第2章 函数 章末复习课（教用Word）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

该高中数学章末复习讲义围绕函数主题构建知识体系，通过要点归纳与步骤总结梳理函数的概念、图象、性质三大模块，明确定义域求解、分段函数求值、图象绘制与单调区间分析、单调性及奇偶性应用等重难点，呈现知识内在逻辑联系。 讲义亮点在于例题与练习题的分层设计，如例1通过分段函数分类讨论培养数学思维，例2结合函数图象分析方程根问题提升几何直观，例3抽象函数性质证明强化逻辑推理。各专题配有解析与变式练习，帮助学生掌握方法，支持教师实施精准教学。

章末复习课 一、函数的概念 1．函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合． 2．已知函数值求字母取值的步骤 (1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入到不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值． (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内． [例1]　(1)函数y＝＋的定义域为(　　) A． B． C． D．∪(0，＋∞) (2)已知实数a≠0，函数f(x)＝ 若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________． [解析]　由解得－≤x≤， 所以函数y＝＋的定义域为. (2)当a>0时，f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，f(1＋a)＝－(1＋a)－ 2a＝－1－ 3a. 由2－a＝ －1－3a，得2a＝－3，a＝－， 又a>0，舍去． 当a<0时， f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a， f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a. 由－1－a＝2＋3a，得4a＝－3，a＝－， 满足a<0. 综上，a＝－. [答案]　(1)B　(2)－ 1．函数f(x)＝＋(2x－1)0的定义域为(　　) A． B． C． D．∪ 解析：选D　由题意得解得x<1且x≠. 2．设函数f(x)＝若f(a)＞1，则实数a的取值范围是________． 答案：(4，＋∞) 二、函数的图象 函数图象是变量间的直观反映，能较形象地分析出变量间的变化规律，更是研究函数性质(最值、单调性)的有力工具． [例2]　已知函数f(x)＝|－x2＋2x＋3|. (1)画出函数图象并写出函数的单调区间； (2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}． [解]　(1)当－x2＋2x＋3≥0时， 得－1≤x≤3， 函数y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， 当－x2＋2x＋3<0时， 得x<－1或x>3， 函数y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4， 即y＝的图象如下图所示， 单调增区间为[－1，1]和[3，＋∞)，单调减区间为(－∞，－1)和(1，3). (2)由题意可知，函数y＝f(x)与y＝m的图象有四个不同的交点，则0<m<4.故集合M＝{m|0<m<4}． 3．已知函数y＝f(x)是定义在区间[－3，3]上的偶函数，它在区间[0，3]上的图象是如右图所示的一条线段，则不等式f(x)＋f(－x)>x的解集为________． 答案： 4．在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________． 解析：函数y＝|x－a|－1的图象如图所示，因为直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，故2a＝－1，解得a＝－. 答案：－ 三、函数的性质 研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手，分析函数的图象及其变化趋势，从近几年的高考形式来看，对函数性质的考查体现了“小”“巧”“活”的特征，做题时应注重上述性质知识间的融合． [例 3]　已知偶函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x＞1时f(x)＞0，f(2)＝1. (1)证明：f(x)在(0，＋∞)上是增函数； (2)解不等式f(2x－1)＜2. [解]　(1)证明：设x2>x1>0，则f(x2)－f(x1)＝f－f(x1)＝f(x1)＋f－f(x1)＝f.因为x2＞x1＞0，所以＞1，所以f＞0， 即f(x2)－f(x1)＞0， 所以f(x2)＞f(x1)， 所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数． (2)因为f(2)＝1，所以f(4)＝f(2)＋f (2) ＝2，因为f(x)是偶函数，所以不等式f(2x－1)<2可化为f(|2x－1|)<f (4)，又因为函数在(0，＋∞)上是增函数，所以0≠|2x－1|<4，解得－<x<，且x≠，故不等式f(2x－1)<2的解集为∪. 5．已知函数f(x)＝是奇函数，且 f(2)＝. (1)求实数m和n的值； (2)求函数f(x)在区间[－2，－1]上的最值． 解：(1)∵f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴＝－＝. 比较得n＝－n，n＝0. 又f(2)＝，∴＝，解得m＝2. 因此，实数m和n的值分别是2和0. (2)由(1)知f(x)＝＝＋. 任取x1，x2∈[－2，－1]，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2) ＝(x1－x2)·. ∵－2≤x1<x2≤－1， ∴x1－x2<0，x1x2 >0，x1x2－1>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2). ∴函数f(x)在[－2，－1]上为增函数， 因此f(x)max＝f(－1)＝－， f(x)min＝f(－2)＝－. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$