专题4.2 简单幂函数的图象和性质（高效培优讲义）高一数学北师大版2019必修第一册

专题4.2 简单幂函数的图象和性质 教学目标 1.熟练掌握幂函数的基本概念和性质。 2.理解和掌握数学概念的能力。 3.能够通过图象特征来理解和解释幂函数的性质。 教学重难点 1.重点：(1)理解幂函数的定义，即底数和指数都是正数的函数。 (2)通过分析幂函数的图象特征，掌握幂函数的性质。 难点:(1)让学生学会如何通过图象来理解幂函数的性质。 (2)能够灵活运用幂函数的知识来解决实际问题。 知识点01 幂函数的概念（易错） 一般地，形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是 、指数是 的函数称为幂函数． 【即学即练】 1.（24-25高一上·全国·课后作业）若幂函数的图象过点，则该幂函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 知识点02幂函数的特征 幂函数的三大特征： (1).xα的系数是 ； (2)xα的底数x是 ； (3)xα的指数α为 . 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 【即学即练】 1.(多选)（2024高一下·云南曲靖·阶段练习）下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象经过第一象限 B．幂函数的图象都经过点 C．当时，幂函数在上单调递增 D．幂函数的定义域为 2.（24-25高一上·上海·单元测试）函数是幂函数，则 ． 知识点03 常见幂函数的图象特征 同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象(如图)． 【知识剖析】 (1)在第一象限内，函数y＝x－1的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近． (2)在第一象限内，在x＝1右侧，指数越大，幂函数的图象越远离x轴(简记为指大图高). 【即学即练】 1.（24-25高一·上海·课堂例题）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 知识点04常见幂函数的性质（重点） 1.常见幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 ______ ____ ____ ____ ____ 值域 ______ ____ ____ ____ ____ 奇偶性 ______ ____ ____ ____ ____ 单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(0，＋∞)上单调递减 在(－∞，0]上单调递减 在(－∞，0)上单调递减 2.幂函数的单调性特点 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； (2)如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； (3)如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； (4)在(0,1]上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在[1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)． 3.幂函数的奇偶性特点 幂函数y＝xα(a∈R)，当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数． 【即学即练】 1.（2024高二下·福建厦门·期末）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 知识点05 一般幂函数的图象与性质（拓展） 1.一般幂函数的图象 当时，y=x的图象是一条直线; 当时，（）的图象是一条不包含点(0,1)的直线; 当为其他值时，相应幂函数的图象如下表： 2．幂函数的性质 通过分析以上幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质: (1)所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1） (2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数. (3)时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． (4)任何幂函数图象与坐标轴或仅相交于原点，或都不相交，任何幂函数图象都不过第四象限； (5)任何两个幂函数图象最多有三个公共点．除(1，1)，(0，0)，(－1，1)，(－1，－1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点． 【即学即练】 1.函数的图象是（    ） A． B． C． D． 题型01 幂函数的判断 【典例1-1】下列函数中，属于幂函数的是（ ） A． B． C． D． 【典例1-2】．已知函数是幂函数.则（ ） A． B．2 C． D．1 幂函数的判断方法 1.系数为1; 2.指数为常数; 3.后面不加任何项.反之,若一个函数为幂 函数,则该函数必具有这种形式. 【变式1-1】下列函数是幂函数且是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】若函数是幂函数，则实数的值是（ ） A．1或 B． C．2 D．