第四章 图形的相似（单元测试·基础卷）数学北师大版九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第四章 图形的相似·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B B A A B C B C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（或或） 12． 13． 14．/ 15．/厘米 16．或 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）解：∵， ∴设，，， ∵， ∴，解得：， ∴，，；.............3分 （2）解：∵线段是线段的比例中项， ∴， ∴， ∵，， ∴（负值已舍去）．.............6分 18． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴；.............3分 （2）解：∴，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，即的长为5．.............6分 19． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； .............3分 （2）解：由位似图形的性质得，点的横纵坐标分别乘以得到对应点的坐标， ∴点的坐标为， 故答案为：．.............6分 20． 【详解】解：，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ，， ， 又， ，.............3分 ， 即， ， 解得， 答：崇文塔的高度为，.............6分 21． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， 把沿翻折，点落在边上的点处， ， ，， ， ．.............4分 （2）解：为的中点，， ， ， ， ， ， ， ， ∴在中，， 即.............8分 22． 【详解】（1），理由如下， ∵四边形是正方形 ∴，即 ∴；.............3分 （2）设正方形的边长为， ∵是的高， ∴， ∵， ∴，即是的高 ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴，则， ∵ ∴ ∴ 解得： ∴正方形的边长为．.............8分 23． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴， 整理得： 解得：，（舍去）， 故黄金分割数为；.............3分 （2）解：因为二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处，且“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短， 则令“千斤”下面一截琴弦长为， 所以， 解得， 所以“千斤”下面一截琴弦长为．.............8分 24． 【详解】（1）解：如图1，过点作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故答案为：．.............3分 （2）解：如图2，过点作交于点， ∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 设，则， ∴， 故答案为：．.............6分 （3）解：如图3，过点作交于点， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∵的面积与的面积之比是， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：12；.............9分 （4）证明：如图4，过点作， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．.............12分 25． 【详解】（1）解：，，， 在和中， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 即， ， ， ；.............3分 （2）如图2，过点A作于点Q，交于点N， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得， ；.............7分 （3）连接，延长交于点Q，连接交于点P，延长交于点N，根据（1）得， ， 是中线， ， ， ， ， 即， ， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ， 设，则， 在和中， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， ， ， ， , 即， 解得．.............12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第四章 图形的相似·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各组线段中，能成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】本题考查了线段成比例．如果四个数、、、满足，那么这四个数就称为成比例的数，记作 或者或者；因此判断四条线段是否成比例，需验证是否存在两对线段的乘积相等即可，对选项一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A、，故错误； B、，故错误； C、，故错误； D、，故正确． 故选D． 2．已知线段c是线段a、b的比例中项，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据比例中项的定义“如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或，那么线段c是线段a和b的比例中项”进行解答即可得． 本题主要考查比例中项的定义，熟练掌握比例中项的定义解题的关键． 【详解】解：∵线段c是线段a、b的比例中项， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 3．两个相似三角形的面积比是，那么它们的周长比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比是， ∴两个相似三角形的周长比为； 故选B． 4．在和中，有下列条件： ①；②；③；④． 