第7章 2.2 古典概型的应用（教用Word）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

§2.2　古典概型的应用 学习目标 素养要求 1.了解古典概型在现实生活中的应用，能解决与古典概型有关的实际问题． 2.理解互斥事件的概率加法公式，会求较复杂事件的概率． 1.通过计算古典概型的概率，提升数学运算的核心素养． 2.通过古典概型的应用，培养数学建模的核心素养． [自主梳理] 知识点　互斥事件的概率加法公式 [问题]　设事件A发生的概率为P(A)，事件B发生的概率为P(B)，那么事件A∪B发生的概率是P(A)＋P(B)吗？ 答：不一定．当事件A与B互斥时，P(A∪B)_＝P(A)＋P(B)；当事件A与B不互斥时，P(A∪B)≠P(A)＋P(B). ►知识填空 互斥事件的概率加法公式 (1)在一次试验中，如果事件A和事件B是互斥事件，那么有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．特别地，P(A)＝1－P(). (2)如果事件A1，A2，…，An两两互斥，那么有P(A1∪A2∪…UAn)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)事件A与事件B互斥，则事件A与B互为对立事件．(　　) (2)设A，B为对立事件，则与一定也为对立事件．(　　) (3)若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.(　　) (4)对任意两事件A，B，都有P(A＋B)＝P(A)＋P(B).(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是(　　) A．0.42　　　　　　　　B．0.28 C．0.3 D．0.7 答案：C 3．掷一枚均匀的正六面体骰子，设A表示事件“出现3点”，B表示事件“出现偶数点”，则P(A∪B)＝________． 解析：显然事件A与事件B互斥， 所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝. 答案： 4．如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ，Ⅲ构成，射手命中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别为0.35，0.30，0.25，则不命中靶的概率是________． 答案：0.10 题型一　古典概型在游戏公平性中的应用 [例 1]　甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张． (1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出试验的样本空间； (2)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平？说明你的理由． 解：(1)方片4用4′表示，试验的样本空间为Ω＝{(2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，(4，3)，(4，4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)}，则样本点的总数为12. (2)不公平．甲抽到牌的牌面数字比乙大有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4′，2)，(4′，3)5种，甲胜的概率为P1＝，乙胜的概率为P2＝，所以<，所以此游戏不公平． 游戏公平性的标准及判断方法 (1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平． (2)具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较．　　 　玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛2枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，就我去；如果落地后两面一样，就你去！”你认为这个游戏公平吗？ 解：两枚硬币落地共有四种结果： 正，正；正，反；反，正；反，反． 由此可见，她们两人得到门票的概率都是，所以公平． 题型二　互斥事件、对立事件的概率 [例 2]　一名射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环，7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中： (1)射中10环或9环的概率． (2)至少射中7环的概率． 解：设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，可知它们彼此之间互斥，且P(A) ＝0.24，P(B)＝0.28，P(C) ＝0.19，P(D)＝0.16，P(E)＝0.13. (1)P(射中10环或9环)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52. (2)事件“至少射中7环”与事件E“射中7环以下”是对立事件，则P(至少射中7环)＝1－P(E)＝1－0.13＝0.87. 所以至少射中7环的概率为0.87. (1)将所求事件转化为彼此互斥的若干个事件的和，利用概率的加法公式求解．互斥事件的概率加法公式可以推广为P(A1∪A2U…UAn)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)，其使用的前提条件仍然是A1，A2，…，An彼此互斥．在将事件拆分成若干个互斥事件时，注意不能重复和遗漏． (2)当所要拆分的事件非常烦琐，而其对立事件较为简单时，可先求其对立事件的概率，再运用公式求解，但是一定要找准其对立事件，避免错误．　　 　在数学考试中，小明的成绩在90分及90分以上的概率是0.18，在80～89分(包括80分与89分，下同)的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，60分以下的概率是0.07.计算下列事件的概率： (1)小明在数学考试中取得80分及80分以上的成绩； (2)小明考试及格． 解：分别记小明的成绩在“90分及90分以上”，在“80～89分”，在“70～79分”，在“60～69分”为事件B，C，D，E，显然这四个事件彼此互斥． (1)小明的成绩在80分及80分以上的概率是 P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69. (2)法一：小明考试及格的概率是 P(B＋C＋D＋E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93. 法二：因为小明考试不及格的概率是0.07，所以小明考试及格的概率是1－0.07＝0.93. 题型三　古典概型的综合应用 [例 3]　2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况． (1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？ (2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访． 　　员工 项目 　　 A B C D E F 子女教育 ○ ○ × ○ × ○ 继续教育 × × ○ × ○ ○ 大病医疗 × × × ○ × × 住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○ 住房租金 × × ○ × × × 赡养老人 ○ ○ × × × ○ ①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； ②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率． 解：(1)由已知，老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人． (2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为 {A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，共15种． ②由表格知，符合题意的所有可能结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种． 所以事件M发生的概率P(M)＝. 使用古典概型概率公式的注意点 (1)确定是不是古典概型； (2)基本事件总数是什么，事件A是什么，包含的基本事件有哪些．　　 　一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.求： (1)“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率； (2)“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率． 解：(1)由题意知，试验的样本空间Ω＝{(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)}，共27个样本点， 设“抽出的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A， 则事件A＝{(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)}，共3种． 所以P(A)＝＝. 因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为. (2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种． 所以P(B) ＝1－P()＝1－＝. 因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为. [课堂小结] 1．互斥事件概率的加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B).对任意事件A，B，则有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB). 2．求复杂事件的概率通常有两种方法 (1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件； (2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$