或2 题型02 幂函数求值 【典例2-1】已知幂函数的图象过点，则（ ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024高一上·浙江温州·期中）已知定义在上的幂函数，则（    ） A．0 B． C．1 D．不确定 幂函数求值 根据幂函数定义，得出表达式，代入即可。 【变式2-1】已知幂函数的图象过点，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024高一上·天津·期末）已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是 ． 【变式2-3】已知函数且，则正数的值为______________. 题型03 幂函数图象过定点 【典例3-1】（2025高一上·上海徐汇·阶段练习）已知，则函数的图象恒过的定点的坐标为 ． 【典例3-2】已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（ ） A． B． C． D． 幂函数过定点判断方法 (1)x>0时过定点(1，1) (2)x=0时过定点(0,0) (3)x<0时过定点(-1，-1) 【变式3-1】（2025高一上·云南西双版纳·期中）下列结论正确的是（    ） A．幂函数的图象一定过原点 B．时，幂函数是增函数 C．幂函数的图象会出现在第四象限 D．既是二次函数，又是幂函数 【变式3-2】（2024高一上·天津滨海新·期中）已知函数，的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中m，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 题型04 幂函数的定义域 【典例4-1】（24-25高一上·上海·课后作业）在函数①；②；③；④；⑤；⑥中，定义域是的有 个． 【典例4-2】（2025高一上·全国·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 幂函数定义域求法 1.已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解； 2.对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解. 【变式4-1】（多选）（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）已知幂函数，则下列结论正确的有（    ） A． B．的定义域为 C．是奇函数 D．不等式的解集为 【变式4-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知幂函数的图象可能满足下列条件： ①函数图象过点； ②函数图象过点； ③函数的定义域为． 任选其中两个条件满足函数，同时求出时函数的值． 【变式4-3】（24-25高一上·上海·假期作业）求函数的定义域. 题型05 幂函数的值域与最值 【典例5-1】（2024高一下·辽宁·阶段练习）函数的值域为 . 求幂函数值域方法 1．首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求出函数的最值; 2. 画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值 【变式5-1】（2024高一上·全国·课后作业）已知，则使函数的值域为R，且为奇函数的所有α的值为 . 【变式5-2】（2025高一上·山东济南·期中）若函数在上有最小值5，则在上的最大值是 ． 【变式5-3】（2025高一上·浙江·期中）函数的单调递减区间为 ；值域为 ． 题型06 幂函数的单调性 【典例6-1】已知幂函数在上是增函数，则（ ） A．或3 B． C．3 D．1 幂函数单调性 1.在(0,1]上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)； 2.在[1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)． 【变式6-1】已知幂函数在上单调递增，则m的值为（ ） A．1 B．-3 C．-4 D．1或-3 【变式6-2】已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（ ） A．2 B． C．1 D．1或 【变式6-3】已知幂函数在定义域内单调递增，则（ ） A． B． C． D．2 题型07 幂函数的奇偶性 【典例7-1】（2025·全国·课后作业）函数在上是（   ） A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数 C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数 【典例7-2】（2025上海·随堂练习）已知，若幂函数的图象关于原点对称，且在上是严格减函数；则取值的集合是 ． 幂函数奇偶性判断方法 1.先看幂函数指数结构 2.再看定义域是否关于原点对称，不对称则非奇非偶；对称时，若f(-x)=f(x)为偶，f(-x)=-f(x)为奇。 【变式7-1】（2025上海虹口·期末）设，若幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数，则实数 ． 【变式7-2】（2025四川·阶段练习）已知.若幂函数为奇函数，且在上单调递增，则 . 【变式7-3】（多选）（2025高一上·河南新乡·阶段练习）关于幂函数，下列结论正确的是（    ） A．的图象经过原点 B．为偶函数 C．的值域为 D．