如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断的共有（    ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理（①有两角相等的两个三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两个三角形相似，③有三组对应边的比相等的两三角形相似）得出即可 【详解】解：选①②： ∵，， ∴， ∴； 选①③，无法得到； 选①④，无法得到； 选②③，无法得到； 选②④： ∵，， ∴； 选③④： ∵，， ∴． ∴能判断的共有3组． 故选：B 5．如图，点C是线段的黄金分割点（），若长为2，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割，掌握较长线段是全线段的即是解题的关键． 【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，且，， ∴， ∴； 故选：A． 6．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质和勾股定理，掌握“如果两个三角形相似，则它们的对应边成比例”是解题关键． 根据相似三角形的定义，如果两个三角形相似，则它们的对应边成比例．首先计算的三边之比，然后对比选项中的三角形的三边之比，找出与相似的三角形即可． 【详解】解：根据题意得：，，， ， A、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与相似； B、三边之比，图中的三角形（阴影部分）与不相似； C、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似； D、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似． 故选：A． 7．如图，直线，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E，B、D、F，若，则的长为（    ） A．7 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键． 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴，即， 解得， ∴． 故选B． 8．如图，四边形与四边形关于点位似，且．若四边形的面积为3，则四边形的面积为（） A． B．6 C．12 D．18 【答案】C 【分析】本题考查位似变换，位似图形的性质，由题意得四边形与四边形的相似比为，可得四边形与四边形的面积比为，进而可得答案，熟练掌握位似图形的性质是解答本题的关键． 【详解】解：∵四边形与四边形关于点位似，， ∴四边形与四边形的相似比， ∴四边形与四边形的面积比为， ∵四边形的面积为3， ∴四边形的面积为12 故选：C． 9．如图，已知和是以点C为位似中心的位似图形，且和的周长之比为，点C的坐标为，若点A的坐标为，则点E的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换的性质，图形的平移，解题关键是掌握位似变换的性质． 先利用位似的性质得到和的位似比为，再利用平移的方法把位似中心平移到原点解决问题． 【详解】解：∵和是以点C为位似中心的位似图形， 而和的周长之比为， ∴和的位似比为， 把C点向右平移2个单位到原点，则A点向右平移2个单位的对应点的坐标为， 点以原点为位似中心的对应点的坐标为， 把点向左平移2个单位得到， ∴E点坐标为． 故选：B 10．如图，在中，对角线，相交于点，，，过点作交于点，延长到点，使，连接交于点，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理以及相似三角形的判定和性质．先根据平行四边形性质和中位线定理求出的长度，再通过相似三角形的性质求出的长度，最后用减去得到的长度． 【详解】四边形是平行四边形， ，，， ， ∴， ， 是的中位线， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，为的边上一点，要使，请添加一个条件 ． 【答案】（或或） 【分析】此题考查了相似三角形的判定，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个角形相似定理的应用．两组对应角相等，两三角形相似．在本题中，两三角形共用一个角，因此再添一组对应角或夹此对应角的两边对应成比例即可． 【详解】解：要使相似，已知，还需具备的一个条件是或或． 故答案为∶ （或或） 12．如图，在平行四边形中，点F在上，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，设，，，则，利用相似三角形的性质求出平行四边形的面积，即可解决问题，解题的关键是学会利用参数解决问题． 【详解】解：设，，，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为:． 13．如图是一个用来测量小管口径的量具，其中长为，被分为40等份．若小管口径恰好对着10等份处（），则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．由得，再根据相似三角形的性质，即可求得答案． 【详解】， ， ， ，，， ， 解得． 故答案为：． 14．如图，，，，，五个点均在边长为1的小正方形组成的网格线的格点上，若于点，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定及性质．利用勾股定理求得，再证得，进而可得，进而可求解． 【详解】解：由图可知， 在中，由勾股定理得：， ， ， 又， ， ，即， 解得：， 故答案为：． 15．如图1是装了液体的长方体容器的截面图（数据如图），将容器绕底面一条棱旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口的边缘，如图2所示，此时水面宽度为 ． 【答案】/厘米 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，旋转的性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．如图，作于，则，由题意知，，，则，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：如图，作于，则， 由题意知，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 16．在中，是边上的高且满足，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论是解题的关键．