第7章 2.1 古典概型（教用Word）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

§2　古典概型 §2.1　古典概型 学习目标 素养要求 1.理解古典概型的特征和计算公式，会判断古典概型． 2.会求古典概型中事件的概率． 1.通过学习古典概型等概念，培养数学抽象的核心素养． 2.通过计算古典概型的概率，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点　古典概型 [问题1]　“在区间[0，10]上任取一个数，这个数恰为5的概率是多少？”这个概率模型属于古典概型吗？ 答：不属于．因为在区间[0，10]上任取一个数，其试验结果有无限个，故其基本事件有无限个，所以不是古典概型． [问题2]　若一次试验的结果所包含的基本事件的个数为有限个，则该试验符合古典概型吗？ 答：_不一定符合．还必须满足每个基本事件出现的可能性相等才符合古典概型． ►知识填空 1．随机事件的概率 对于一个随机事件A，我们通常用一个P(A)(0≤P(A)≤1)来表示该事件发生的可能性的大小，这个数就称为随机事件A的概率．概率度量了随机事件发生的可能性的大小，是对随机事件统计规律性的数量刻画． 2．古典概型 定义 若试验E具有如下特征： (1)有限性：试验E的样本空间Ω的样本点总数有限； (2)等可能性：每次试验中，样本空间Ω的各个样本点出现的可能性相等．则称这样的试验模型为古典概率模型，简称古典概型 概率 公式 对古典概型来说，如果样本空间Ω包含的样本点总数为n，随机事件A包含的样本点个数为m，那么事件A发生的概率为P(A)＝＝ [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)古典概型的有限性是指样本空间Ω为有限样本空间．(　　) (2)一次试验中样本点总数只有有限个，则这个试验是古典概型．(　　) (3)种一粒种子它可能发芽，也可能不发芽是古典概型．(　　) (4)用古典概型的概率公式可求“在线段[0，5]上任取一点，此点小于2”的概率．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．某校高二年级的学生要从音乐、美术、体育三门课程中任选两门学习，则所有可能的结果共有(　　) A．2个　　B．3个　　C．4个　　D．5个 答案：B 3．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是(　　) A． B． C． D． 答案：C 4．在1，2，3，4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是________． 解析：可重复地选取两个数共有16个样本点，其中一个数是另一个数的2倍的有(1，2)，(2，1)，(2，4)，(4，2)，共4个样本点，故所求的概率为＝. 答案： 题型一　古典概型的判断 [例 1]　(多选)下列概率模型中为古典概型的是(　　) A．从区间[1，5]内任意取出一个数，求取到2的概率 B．从1到30的所有整数中任意取出一个数，求取到的数是5的倍数的概率 C．同时掷两颗骰子，求向上的点数都是偶数的概率 D．向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率 解析：选BC　根据古典概型的特征进行考虑，A中样本点有无限多个，因此不属于古典概型．D中硬币不均匀，则“正面朝上”“反面朝上”出现的可能性不相等，不是古典概型．BC中样本点总数是有限的，且每个数取到的可能性相等，故为古典概型． 古典概型的判断方法 判断一个试验是不是古典概型要抓住两点：一是有限性；二是等可能性．　　 　下列实验是古典概型的是(　　) A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点 B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点 C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率 D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止 解析：选C　A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的样本空间是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中样本空间不是有限个，各个样本点的发生也不具有等可能性，故D不是． 题型二　样本点的列举 [例 2]　求出下列各试验的样本空间Ω，并指出其样本点的总数． (1)从字母a，b，c中任意取出两个字母的试验； (2)从装有形状、大小完全一样且分别标有1，2，3，4，5号的5个球的袋中任意取出两个球的试验． 解析：(1)从三个字母中任取两个字母的样本空间为Ω＝{ab，ac，bc}，样本点的总数为3. (2)从袋中取两个球的样本空间为： Ω＝{球1和球2，球1和球3，球1和球4，球1和球5，球2和球3，球2和球4，球2和球5，球3和球4，球3和球5，球4和球5}，样本点的总数为10. 样本点常用的三种列举方法 (1)直接列举法：适合于较为简单的试验的题目． (2)列表法：将样本点用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清样本点的总数，以及要求的事件所包含的样本点数．列表法适用于较简单的试验的题目． (3)树状图法：使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树状图法便于分析样本点间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目．　　 1．先后抛掷3枚均匀的壹角，伍角，壹元硬币，则试验的样本点的总数为________． 解析：因为抛掷壹角，伍角，壹元硬币时，各自都会出现正面和反面2种情况，所以一共可能出现的结果有8种．可列表为： 硬币种类 试验结果(共8种) 壹角 正 正 正 正 反 反 反 反 伍角 正 反 正 反 正 反 正 反 壹元 正 反 反 正 正 反 反 正 所以试验样本点总数为8. 答案：8 2．口袋中有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一球，则第二个人摸到黑球含________个样本点． 解析：把2个白球和2个黑球分别编号为1，2，3，4，所有可能结果如树状图所示，共24个样本点． 第二个人摸到黑球含12个样本点． 答案：12 题型三　利用古典概型公式求概率 [例 3]　一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球．求： (1)样本空间的样本点的总数； (2)事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数； (3)摸出2个黑球的概率． 解：由于4个球的大小相等，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型． (1)将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球， 样本空间Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)}，其中共有6个样本点． (2)事件“摸出2个黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共3个样本点． (3)样本点总数n＝6，事件“摸出两个黑球”包含的样本点个数m＝3，故P＝＝，即摸出2个黑球的概率为. 求解古典概型的概率“四步”法 　　 1．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为(　　) A．　　　　　　　　B． C． D． 答案：B 2．先后抛掷两枚大小相同的骰子． (1)求点数之和出现7点的概率； (2)求出现两个4点的概率； (3)求点数之和能被3整除的概率． 解：如下图所示，从图中容易看出样本点与所描点一一对应，共36种． (1)记“点数之和出现7点”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的样本点共6个：(6，1)，(5，2)，(4，3)，(3，4)，(2，5)，(1，6). 故P(A)＝＝. (2)记“出现两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的样本点只有1个，即(4，4).故P(B)＝. (3)记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的样本点共12个：(1，2)，(2，1)，(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)，(3，6)，(6，3)，(4，5)，(5，4)，(6，6). 故P(C)＝＝. [课堂小结] 古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基础，这也是我们在学习、生活中经常遇到的题型．解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在用古典概型求概率时，要选择合适的方式表示样本点及样本空间，以使得基本事件具有等可能性，并且使所考察的事件能表示为样本空间的子集． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$