第7章 概率 章末复习课（教用Word）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

章末复习课 一、互斥事件与对立事件 互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．若A1，A2，…，An互斥，则P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).对立事件概率由公式可得P(A) ＝1－P()(这里是A的对立事件). [例 1]　某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求： (1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1张奖券的中奖概率； (3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． [解]　(1)P(A)＝， P(B)＝＝， P(C)＝＝. 故事件A，B，C的概率分别为，，. (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M， 则M＝A∪B∪C. ∵A，B，C两两互斥，∴P(M) ＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＝. 故1张奖券的中奖概率为. (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件． ∴P(N)＝1－P(A∪B) ＝1－＝. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为. 1．有4张面值相同的债券，其中有2张中奖债券． (1)有放回地从债券中任取2张，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率； (2)无放回地从债券中任取2张，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率． 解：(1)把四张债券分别编号1，2，3，4，其中3，4是中奖债券，用(2，3)表示“第一次取出2号债券，第二次取出3号债券”，则试验的样本空间为Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}． 用C表示“有放回地从债券中任取2次，取出的2张都不是中奖债券”，则表示“有放回地从债券中任取2次，取出的2张中至少有1张是中奖债券”， 则C＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}， 所以P() ＝1－P(C)＝1－＝. (2)无放回地从债券中任取2张，则试验的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}． 用D表示“无放回地从债券中任取2张，取出的2张都不是中奖债券”，则表示“无放回地从债券中任取2次，取出的2张至少有1张是中奖债券”， 则P() ＝1－P(D)＝1－＝. 二、古典概型 古典概型是一种最基本的概率模型，也是学习其他概率模型的基础，在高考题中，经常出现此种概率模型的题目．解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P(A)＝时，关键是正确理解试验的发生过程，求出试验的样本空间的样本点总数n和事件A的样本点个数m. 角度1　古典概型概率的计算 [例 2]　甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女． (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，求选出的2名教师性别相同的概率； (2)若从报名的6名教师中任选2名，求选出的2名教师来自同一学校的概率． 解：(1)从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，所有样本点为(甲男1，乙男)、(甲男2，乙男)、(甲男1，乙女1)、(甲男1，乙女2)、(甲男2，乙女1)、(甲男2，乙女2)、(甲女，乙女1)、(甲女，乙女2)、(甲女，乙男)，共9个；选出的2名教师性别相同的样本点有(甲男1，乙男)、(甲男2，乙男)、(甲女，乙女1)、(甲女，乙女2)，共4个，所以选出的2名教师性别相同的概率为. (2)从报名的6名教师中任选2名，所有样本点为(甲男1，乙男)、(甲男2，乙男)、(甲男1，乙女1)、(甲男1，乙女2)、(甲男2，乙女1)、(甲男2，乙女2)、(甲女，乙女1)、(甲女，乙女2)、(甲女，乙男)、(甲男1，甲男2)、(甲男1，甲女)、(甲男2，甲女)、(乙男，乙女1)、(乙男，乙女2)、(乙女1，乙女2)，共15个；选出的2名教师来自同一学校的所有样本点为(甲男1，甲男2)、(甲男1，甲女)、(甲男2，甲女)、(乙男，乙女1)、(乙男，乙女2)、(乙女1，乙女2)，共6个，所以选出的2名教师来自同一学校的概率为＝. 角度2　古典概型与统计的综合应用 [例 3]　有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下： 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 (1)为了调查大众评委对7位歌手的支持情况，现用分层随机抽样方法从各组中抽取若干名大众评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表． 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数 6 (2)在(1)中，若A，B两组被抽到的大众评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的大众评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率． [解]　(1)由题设知，分层随机抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表： 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数 3 6 9 9 3 (2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2，支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果为 由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率P＝＝. 2．某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位(每班学生50人)，每班按随机抽样方法抽取了8名学生的视力数据．其中高三(1)班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表： 视力 数据 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 人数 2 2 2 1 1 (1)用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值； (2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3，4.4，4.5，4.6，4.8.若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率． 解：(1)高三(1)班学生视力的平均值为 ＝4.7， 故用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值为4.7. (2)从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，所有的取法共有15种，而满足抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的取法有：(4.3，4.5)，(4.3，4.6)，(4.3，4.7)，(4.3，4.8)，(4.4，4.6)，(4.4，4.7)，(4.4，4.8)，(4.5，4.7)，(4.5，4.8)，(4.6，4.8)，共有10种，故抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为P＝＝. 三、频率与概率 对于概率的定义应注意以下几点 (1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验． (2)只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫作事件A的概率． (3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值． (4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小． (5)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故0≤P(A)≤1. [例 4]　某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度 出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 频数 60 50 30 30 20 10 (1)记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P(A)的估计值； (2)记B为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P(B)的估计值； (3)求续保人本年度平均保费的估计值． [解]　(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2. 由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为 ＝0.55，故P(A)的估计值为0.55. (2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3. (3)由所给数据得 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 调查的200名续保人的平均保费为 0．85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a. 因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a. 3．近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)： “厨余垃 圾”箱 “可回收 物”箱 “其他垃 圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 续表 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 (1)试估计厨余垃圾投放正确的概率； (2)试估计生活垃圾投放错误的概率． 解：(1)设“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量为m吨，厨余垃圾总量为n吨，则m＝400，n＝400＋100＋100＝600. 以频率估计概率，得厨余垃圾投放正确的概率约为＝＝. (2)设“生活垃圾投放错误”为事件A，则事件表示“生活垃圾投放正确”． 以频率估计概率，得P()＝＝0.7， 所以P(A) ＝1－P() ＝1－0.7－0.3. 四、事件的独立性 相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解． [例 5]　某车间共有八名工人，为了保障安全生产，每月1号要从中选取四名工人参加同样的技能测试，每名工人通过每次测试的概率都是.甲从事的岗位比较特殊，每次他都必须参加技能测试．工厂规定：工人连续两次没通过测试，则被撤销上岗资格．求甲恰好参加四次技能测试后被撤销上岗资格的概率． [解]　设事件A为“甲恰好参加四次技能测试后被撤销上岗资格”，记事件A1为“甲第一、二次通过，第三、四次未通过测试”，则P(A1)＝×××＝. 记A2为“甲第一次未通过，第二次通过，第三、四次未通过测试”，则P(A2)＝×××＝. 因为A1，A2互斥，所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝. 所以甲恰好参加四次技能测试后被撤销上岗资格的概率是. 4．设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为(　　) A．0.25　　　　　B．0.30 C．0.31 D．0.35 解析：选C　设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件A，B，C，D，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(D)＝0.4，所以同一工作日至少3人需使用设备的概率为P(ABC＋ABD＋ACD＋BCD＋ABCD)＝0.6×0.5×0.5×0.6＋0.6×0.5×0.5×0.4＋0.6×0.5×0.5×0.4＋0.4×0.5×0.5×0.4＋0.6×0.5×0.5×0.4＝0.31. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$