分三种情况讨论，一是点在边上，因为是边上的高且满足，所以，，则，所以，则；二是点在边的延长线上，由，，证明，则，所以；三是点在边的延长线上，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：是边上的高且满足，， ，， 如图，点在边上， ，， ， ， ； 如图，点在边的延长线上，则， ，， ， ， ； 如图，点在边的延长线上， ，且， ，不符合题意， 综上所述，或， 故答案为：或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知线段满足，且． (1)求的值； (2)若线段是线段的比例中项，求的值； 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解题的关键． （）根据，设，，，再代入等式进行计算即可得； （）根据比例中项的定义列式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设，，， ∵， ∴，解得：， ∴，，； （2）解：∵线段是线段的比例中项， ∴， ∴， ∵，， ∴（负值已舍去）． 18．如图，已知直线分别截直线于点A，B，C，截直线于点D，E，F，与相交于点M．且． (1)如果，求的长； (2)如果，，求的长． 【答案】(1) (2)5 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，解一元一次方程，熟练掌握定理并找准对应线段是解题的关键． （1）由平行线分线段成比例定理得到，代入已知线段长度即可得到的长； （2）由平行线分线段成比例定理得到，由得到，即可得到的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∴，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，即的长为5． 19．如图，在带有网格的平面直角坐标系中的位置． (1)以点为位似中心，在轴右侧作出的位似图形，使得放大后的与的位似比为． (2)若点在内部，且坐标为，写出按（）变化后的对应点的坐标________． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（）把点的横纵坐标都乘以得到点的坐标，然后描点即可； （）把点的横纵坐标分别乘以即可求解； 本题考查了位似作图，位似图形的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由位似图形的性质得，点的横纵坐标分别乘以得到对应点的坐标， ∴点的坐标为， 故答案为：． 20．如图，某数学兴趣小组利用相似的知识和光的反射定律（反射角等于入射角）在综合实践活动中测量崇文塔的高度． 【测量步骤】某一时刻崇文塔的影长为，同一时刻小明站在地面上的点处时，小明影子的顶端也在处，在地面上的处放置一块平面镜（大小忽略不计），小明沿移动至点处时，恰好从平面镜中看到崇文塔的顶端； 【测量数据】经过测量可知，，，． 已知点、、、、在同一条直线上，且，，．请你根据以上测量步骤及所得数据求出崇文塔的高度． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由和，可以证得，即可证得，即得，由光的反射的性质可以得出，再结合和 ，可以证得，进而根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ，， ， 又， ， ， 即， ， 解得， 答：崇文塔的高度为， 21．如图，在矩形中，为边上的一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处，且． (1)求证：． (2)若为的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由矩形的性质得，由翻折得，推导出，则； （2）由为的中点，，得，由，勾股定理求得，进而根据相似三角形的性质求得，在中，勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， 把沿翻折，点落在边上的点处， ， ，， ， ． （2）解：为的中点，， ， ， ， ， ， ， ， ∴在中，， 即 22．如图，是的高，点，在边上，点在边上，点在边上，，，四边形是正方形． (1)与相似吗？为什么？ (2)求正方形的边长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定； （1）根据正方形的性质可得，即可得出，进而证明； （2）设正方形的边长为，根据题意证明四边形是矩形，得出，则，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1），理由如下， ∵四边形是正方形 ∴，即 ∴； （2）设正方形的边长为， ∵是的高， ∴， ∵， ∴，即是的高 ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴，则， ∵ ∴ ∴ 解得： ∴正方形的边长为． 23．综合与实践．实践主题：黄金分割数． (1)材料探索：如图1，我们知道，如果点P是线段上的一点，将线段分割成，两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数． 若设线段，的长为x，则可表示为， ∵，  ∴， …，根据此方法可计算出黄金分割数为_____________（结果保留根号）． (2)实践应用：二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图2，一把二胡的琴弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割的定义即可解决问题．熟知黄金分割的定义是解题的关键． （1）根据比例的性质得出关于x的一元二次方程，求解即可得出答案． （2）则令“千斤”下面一截琴弦长为，利用黄金分割数的定义，得出，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴， 整理得： 解得：，（舍去）， 故黄金分割数为； （2）解：因为二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处，且“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短， 则令“千斤”下面一截琴弦长为， 所以， 解得， 所以“千斤”下面一截琴弦长为． 24．如图，已知，点在上，点在上，连接与相交于点． (1)问题1：若是的中线，，则= ． (2)问题2：若是的中线，，则的值是 ． (3)问题3：若是的中线，的面积与的面积之比是，且，则 ． (4)问题4：若是的中线，且，求证：． 【答案】(1) (2) (3)12 (4)见解析 【分析】本题主要考查了三角形的中线，平行线的性质，三角形的面积，根据题意合理做出辅助线是解题关键． （1）过点作交于点，利用平行线的性质得到，； （2）过点作交于点，利用平行线的性质得到，设，则，进一步解答即可； （3）过点作交于点，利用平行线的性质得到，由的面积与的面积之比得到，由推导出，利用计算即可得解； （4）过点作，得到是的中位线，，；进一步推导出，得到，． 