在区间上单调递增 题型08 利用幂函数性质比较大小 【典例8-1】已知，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【典例8-2】若幂函数是上的偶函数，且在区间上单调递减，若，，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 利用幂函数性质比较大小 同底数看指数增减，同指数看底数正负；不同底指用中间值过渡 【变式8-1】下列比较大小中正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知实数满足等式，给出下列五个关系式： ①；②；③；④；⑤，其中可能成立的关系式有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式8-3】幂函数的图象与坐标轴有交点，且，则的值（ ） A．无法判断 B．等于0 C．恒小于0 D．恒大于0 题型09 利用幂函数性质解不等式 【典例9-1】若幂函数图象过点，且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 利用幂函数性质解不等式 先确定幂函数单调性，转化不等式；注意定义域，结合奇偶性简化，最后求解集。 【变式9-1】已知幂函数的图象过点，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式9-2】已知函数，且，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式9-3】已知幂函数（）的图象关于原点对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围是______________. 题型10 幂函数图象的应用 【典例10-1】（2025云南昆明·阶段练习）已知函数，若，则函数的图象是（    ） A．   B．   C．     D．   【典例10-2】（2025广东肇庆·开学考试）把抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 幂函数图象的应用 1.确定定义域与奇偶性，画关键点连线；借单调性、定点解不等式，比较大小； 2.依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x3)来判断。 【变式10-1】（2025·山东济南·期末）已知函数则的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【变式10-2】（2025全国·专题练习）如图所示是函数（m、且互质）的图象，则（    ） A．m，n是奇数且 B．m是偶数，n是奇数，且 C．m是偶数，n是奇数，且 D．m，n是偶数，且 【变式10-3】（2025陕西西安·期中）直线与函数图象的交点个数为 ． 【变式10-4】已知函数其中．那么=0的实根为___________；若的值域是，则c的取值范围是____________________． 练基础 一、单选题 1．下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数既是幂函数又是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 3．幂函数在第一象限的图象如图所示，则的大小关系是 （       ） A． B． C． D． 4．若幂函数的图象经过点，则函数的解析式是（       ） A． B． C． D． 5．已知幂函数的图象过点，则的值为（       ） A． B． C． D． 6．已知函数是幂函数，且在单调递增，则m的值为（       ） A．－2 B．3 C．－2或3 D．2或3 二、多选题 7．下列结论中正确的是（　　） A．幂函数的图象都经过点 B．幂函数的图象不经过第四象限 C．当指数取1，3，时，幂函数是定义域上的增函数 D．当时，幂函数在其整个定义域上是减函数 8．下列可能是函数f（x）＝（其中a，b，c∈）的图象的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题 9．若幂函数过点，则此函数的解析式为 . 10．若幂函数的图象关于y轴对称，则实数______． 四、解答题 11．已知幂函数为偶函数 (1)求幂函数的解析式； (2)若函数在上单调，求实数的取值范围. 12．已知幂函数为偶函数． （1）求的解析式； （2）若函数在区间上的最大值为，求实数的值． 练提升 13．已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（    ） A．  B．  C．   D．   14．函数的图象大致为（    ） A．  B．  C．D．   二、多选题 15．设，，则下列不等式中正确的是（       ）． A． B． C． D． 三、填空题 16．若函数是幂函数，满足，则_________． 17．定义，例如：min(－1，－2)＝－2，min(2，2)＝2，若f(x)＝x2，g(x)＝－x2－4x＋6，则函数F(x)＝min( f(x)，g(x) )的最大值为______. 四、解答题 18．已知幂函数为偶函数， (1)求函数的解析式； (2)若函数在上的最大值为2，求实数的值． 练创新 19．（2024天津·高考真题（文））已知函数．设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是 A． B． C． D． 20．（2025大庆教师发展学院二模）定义在上的函数满足，，当时，，则函数的图象与的图象的交点个数为（       ） A． B． C． D． 21．（2024·江西·模拟预测）已知函数是幂函数，直线过点，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 22.已知是定义在上的奇函数，当时，. (1)求在上的解析式； (2)当时，若的值域为，求实数，的值． 