级“学宪法 讲宪法”属于D组的人数一共是多少? (3)现在准备从D组4名同学中，有2名男生和2名女生，随机抽取2名同学参加校级比赛，请你用画树状图或列表法求抽取的两名同学恰好1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1) (2)40人 (3) 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，求扇形统计图中扇形的圆心角，列表法或画树状图求概率等知识； （1）由两个图知，C组的学生人数及占比，即可求得七年级参加竞赛的学生，从而可求得B组的人数，进而补全图1；根据所求B组的人数及总数可求得n；利用D组的占比与的乘积可求解； （2）利用样本估计总体的思想即可求解； （3）列表，由表可得所有等可能的情况，其中抽取的两名同学恰好1名男生和1名女生的情况，由概率公式即可求解． 【详解】（1）解：由图可得：七年级参加竞赛的学生有：（人）， B组人数有：（人）， 补全图形如下： ∴； D组的圆心角： ； 故答案为：． （2）解：（人）， ∴估计七年级“学宪法 讲宪法”属于D组的人数一共是40人． （3）解：列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 由列表可知，共有12种等可能的情况，其中抽取的两名同学恰好1名男生和1名女生的情况有8种， ∴P(抽取的两名同学恰好1名男生和1 名女生) 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$