【详解】（1）解：如图1，过点作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故答案为：． （2）解：如图2，过点作交于点， ∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 设，则， ∴， 故答案为：． （3）解：如图3，过点作交于点， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∵的面积与的面积之比是， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：12； （4）证明：如图4，过点作， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 25．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，， (1)如图（1），连接，在纸片绕点A旋转过程中，试探究的值； (2)纸片绕点A旋转至图（2）所在位置，使得，求三角形的面积； (3)如图（3），在纸片绕点A旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点F，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到； （2）过点A作于点Q，交于点N，根据等腰三角形的性质得到，易得，故，因此得到，由，得，即，设，则，由勾股定理解得， 根据即可求出答案； （3）连接，延长交于点Q，连接交于点P，延长交于点N，根据（1）得，由是中线，得到，根据全等三角形的性质得到，根据矩形的性质得到，在中，由勾股定理得，设，则，根据全等三角形的性质得到，在中，由勾股定理得，求得，故，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：，，， 在和中， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 即， ， ， ； （2）如图2，过点A作于点Q，交于点N， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得， ； （3）连接，延长交于点Q，连接交于点P，延长交于点N，根据（1）得， ， 是中线， ， ， ， ， 即， ， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ， 设，则， 在和中， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， ， ， ， , 即， 解得． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第四章 图形的相似·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各组线段中，能成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．已知线段c是线段a、b的比例中项，若，则（   ） A． B． C． D． 3．两个相似三角形的面积比是，那么它们的周长比是（    ） A． B． C． D． 4．在和中，有下列条件： ①；②；③；④． 如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断的共有（    ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 5．如图，点C是线段的黄金分割点（），若长为2，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 6．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，直线，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E，B、D、F，若，则的长为（    ） A．7 B． C．8 D． 8．如图，四边形与四边形关于点位似，且．若四边形的面积为3，则四边形的面积为（） A． B．6 C．12 D．18 9．如图，已知和是以点C为位似中心的位似图形，且和的周长之比为，点C的坐标为，若点A的坐标为，则点E的坐标为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在中，对角线，相交于点，，，过点作交于点，延长到点，使，连接交于点，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，为的边上一点，要使，请添加一个条件 ． 12．如图，在平行四边形中，点F在上，且，则 ． 13．如图是一个用来测量小管口径的量具，其中长为，被分为40等份．若小管口径恰好对着10等份处（），则的长为 ． 14．如图，，，，，五个点均在边长为1的小正方形组成的网格线的格点上，若于点，则的长为 ． 15．如图1是装了液体的长方体容器的截面图（数据如图），将容器绕底面一条棱旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口的边缘，如图2所示，此时水面宽度为 ． 16．在中，是边上的高且满足，若，则 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知线段满足，且． (1)求的值； (2)若线段是线段的比例中项，求的值； 18．如图，已知直线分别截直线于点A，B，C，截直线于点D，E，F，与相交于点M．且． (1)如果，求的长； (2)如果，，求的长． 19．如图，在带有网格的平面直角坐标系中的位置． (1)以点为位似中心，在轴右侧作出的位似图形，使得放大后的与的位似比为． (2)若点在内部，且坐标为，写出按（）变化后的对应点的坐标________． 20．如图，某数学兴趣小组利用相似的知识和光的反射定律（反射角等于入射角）在综合实践活动中测量崇文塔的高度． 【测量步骤】某一时刻崇文塔的影长为，同一时刻小明站在地面上的点处时，小明影子的顶端也在处，在地面上的处放置一块平面镜（大小忽略不计），小明沿移动至点处时，恰好从平面镜中看到崇文塔的顶端； 【测量数据】经过测量可知，，，． 已知点、、、、在同一条直线上，且，，．请你根据以上测量步骤及所得数据求出崇文塔的高度． 21．如图，在矩形中，为边上的一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处，且． (1)求证：． (2)若为的中点，求的长． 22．如图，是的高，点，在边上，点在边上，点在边上，，，四边形是正方形． (1)与相似吗？为什么？ (2)求正方形的边长． 23．综合与实践．