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.2 简单幂函数的图象和性质 教学目标 1.熟练掌握幂函数的基本概念和性质。 2.理解和掌握数学概念的能力。 3.能够通过图象特征来理解和解释幂函数的性质。 教学重难点 1.重点：(1)理解幂函数的定义，即底数和指数都是正数的函数。 (2)通过分析幂函数的图象特征，掌握幂函数的性质。 难点:(1)让学生学会如何通过图象来理解幂函数的性质。 (2)能够灵活运用幂函数的知识来解决实际问题。 知识点01 幂函数的概念（易错） 一般地，形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数． 【即学即练】 1.（24-25高一上·全国·课后作业）若幂函数的图象过点，则该幂函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设幂函数解析式为，代入点可得，即，所以 所以该幂函数的解析式是. 知识点02幂函数的特征 幂函数的三大特征： (1)xα的系数是1； (2)xα的底数x是自变量； (3)xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 【即学即练】 1.(多选)（2024高一下·云南曲靖·阶段练习）下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象经过第一象限 B．幂函数的图象都经过点 C．当时，幂函数在上单调递增 D．幂函数的定义域为 【答案】AB 【解析】当时，幂函数对任意都有意义，且，故经过第一象限，选项A正确； 因为，所以幂函数的图象都经过点，选项正确； 当时，函数定义域为，选项C、D错误； 2.（24-25高一上·上海·单元测试）函数是幂函数，则 ． 【答案】 【解析】因为函数是幂函数，所以且， 解得：或（舍） 知识点03 常见幂函数的图象特征 同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象(如图)． 注意点： (1)在第一象限内，函数y＝x－1的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近． (2)在第一象限内，在x＝1右侧，指数越大，幂函数的图象越远离x轴(简记为指大图高). 【即学即练】 1.（24-25高一·上海·课堂例题）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则， 所以函数是偶函数，故排除D， 由幂函数性质可知函数在上单调递增，且当时的图象高于的函数图象，故排除B、C. 知识点04常见幂函数的性质（重点） 1.常见幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数 单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(0，＋∞)上单调递减 在(－∞，0]上单调递减 在(－∞，0)上单调递减 2.幂函数的单调性特点 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； (2)如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； (3)如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； (4)在(0,1]上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在[1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)． 3.幂函数的奇偶性特点 幂函数y＝xα(a∈R)，当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数． 【即学即练】 1.（2024高二下·福建厦门·期末）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性和单调性即可求解. 【解析】因为， 所以为奇函数， 当时，为减函数，为增函数，故为增函数，故B选项正确. 知识点05 一般幂函数的图象与性质（拓展） 1.一般幂函数的图象 当时，y=x的图象是一条直线; 当时，（）的图象是一条不包含点(0,1)的直线; 当为其他值时，相应幂函数的图象如下表： 2．幂函数的性质 通过分析以上幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质: (1)所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1） (2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数. (3)时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． (4)任何幂函数图象与坐标轴或仅相交于原点，或都不相交，任何幂函数图象都不过第四象限； (5)任何两个幂函数图象最多有三个公共点．除(1，1)，(0，0)，(－1，1)，(－1，－1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点． 【即学即练】 1.函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则， 所以函数是偶函数，故排除D， 由幂函数性质可知函数在上单调递增，且当时的图象高于的函数图象，故排除B、 题型01 幂函数的判断 【典例1-1】下列函数中，属于幂函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】形如（为常数且）为幂函数，要求底数为变量且系数为1， 对比选项仅有B：符合要求. 