第7章 4 事件的独立性（教用Word）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

§4　事件的独立性 学习目标 素养要求 1.理解两个随机事件独立的含义和相互独立事件的性质． 2.理解两个相互独立事件同时发生的概率公式，会利用独立性计算概率． 1.通过学习事件的独立性的概念，培养数学抽象的核心素养． 2.通过计算相互独立事件的概率，培养数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点　事件的独立性 [问题]　甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球．从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A＝“从甲箱里摸出白球”，B＝“从乙箱里摸出白球”． (1)事件A发生会影响事件B发生的概率吗？ (2)P(A)，P(B)，P(AB)的值为多少？ (3)P(AB)与P(A)，P(B)有什么关系？ 答：(1)不影响． (2)P(A)＝，P(B)＝， P(AB)＝＝. (3)P(AB)＝P(A)·P(B). ►知识填空 相互独立事件 相关内容 定义 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作相互独立事件 公式 P(AB)＝P(A)P(B) 续表 性质 若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立 [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)事件A与B相互独立⇔P(AB)＝P(A)P(B).(　　) (2)若事件A与B相互独立，则事件与事件B也相互独立．(　　) (3)若事件A与B相互独立，则P(A＋B)＝1－P()·P().(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√ 2．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是(　　) A．　　　　　　　　　B． C． D． 答案：A 3．某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为0.4，如果甲答错，由乙答，答对的概率为0.5，则问题由乙答对的概率为(　　) A．0.2 B．0.8 C．0.4 D．0.3 解析：选D　事件“问题由乙答对”的含义是甲答错与乙答对同时发生了，由相互独立事件同时发生的概率可知，概率为P＝0.6×0.5＝0.3. 4．如图所示，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为(　　) A．0.504 B．0.994 C．0.496 D．0.064 答案：B 题型一　相互独立事件的判断 [例 1]　一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下列两种情形，讨论A与B的独立性． (1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩． 解析：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件，由等可能性知概率都为.这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，A∩B＝{(男，女)，(女，男)}，于是P(A)＝，P(B)＝； P(A∪B)＝.由此可知P(A∩B)≠P(A)P(B)，所以事件A，B不相互独立． (2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，A∩B中含有3个基本事件． 于是P(A)＝＝.P(B)＝＝， P(A∩B)＝，显然有P(A∩B)＝＝P(A)P(B)成立． 从而事件A与B是相互独立的． 两种方法判断两事件是否具有独立性 (1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响． (2)公式法：检验P(A∩B) ＝P(A)P(B)是否成立．　　 　(多选)下列事件中，A，B是相互独立事件的是(　　) A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面” B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球” C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为3或4” D．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数” 解析：选AC　把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后次序的影响，故A中A，B事件是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A事件为出现1，3，5点，P(A)＝，P(B)＝，事件AB为出现3点，P(AB)＝，P(AB)＝ P(A) P(B)，事件A，B相互独立；D中两事件是互斥事件，不是相互独立事件． 题型二　求相互独立事件的概率 [例 2]　甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求： (1)2人都射中目标的概率； (2)2人中恰有1人射中目标的概率； (3)2人至少有1人射中目标的概率； (4)2人至多有1人射中目标的概率． 解：设“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，与B，A与，与为相互被立事件． (1)2人都射中目标的概率为P(AB)＝ P(A)·P(B)＝0.8×0.9＝0.72. (2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件A发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件B发生).根据题意，事件A与B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为P(A)＋P(B)＝P(A)·P()＋P()·P(B)＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26. (3)“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”2种情况，其概率为P＝P(AB)＋[P(A)＋P(B)]＝0.72＋0.26＝0.98. (4)“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况，故所求概率为 P＝P()＋P(A)＋P(B)＝P()·P()＋P(A)·P()＋P()·P(B) ＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28. 解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若A，B相互独立，则与B，A与，与也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解．　　 　小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求： (1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率； (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率． 解：用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件， 则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9， 所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1. (1)由题意得，A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为 P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398. (2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P2＝1－P()＝1－P()P()P()＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994. 题型三　相互独立事件概率的综合问题 [例 3]　某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问在一次考试中： (1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？ (2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？ 解：分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A，B，C，则A，B，C两两相互独立且P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85. (1)“三科成绩均未获得第一名”可以用表示，P()＝P()P()P() ＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)] ＝(1－0.9)(1－0.8) (1－0. 85)＝0.003. 所以三科成绩均未获得第一名的概率是 0.003. (2)“恰好一科成绩未获得第一名”可以用(BC)＋(AC)＋(AB)表示． 由于事件BC，AC和AB两两互斥， 根据概率加法公式和相互独立事件的意义，所求的概率为P(BC) ＋P(AC) ＋P(AB) ＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85) ＝0.329， 所以恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329. (1)关键：把文字语言与符号语言进行转化，加强语言间的转化可快速解题． (2)注意点 ①确定事件关系，看是否相互独立、彼此互斥． ②熟记基本事件运算：如A，B至少有一个发生的事件记为A∪B；都发生记为AB；恰有一个发生的事件记为(A)∪(B)；至多有一个发生的事件记为(A)∪(B)∪(). [提醒]　事件是否相互独立，一般情况实际问题都已给出，注意问题的说法即可，不用另作判断．　　 　 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算).有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时． (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率． 解：甲、乙两人租车时间超过三小时不超过四小时的概率分别为1－－＝，1－－＝. (1)租车费用可分为租车费用都为0元、2元、4元三种情况． 都付0元的概率为P1＝×＝， 都付2元的概率为P2＝×＝， 都付4元的概率为P3＝×＝. 所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝. (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则ξ＝4表示两人的租车费用之和为4元，其可能的情况是甲、乙的租车费用分别为①0元，4元；②2元，2元；③4元，0元． 所以可得P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝， 即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为. [课堂小结] 1．相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响． 两个事件不可能同时发生，即A∩B＝∅. 概率公式 A与B相互独立等价于P(AB)＝P(A)P(B). 若A与B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，反之不成立． 2.相互独立事件同时发生的概率P(A∩B) ＝P(A)P(B)，即两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$