第2章 4.2 简单幂函数的图象和性质（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

§4.2　简单幂函数的图象和性质 学习目标 素养要求 1.了解幂函数的概念． 2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x-1，y＝x的图象，了解它们的变化情况． 3.掌握五种幂函数的性质并会应用． 1.通过幂函数概念的学习，体现数学抽象的核心素养． 2.借助幂函数图象与性质的探究，培养直观想象、逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点一　幂函数的概念 [问题1]　y＝2x2和y＝x2＋x是不是幂函数？ 答：不是，形式不符合幂函数的定义要求． 问题2]　幂函数的解析式有什么特征？ 答：(1)指数为常数．(2)底数是自变量，自变量的系数为1.(3)幂xα的系数为1.(4)只有1项． ►知识填空 形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是自变量、 指数是常数的函数称为幂函数． 知识点二　幂函数的图象与性质 观察下面函数图象，思考如下问题： [问题1]　在第一象限，图象有何特点？ 答：都过点(1，1)；只有y＝x-1随x增大而减小，但不与x轴相交，其他的都随x增大而增大． [问题2]　这几个函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数？ 答：y＝x，y＝x3，y＝x-1是奇函数；y＝x2偶函数；y＝x是非奇非偶函数． [问题3]　为什么幂函数在第四象限内不存在图象？ 答：当x>0时，y＝xα>0，不可能出现y<0的情形，所以幂函数在第四象限不存在图象． ►知识填空 幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x-1的图象与性质． y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x-1 图象 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0] 上单调递减，在(0，＋∞) 上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞) 上单调递增 在(－∞，0) 上单调递减，在(0，＋∞) 上单调递减 公共点 (1，1) [自主检测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)幂函数的图象在四个象限均有可能出现．(　　) (2)当α<0时，幂函数在R上是减函数．(　　) (3)当α＝0时，幂函数的图象是一条直线．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．下列函数为幂函数的是(　　) A．y＝x2　　　　　　　　B．y＝－x2 C．y＝2x D．y＝2x2 答案：A 3．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为________． 解析：当幂函数为奇函数时，α＝－1，1，3， 又函数的定义域为R， 所以α≠－1，所以α＝1，3. 答案：1，3 4．已知幂函数f(x)＝xα图象过点，则f(4)＝________． 答案： 题型一　幂函数的概念 [例 1]　(1)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于(　　) A．　　　　　　　　　　　B．1 C． D．2 解析：选C　由幂函数的定义知k＝1. 又f＝，所以＝， 解得α＝，从而k＋α＝. (2)已知函数f(x)＝(3－m)x2m-5是幂函数，则f＝________． 解析：函数f(x)＝(3－m)x2m-5是幂函数，则3－m＝1，解得m＝2，所以f(x)＝x-1，所以f＝2. 答案：2 判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反之，若一个函数为幂函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决某些问题的隐含条件．　　 　已知y＝(m2＋2m－2)xm2－2＋2n－3是幂函数，求m，n的值． 解：由题意得解得或 所以m＝－3或1，n＝. 题型二　幂函数的图象和性质 [例 2]　已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间． 解析：因为f(x)＝xα的图象过点P，所以f(2)＝，即2α＝， 得α＝－2， 即f(x) ＝x-2，f(x)的图象如图所示，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0). 1．求幂函数y＝xα(其中α是分数形式)定义域的基本步骤 (1)还原为根式． (2)根据根式和分式有意义的条件求幂函数的定义域． 2．作幂函数图象的原则和方法 (1)原则：作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等． (2)方法：首先作出幂函数在第一象限内的图象，然后根据奇偶性就可作出幂函数在定义域内完整的图象．　　 　函数y＝x－的图象大致是(　　) 答案：D 题型三　幂的大小比较 [例 3]　比较下列各组数中两个数的大小． (1)与； (2)与. 解： (1)∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，又>，∴>. (2)∵幂函数y＝x-1在(－∞，0)上是单调递减的， 又－<－，∴>. 利用单调性比较幂值大小的方法 (1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小． (2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”． (3)充分利用幂函数的图象、性质，如图象所过定点、单调性、奇偶性等．　　 　下列各组数中两个数的大小． (1)与； (2)－3.143与－π3. 解：(1)∵y＝x0.5在[0，＋∞)上是增函数且>，∴>. (2)∵y＝x3是R上的增函数，且3.14<π， ∴3.143<π3，∴－3.143>－π. [课堂小结] 简单幂函数的性质 (1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1. (2)如果α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数． (3)如果α<0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$