【典例1-2】．已知函数是幂函数.则（ ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【解析】因为函数是幂函数，所以，所以， 所以，所以. 幂函数的判断方法 1.系数为1; 2.指数为常数; 3.后面不加任何项.反之,若一个函数为幂 函数,则该函数必具有这种形式. 【变式1-1】下列函数是幂函数且是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，易知不是幂函数，错误； 对于B，易知其为偶函数，错误； 对于C，由解析式可知为幂函数；，定义域为， 又，奇函数，正确； 对于D，易知其为偶函数，错误； 【变式1-2】若函数是幂函数，则实数的值是（ ） A．1或 B． C．2 D．或2 【答案】D 【解析】由幂函数的定义知，解得或． 题型02 幂函数求值 【典例2-1】已知幂函数的图象过点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，设，则，可得，解得，故. 故选：D. 【典例2-2】（2024高一上·浙江温州·期中）已知定义在上的幂函数，则（    ） A．0 B． C．1 D．不确定 【答案】B 【解析】由题意函数过点，， 所以. 幂函数求值 根据幂函数定义，得出表达式，代入即可。 【变式2-1】已知幂函数的图象过点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，设，则，可得，解得，故. 【变式2-2】（2024高一上·天津·期末）已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是 ． 【答案】4 【解析】由题意得，解得或1， 当时，为奇函数，不合要求， 当时，为偶函数，满足要求， 故. 故答案为： 【变式2-3】已知函数且，则正数的值为______________. 【答案】/ =【解析】当时，函数单调递增，有， 当时，函数单调递增，有， 因为， 所以有， 故答案为： 题型03 幂函数图象过定点 【典例3-1】（2025高一上·上海徐汇·阶段练习）已知，则函数的图象恒过的定点的坐标为 ． 【答案】 【解析】令，得， 故函数图象过定点， 故答案为： 【典例3-2】已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为幂函数的图象过定点，即有， 所以， 即的图象经过定点 幂函数过定点判断方法 1）x>0时过定点(1，1) 2)x=0时过定点(0,0) 3)x<0时过定点(-1，-1) 【变式3-1】（2025高一上·云南西双版纳·期中）下列结论正确的是（    ） A．幂函数的图象一定过原点 B．时，幂函数是增函数 C．幂函数的图象会出现在第四象限 D．既是二次函数，又是幂函数 【答案】B 【解析】解：幂函数图象不一定过原点，例如，函数的图象不经过原点，故A不正确； 当时，幂函数，，在定义域内均为增函数，故B正确； 由函数的定义及幂函数在第一象限均有图象可知，幂函数的图象不会出现在第四象限，故C不正确； 函数是二次函数，但是不是幂函数，幂函数得形如，故D不正确. 【变式3-2】（2024高一上·天津滨海新·期中）已知函数，的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中m，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】D 【解析】依题意，，则，因此， 当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值4. 题型04 幂函数的定义域 【典例4-1】（24-25高一上·上海·课后作业）在函数①；②；③；④；⑤；⑥中，定义域是的有 个． 【答案】3 【解析】解：①的定义域为； ②的定义域为； ③的定义域为； ④的定义域为； ⑤的定义域为； ⑥的定义域为． 故定义域为的有①③⑥，共3个， 故答案为：3． 【典例4-2】（2025高一上·全国·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 【答案】 【解析】因为函数的定义域是， 所以，解得，所以函数的定义域为． 要使有意义，则，解得， 所以的定义域是． 故答案为： 幂函数定义域求法 1.已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解； 2.对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解. 【变式4-1】（多选）（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）已知幂函数，则下列结论正确的有（    ） A． B．的定义域为 C．是奇函数 D．不等式的解集为 【答案】AD 【解析】对A，由题知，，得，即，故A正确； 对B，函数的定义域是，故不正确； 对C，因为，所以函数是偶函数，故不正确， 对D，当时，单调递减，所以，解得，且， 即不等式的解集为，故D正确． 【变式4-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知幂函数的图象可能满足下列条件： ①函数图象过点； ②函数图象过点； ③函数的定义域为． 任选其中两个条件满足函数，同时求出时函数的值． 【答案】选①③，. 【解析】设， 选①②：由题可得，得，无实数解，不满足题意； 选①③：由函数图象过点可得，解得，则， 易知，函数的定义域为， 所以时，； 选②③：由函数图象过点可得，解得，则， 因为的定义域为，所以不满足题意． 