实践主题：黄金分割数． (1)材料探索：如图1，我们知道，如果点P是线段上的一点，将线段分割成，两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数． 若设线段，的长为x，则可表示为， ∵，  ∴， …，根据此方法可计算出黄金分割数为_____________（结果保留根号）． (2)实践应用：二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图2，一把二胡的琴弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长（结果保留根号）． 24．如图，已知，点在上，点在上，连接与相交于点． (1)问题1：若是的中线，，则= ． (2)问题2：若是的中线，，则的值是 ． (3)问题3：若是的中线，的面积与的面积之比是，且，则 ． (4)问题4：若是的中线，且，求证：． 25．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，， (1)如图（1），连接，在纸片绕点A旋转过程中，试探究的值； (2)纸片绕点A旋转至图（2）所在位置，使得，求三角形的面积； (3)如图（3），在纸片绕点A旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点F，直接写出的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第四章 图形的相似·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各组线段中，能成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．已知线段c是线段a、b的比例中项，若，则（   ） A． B． C． D． 3．两个相似三角形的面积比是，那么它们的周长比是（    ） A． B． C． D． 4．在和中，有下列条件： ①；②；③；④． 如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断的共有（    ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 5．如图，点C是线段的黄金分割点（），若长为2，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 6．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，直线，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E，B、D、F，若，则的长为（    ） A．7 B． C．8 D． 8．如图，四边形与四边形关于点位似，且．若四边形的面积为3，则四边形的面积为（） A． B．6 C．12 D．18 9．如图，已知和是以点C为位似中心的位似图形，且和的周长之比为，点C的坐标为，若点A的坐标为，则点E的坐标为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在中，对角线，相交于点，，，过点作交于点，延长到点，使，连接交于点，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，为的边上一点，要使，请添加一个条件 ． 12．如图，在平行四边形中，点F在上，且，则 ． 13．如图是一个用来测量小管口径的量具，其中长为，被分为40等份．若小管口径恰好对着10等份处（），则的长为 ． 14．如图，，，，，五个点均在边长为1的小正方形组成的网格线的格点上，若于点，则的长为 ． 15．如图1是装了液体的长方体容器的截面图（数据如图），将容器绕底面一条棱旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口的边缘，如图2所示，此时水面宽度为 ． 16．在中，是边上的高且满足，若，则 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知线段满足，且． (1)求的值； (2)若线段是线段的比例中项，求的值； 18．如图，已知直线分别截直线于点A，B，C，截直线于点D，E，F，与相交于点M．且． (1)如果，求的长； (2)如果，，求的长． 19．如图，在带有网格的平面直角坐标系中的位置． (1)以点为位似中心，在轴右侧作出的位似图形，使得放大后的与的位似比为． (2)若点在内部，且坐标为，写出按（）变化后的对应点的坐标________． 20．如图，某数学兴趣小组利用相似的知识和光的反射定律（反射角等于入射角）在综合实践活动中测量崇文塔的高度． 【测量步骤】某一时刻崇文塔的影长为，同一时刻小明站在地面上的点处时，小明影子的顶端也在处，在地面上的处放置一块平面镜（大小忽略不计），小明沿移动至点处时，恰好从平面镜中看到崇文塔的顶端； 【测量数据】经过测量可知，，，． 已知点、、、、在同一条直线上，且，，．请你根据以上测量步骤及所得数据求出崇文塔的高度． 21．如图，在矩形中，为边上的一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处，且． (1)求证：． (2)若为的中点，求的长． 22．如图，是的高，点，在边上，点在边上，点在边上，，，四边形是正方形． (1)与相似吗？为什么？ (2)求正方形的边长． 23．综合与实践．实践主题：黄金分割数． (1)材料探索：如图1，我们知道，如果点P是线段上的一点，将线段分割成，两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数． 若设线段，的长为x，则可表示为， ∵，  ∴， …，根据此方法可计算出黄金分割数为_____________（结果保留根号）． (2)实践应用：二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图2，一把二胡的琴弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长（结果保留根号）． 24．如图，已知，点在上，点在上，连接与相交于点． (1)问题1：若是的中线，，则= ． (2)问题2：若是的中线，，则的值是 ． (3)问题3：若是的中线，的面积与的面积之比是，且，则 ． (4)问题4：若是的中线，且，求证：． 25．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，， (1)如图（1），连接，在纸片绕点A旋转过程中，试探究的值； (2)纸片绕点A旋转至图（2）所在位置，使得，求三角形的面积； (3)如图（3），在纸片绕点A旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点F，直接写出的长． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$