第7章 3 频率与概率（教用Word）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

§3　频率与概率 学习目标 素养要求 1.了解频率与概率的关系，理解概率的意义．2.结合实例，会用频率估计概率． 1.通过概率概念的学习，培养数学抽象的核心素养．2.通过用频率估计概率，提升数学运算、数据分析的核心素养． [自主梳理] 知识点　随机事件的频率与概率 [问题]　同一个随机事件在相同条件下在每一次试验中发生的概率都一样吗？ 答：概率是从数量上反映随机事件在一次试验中发生可能性的大小的一个量，是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关；同一个随机事件在相同条件下在每一次试验中发生的概率都是一样的． ►知识填空 1．概率的定义：在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A的频率具有稳定性．这时，把这个常数叫作随机事件的A的概率． 2．记法：P(A)． 3．范围：0≤P(A)≤1． 4．频率与概率的关系：概率是可以通过频率来“测量”的，或者说频率是概率的一个近似值．概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小．(　　) (2)做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件的概率．(　　) (3)频率是不能脱离具体的n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值．(　　) (4)频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为(　　) A．0.45，0.45　　　　　B．0.5，0.5 C．0.5，0.45 D．0.45，0.5 解析：选D　由频率和概率的概念，可知出现正面朝上的频率是＝0.45， 出现正面朝上的概率是0.5. 3．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下(单位：克) 125　120　122　105　130　114　116　95 120　134 则样本数据落在[114.5，124.5)内的频率为(　　) A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.4 答案：D 4．利用简单抽样法抽查某校150名男学生，其中身高为1.65米的有32人，若在此校随机抽查一名男学生，则他身高为1.65米的概率大约为________(保留两位小数). 答案：0.21 题型一　对概率概念的理解 [例 1]　(多选)下列说法正确的是(　　) A．一个人打靶，打了10发子弹，有6发子弹中靶，因此这个人中靶的概率为0.6 B．某地发行福利彩票，其回报率为47%，有个人花了100元钱买彩票，一定会有47元回报 C．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，则乙与甲中奖的可能性相同 D．大量试验后，可以用频率近似估计概率 解析：选CD　A中，某人打靶，射击10次，击中6次，那么此人中靶的频率为0.6，故A错误； B中，买这种彩票是一个随机事件，中奖或者不中奖都有可能，但事先无法预料，故B错误； C中，根据古典概型的概率公式可知C正确； D中，大量试验后，可以用频率近似估计概率，故D正确． (1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值． (2)由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映． (3)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．　　 　某种疾病治愈的概率是30%，有10个人来就诊，如果前7个人没有治愈，那么后3个人一定能治愈吗？如何理解治愈的概率是30%? 解：不一定．如果把治疗一个病人当作一次试验，治愈的概率是30%，是指随着试验次数的增加，大约有30%的病人能治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的．因此，前7个病人没有治愈是有可能的，而对后3个病人而言，其结果仍是随机的，既有可能治愈，也有可能不能治愈． 题型二　概率与频率的关系及求法 [例 2]　表一和表二分别表示从甲、乙两个厂家随机抽取的某批篮球产品的质量检查情况： 表一 抽取球数n 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数m 45 92 194 470 954 1 902 优等品频率 表二 抽取球数n 70 130 310 700 1 500 2 000 优等品数m 60 116 282 637 1 339 1 806 优等品频率 (1)分别计算表一和表二中篮球是优等品的各个频率(结果保留到小数点后两位)； (2)若从两个厂家生产的这批篮球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率分别是多少？ (3)若这两厂的篮球价格相同，你打算从哪一厂家购货？ 解：(1)依据频率公式计算表一中“篮球是优等品”的各个频率为0.90，0.92，0.97，0.94，0.95, 0.95；表二中“篮球是优等品”的各个频率为0.86，0.89，0.91，0.91，0.89，0.90. (2)由(1)可知，抽取的篮球数不同，随机事件“篮球是优等品”的频率也不同．表一中的频率都在常数0.95的附近摆动，则在甲厂随机抽取一个篮球检测时，质量检查为优等品的概率大约为0.95；表二中的频率都在常数0.90的附近摆动，则在乙厂随机抽取一个篮球检测时，质量检查为优等品的概率大约为0.90. (3)根据概率的定义可知：概率是从数量上反映一个随机事件发生的可能性的大小．因为P甲>P乙，表示甲厂生产出来的篮球是优等品的概率更大．因此应该选择甲厂生产的篮球． 概率的确定方法 (1)理论依据：频率在一定程度上可以反映的随机事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率． (2)计算频率：频率＝. (3)得出概率：用频率估计出概率. 　　 　某制造商今年3月份生产了一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，测得每个乒乓球的直径(单位：mm)，将数据分组如下： 分组 频数 频率 [39.95，39.97) 10 0.10 [39.97，39.99) 20 0.20 [39.99，40.01) 50 0.50 [40.01，40.03) 20 0.20 合计 100 1.00 若用上述频率近似概率，已知标准乒乓球的直径为40.00 mm，则这批乒乓球的直径误差不超过0.03 mm的概率是________． 答案：0.9 题型三　频率与概率关系的实际应用 [例 3]　“一带一路”国际合作高峰论坛在中国首都北京举行，会议期间，达成了多项国际合作协议．假设甲、乙两种品牌的同类产品出口某国家的市场销售量相等，该国质量检验部门为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取300个进行测试，结果统计如下图所示，已知乙品牌产品使用寿命小于200小时的概率估计为. (1)求a的值； (2)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率； (3)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是乙品牌的概率． 解：(1)由直方图可知，乙品牌产品使用寿命小于200小时的频数为30＋a，故频率为， 由题意可得＝，解得a＝60. (2)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为＝，用频率估计概率， 可得甲品牌产品寿命小于200小时的概率为. (3)根据抽样结果，寿命大于或等于200小时的产品有(100＋80＋40)＋(90＋80＋40)＝430(个)，其中乙品牌产品有210个，∴在样本中，寿命大于或等于200小时的产品是乙品牌的频率为＝， 用频率估计概率，得已使用了200小时的该产品是乙品牌的概率为. (1)虽然随机事件在一次试验中是否发生不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现出一定的规律性，所以可以用事件发生的频率去“测量”概率，即可以通过计算事件发生的频率去估计概率．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值． (2)此类题目的解题方法是：先利用频率的计算公式依次计算出各个频率，然后根据频率与概率的关系估计事件发生的概率，据此作出统计推断．　　 　从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表： 组号 分组 频数 1 [0，2) 6 2 [2，4) 8 3 [4，6) 17 4 [6，8) 22 5 [8，10) 25 6 [10，12) 12 7 [12，14) 6 8 [14，16) 2 9 [16，18] 2 合计 100 从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率． 解：根据频数分布表，知100名学生中一周课外阅读时间少于12小时的学生共有6＋8＋17＋22＋25＋12＝90(名)，所以样本中的学生一周课外阅读时间少于12小时的频率是＝0.9. 用频率估计概率，可得从该校随杌选取一名学生，其该周课外阅读时间少于12小时的概率为0.9. [课堂小结] 1．概率意义下的“可能性”是大量随机现象的客观规律，与我们平时所说的“可能”“估计”是不同的，也就是说，单独一次结果的不肯定性与积累结果的规律性，才是概率意义下的“可能性”，而日常生活中的“可能”“估计”侧重于某次的偶然性． 2．概率与频率关系：对于一个事件而言，概率是一个常数，而频率则随着试验次数的变化而变化，试验次数越多，频率就越接近于事件的概率． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$