综上，应选①③，此时，当时，. 【变式4-3】（24-25高一上·上海·假期作业）求函数的定义域. 【答案】 【解析】由题意，，解得. 即函数的定义域为 题型05 幂函数的值域与最值 【典例5-1】（2024高一下·辽宁·阶段练习）函数的值域为 . 【答案】 【解析】由幂函数性质可知在上单调递增， 又易知为偶函数， 所以当时，可知在上单调递减， 可得. 故答案为： 求幂函数值域方法 1．首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求出函数的最值; 2. 画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值 【变式5-1】（2024高一上·全国·课后作业）已知，则使函数的值域为R，且为奇函数的所有α的值为 . 【答案】1，3 【解析】当时，，为奇函数，但值域为，不满足条件； 当时，为奇函数，值域为R，满足条件； 当时，为偶函数，值域为，不满足条件； 当时，为奇函数，值域为R，满足条件. 故答案为：1，3 【变式5-2】（2025高一上·山东济南·期中）若函数在上有最小值5，则在上的最大值是 ． 【答案】1 【解析】设，定义域为关于原点对称， 又，所以为奇函数， 记为在上的最小值，为在上的最大值， 又在上的最小值为，在上的最大值为， 所以，所以， 故答案为：. 【变式5-3】（2025高一上·浙江·期中）函数的单调递减区间为 ；值域为 ． 【答案】 【解析】函数有意义，则，解得函数的定义域为， 令，对称轴为，开口向下，所以在上为增函数，在为减函数，又在定义域内为增函数，所以的单调递减区间为； 由，，所以，即， 所以. 题型06 幂函数的单调性 【典例6-1】已知幂函数在上是增函数，则（ ） A．或3 B． C．3 D．1 【答案】C 【解析】因为是幂函数，所以，解得或， 当时，在上是增函数，符合题意， 当时，在上是减函数，不符合题意，舍去， 所以， 幂函数单调性 1.在(0,1]上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)； 2.在[1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)． 【变式6-1】已知幂函数在上单调递增，则m的值为（ ） A．1 B．-3 C．-4 D．1或-3 【答案】A 【解析】由题意可得. 【变式6-2】已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（ ） A．2 B． C．1 D．1或 【答案】B 【解析】由题意幂函数可得，解得， 当时，在上单调递减，不合题意，故舍去； 当时，在上单调递增，满足题意，故； 【变式6-3】已知幂函数在定义域内单调递增，则（ ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】因为为幂函数，且在定义域内单调递增， 所以，解得. 题型07 幂函数的奇偶性 【典例7-1】（2025·全国·课后作业）函数在上是（   ） A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数 C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数 【答案】A 【解析】因为，令， 因为关于原点对称， 所以， 所以是奇函数，又因为，所以在是增函数 【典例7-2】（2025上海·随堂练习）已知，若幂函数的图象关于原点对称，且在上是严格减函数；则取值的集合是 ． 【答案】 【解析】因为， 幂函数的图象关于原点对称，且在上单调递减， 所以α是奇数，且，所以． 故答案为：. 幂函数奇偶性判断方法 1.先看幂函数指数结构 2.再看定义域是否关于原点对称，不对称则非奇非偶；对称时，若f(-x)=f(x)为偶，f(-x)=-f(x)为奇。 【变式7-1】（2025上海虹口·期末）设，若幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数，则实数 ． 【答案】 【解析】， 若幂函数的图象关于轴对称，则， 又幂函数在区间上是严格增函数，则. 故答案为：. 【变式7-2】（2025四川·阶段练习）已知.若幂函数为奇函数，且在上单调递增，则 . 【答案】3 【解析】因为， 所以当幂函数为奇函数时，或； 而幂函数又在上单调递增知，所以， 故答案为： 【变式7-3】（多选）（2025高一上·河南新乡·阶段练习）关于幂函数，下列结论正确的是（    ） A．的图象经过原点 B．为偶函数 C．的值域为 D．在区间上单调递增 【答案】BC 【解析】由题意，，所以，即 对于A，的定义域为， 故的图象不经过原点，A错误； 对于B，因为的定义域为， ，故为偶函数，B正确； 对于C，由于，故值域为，C正确； 对于D，由于，故在区间上单调递减，D错误． 题型08 利用幂函数性质比较大小 【典例8-1】已知，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】, 幂函数在上单调递增， 因为, 所以, 即, 所以, 【典例8-2】若幂函数是上的偶函数，且在区间上单调递减，若，，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】为偶函数，所以，又因为幂函数在上单调递减， 所以，即． 利用幂函数性质比较大小 同底数看指数增减，同指数看底数正负；不同底指用中间值过渡 【变式8-1】下列比较大小中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对A：因为幂函数在上单调递增，且，所以，故A错误； 对B：因为幂函数为奇函数，在单调递减，，所以，即，故B错误； 对C：因为幂函数为奇函数，在单调递增，，所以，即，故C正确； 对D：因为幂函数为偶函数，在单调递增，，所以，即，故D错误. 【变式8-2】已知实数满足等式，给出下列五个关系式： ①；②；③；④；⑤，其中可能成立的关系式有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】在同一坐标系中画出函数和的图象 如图所示： 由图可知在处；在处；在处； 在处；在两曲线的三个交点处均满足，所以①②⑤正确. 【变式8-3】幂函数的图象与坐标轴有交点，且，则的值（ ） A．无法判断 B．等于0 C．恒小于0 D．恒大于0 【答案】D 【解析】由，解得或. 当时，；当时，. 因为函数的图象与坐标轴有交点，故. 又，所以， 因为为在R上单调递增的奇函数， 所以，即. 题型09 利用幂函数性质解不等式 【典例9-1】若幂函数图象过点，且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，解得，则， 由可得，可得， 解得或， 因此，实数的取值范围是. 利用幂函数性质解不等式 先确定幂函数单调性，转化不等式；注意定义域，结合奇偶性简化，最后求解集。 【变式9-1】已知幂函数的图象过点，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设幂函数， 因为幂函数的图象过点， 则，解得，即， 因为，即， 整理可得，解得或， 所以不等式的解集为. 【变式9-2】已知函数，且，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为R，， 函数是奇函数，又函数都是R上的增函数，则在R上单调递增， 不等式， 则，即，解得或， 所以m的取值范围是. 故选：A 【变式9-3】已知幂函数（）的图象关于原点对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围是______________. 【答案】 【解析】因为幂函数（）的图象关于原点对称，且在上单调递减， 所以且为奇数， 又，所以， 则，即为， 因为函数的定义域为且为减函数， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 题型10 幂函数图象的应用 【典例10-1】（2025云南昆明·阶段练习）已知函数，若，则函数的图象是（    ） A．   B．   C．     D．   【答案】C 【解析】作出函数的图象如下图所示：    因为，则将函数的图象关于轴对称，可得出函数的图象，如下图所示：    【典例10-2】（2025广东肇庆·开学考试）把抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将抛物线向下平移3个单位长度，得到， 再向左平移4个单位长度，所得到的抛物线为. 幂函数图象的应用 1.确定定义域与奇偶性，画关键点连线；借单调性、定点解不等式，比较大小； 2.依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x3)来判断。 【变式10-1】（2025·山东济南·期末）已知函数则的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解析】结合题意可得：当时，易知为幂函数，在单调递增； 当时，易知为幂函数，在单调递增. 故函数,图象如图所示: 要得到，只需将的图象沿轴对称即可得到. 【变式10-2】（2025全国·专题练习）如图所示是函数（m、且互质）的图象，则（    ） A．m，n是奇数且 B．m是偶数，n是奇数，且 C．m是偶数，n是奇数，且 D．m，n是偶数，且 【答案】B 【解析】由图象可看出为偶函数，且在上单调递增， 故且为偶数，又m、且互质，故n是奇数. 【变式10-3】（2025陕西西安·期中）直线与函数图象的交点个数为 ． 【答案】4 【解析】令，，解得或， 将代入，解得，可作图如下：    由图可知，直线与函数图象的交点个数为. 故答案为：. 【变式10-4】已知函数其中．那么=0的实根为___________；若的值域是，则c的取值范围是____________________． 【答案】0,-1. 【解析】依题意作下图： 令，得x=0，令，得x=0或x=-1， ∴=0的实根为0，1； 由于当时，， 所以当时，是增函数，所以其值域为， 由题意可知：； 练基础 一、单选题 1．下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，中指数上有变量，所以此函数不是幂函数，所以A错误， 对于B，是指数函数，不是幂函数，所以B错误， 对于C，是幂函数，所以C正确， 对于D，是一次函数，不是幂函数，所以D错误， 2．下列函数既是幂函数又是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解:幂函数的图象都经过点，排除A；与不是偶函数，排除B，D. 3．幂函数在第一象限的图象如图所示，则的大小关系是 （       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 根据幂函数的性质， 在第一象限内，的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大， 所以由图象得：， 4．若幂函数的图象经过点，则函数的解析式是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为幂函数的图象经过点， 所以，解得， 所以． 5．已知幂函数的图象过点，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，由，可得，则，因此，. 6．已知函数是幂函数，且在单调递增，则m的值为（       ） A．－2 B．3 C．－2或3 D．2或3 【答案】B 【解析】 由幂函数定义得：，解得：或3，又在单调递增，所以，解得：，综上：m的值为3. 二、多选题 7．下列结论中正确的是（　　） A．幂函数的图象都经过点 B．幂函数的图象不经过第四象限 C．当指数取1，3，时，幂函数是定义域上的增函数 D．当时，幂函数在其整个定义域上是减函数 【答案】ABC 【解析】A选项，根据幂函数性质可知，A正确； B选项，所有的幂函数在区间上都有定义且，所以幂函数的图象不可能经过第四象限，故B正确；C选项，当α为1，3，时，是增函数，显然C正确； D选项，当时，在区间和上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D错误. 8．下列可能是函数f（x）＝（其中a，b，c∈）的图象的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】 A选项中的图象关于y轴对称，B选项中的图象关于原点对称，两个选项均可得函数的定义域为，可得c＝0，又函数f（x）的零点只能由ax＋b产生，所以函数f（x）可能没有零点，也可能零点是x＝，所以AB选项可能符合条件； 而D选项中的图象知函数f（x）的零点在（0，1）内，但此种情况不可能存在，所以D选项不符合条件； 观察C选项中的图象，由定义域猜想c＝1，由图象过原点得b＝0，猜想a＝1，可能符合条件； 三、填空题 9．若幂函数过点，则此函数的解析式为 . 【答案】/ 【解析】设幂函数，则，解得：，. 10．若幂函数的图象关于y轴对称，则实数______． 【答案】 【解析】由幂函数可得，解得或， 又因为函数图象关于y轴对称，则a为偶数，所以． 四、解答题 11．已知幂函数为偶函数 (1)求幂函数的解析式； (2)若函数在上单调，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【解析】 (1)依题意有：， 解得或； 又函数为偶函数，则， 所以. (2)； 由题知：或， 所以或. 12．已知幂函数为偶函数． （1）求的解析式； （2）若函数在区间上的最大值为，求实数的值． 【答案】（1）的解析式为；（2）实数的值为2. 【解析】（1）由幂函数可知，解得或 当时，，函数为偶函数，符合题意； 当时，，不符合题意； 故求的解析式为 （2）由（1）得： 函数的对称轴为：，开口朝上 ， 由题意得在区间上，解得 所以实数的值为2. 练提升 13．已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】C 【解析】设幂函数为，则，，得，得， 所以，定义域为，所以排除AD， 因为，所以函数为偶函数，所以排除B， 14．函数的图象大致为（    ） A．  B．  C．D．   【答案】B 【解析】由，排除A，D，当时，，所以，排除C． 二、多选题 15．设，，则下列不等式中正确的是（       ）． A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】函数在上单调递增，，则，A正确； 因，则，，即，，B，C正确； 因，取，，D不正确. 三、填空题 16．若函数是幂函数，满足，则_________． 【答案】 【解析】 解：函数是幂函数，设， 又，所以，即，所以，得 所以，则. 故答案为：. 17．定义，例如：min(－1，－2)＝－2，min(2，2)＝2，若f(x)＝x2，g(x)＝－x2－4x＋6，则函数F(x)＝min( f(x)，g(x) )的最大值为______. 【答案】 【解析】作出函数的图象，根据定义可知，的图象如图所示（实线部分）： 由，解得：或， 所以函数的最大值为． 四、解答题 18．已知幂函数为偶函数， (1)求函数的解析式； (2)若函数在上的最大值为2，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【解析】(1)因为为幂函数， 所以，解得或 因为为偶函数， 所以，故的解析式； (2) 解：由（1）知，对称轴为，开口向上， 当即时，，即； 当即时，，即； 综上所述：或． 练创新 19．（2024天津·高考真题（文））已知函数．设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】满足题意时的图象恒不在函数下方， 当时，函数图象如图所示，排除C,D选项； 当时，函数图象如图所示，排除B选项， 本题选择A选项. 20．（2025大庆教师发展学院二模）定义在上的函数满足，，当时，，则函数的图象与的图象的交点个数为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为义在上的函数满足，， 所以的周期为2，且图象关于直线对称， 由于当时，，所以的图象如图所示，再作出的图象， 则由图象可知，两函数图象的交点个数为5， 21．（2024·江西·模拟预测（文））已知函数是幂函数，直线过点，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由是幂函数，知：，又在上， ∴，即，则且， ∴. 22.已知是定义在上的奇函数，当时，. (1)求在上的解析式； (2)当时，若的值域为，求实数，的值． 【答案】(1) (2)，. 【解析】（1）当时，， 故当时，则，， 由于是奇函数，则， 又，                                          故当时，； （2）解：∵当时，， 又与在上均单调递增， ∴在上单调递增， ∴在上单调递增， ∴，∴， ∴，为的两个正实数根， ， ∴，为的两个正实数根， 又由题意可知：，∴，. 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$