第2章 4.1 函数的奇偶性（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

§4　函数的奇偶性与简单的幂函数 §4.1　函数的奇偶性 学习目标 素养要求 1.了解函数奇偶性的含义． 2.掌握判断函数奇偶性的方法． 3.了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系． 1.通过函数奇偶性定义的学习，提升数学抽象的核心素养． 2.借助利用奇偶性求参数问题，培养数学运算的核心素养． 3.通过了解函数奇偶性与函数对称性之间的关系，提升直观想象的核心素养． [自主梳理] 知识点　函数的奇偶性 [问题1]　奇函数、偶函数的定义域有什么特征？ 答：由于f(－x)与f(x)都有意义，故－x和x同时属于定义域，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．换言之，若函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性． [问题2]　一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数吗？函数图象关于原点对称呢？ 答：若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数；图象关于原点对称，则这个函数是奇函数． [问题3]　从函数图象看，奇、偶函数在对称区间上单调性是否一致？ 答：奇函数在关于原点对称的区间内单调性一致，偶函数在关于原点对称的区间内单调性相反． ►知识填空 1．奇函数 设函数f(x)的定义域是A，如果对任意的x∈A，有－x∈A，且f(－x)＝－f(x)，那么称函数f(x)为奇函数．奇函数的图象关于原点对称，反之亦然． 2．偶函数 设函数f(x)的定义域是A，如果对任意的x∈A，有－x∈A，且f(－x) ＝f(x)，那么称函数f(x)为偶函数．偶函数的图象关于y轴对称，反之亦然． 3．奇偶性 当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称f(x)具有奇偶性．奇函数和偶函数的定义域均关于原点对称，如(－∞，＋∞)，(－a，a)，[－a，a](a＞0)等． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)奇、偶函数的定义域都关于原点对称．(　　) (2)奇函数的图象一定过原点．(　　) (3)对于定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝f(1)，则函数f(x)一定是偶函数．(　　) (4)若对于定义域内的任意一个x，都有函数f(x)＋f(－x)＝0，则函数f(x)是奇函数．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．下列函数为奇函数的是(　　) A．y＝|x|　　　　　B．y＝3－x C．y＝ D．y＝－x3＋14 答案：C 3．f(x)＝x3＋的图象关于(　　) A．原点对称 B．y轴对称 C．y＝x对称 D．y＝－x对称 解析：选A　由于f(－x)＝(－x)3＋＝－＝－f(x)，且定义域为{x|x≠0}，所以f(x)是奇函数，故其图象关于原点对称． 4．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝________． 答案：－3 题型一　判断函数的奇偶性 [例 1]　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝；(2)f(x)＝x3－2x； (3)f(x)＝x2＋1；(4)f(x)＝＋. 解：(1)函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)不关于原点对称，故函数f(x)既不是奇函数，又不是偶函数． (2)函数的定义域为R. ∵f(－x)＝(－x)3－2(－x)＝－(x3－2x)＝－f(x)， ∴函数f(x)＝x3－2x是奇函数． (3)函数的定义域为R. ∵f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)， ∴函数f(x) ＝x2＋1是偶函数． (4)∵函数的定义域为{－1，1}且f(x)＝0，f(－1)＝0，f(1)＝0， ∴f(－1)＝f(1)且f(－1)＝－f(1). ∴函数f(x)＝ ＋既是奇函数，又是偶函数． 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法： ①定义域关于原点对称； ②确定f(－x)与f(x)的关系． (2)图象法．　　 　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x＋； (2)f(x)＝x2－|x|＋1； (3)f(x)＝3x＋1； (4)f(x)＝|x＋2|＋|x－2|. 解：(1)f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数． (2)f(x)的定义域为R，关于原点对称， 又f(－x)＝(－x)2－|－x|＋1＝x2－|x|＋1＝f(x)， ∴f(x)是偶函数． (3)f(x)的定义域为R，f(1)＝4，f(－1)＝－2， ∴f(1)≠f(－1)，f(－1)≠－f(1). ∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (4)法一：(定义法)f(x)＝|x＋2|＋|x－2|的定义域为R，∵f(－x)＝|－x＋2|＋|－x－2|＝|x－2|＋|x＋2|＝f(x)， ∴f(x)＝|x＋2|＋|x－2|是偶函数． 法二：(图象法)函数f(x)的定义域为R， f(x)＝|x＋2|＋|x－2|＝ 画出函数图象如图所示， ∵图象关于y轴对称，∴函数f(x)是偶函数． 题型二　利用函数的奇偶性求解析式 [例 2]　若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式． 解：当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，由于f(x)是奇函数， 故f(x)＝－f(－x)， 所以f(x)＝－x2－2x－3. 即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3. 故f(x)＝ 已知函数的奇偶性和函数在某区间上的解析式，求对称区间上的解析式时，首先设出所求区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知解析式的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可．　　 1．f(x)为R上的奇函数，且当x≥0，f(x)＝x(1＋x3)，则当x＜0时，f(x)为(　　) A．x(1＋x3)　　　　　　　B．－x(1－x3) B．x(1－x3) D．－x(1＋x3) 答案：C 2．(变条件)若把本例中的奇函数改为偶函数，其他条件不变，求当x<0时，f(x)的解析式． 解：当x<0时，－x>0, f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，由于f(x)是偶函数，故f(x)＝f(－x)，所以f(x) ＝x2＋2x＋3，即当x<0时，f(x) ＝x2＋2x＋3. 题型三　奇偶性与单调性的综合应用 [例 3]　已知函数f(x)的定义域为(－2，2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x). (1)求函数g(x)的定义域； (2)若f(x)为奇函数，并且在定义域上是减函数，求不等式g(x)≤0的解集． 解：(1)由题意可知 所以解得＜x＜， 故函数g(x)的定义域为. (2)由g(x)≤0， 得f(x－1)＋f (3－2x)≤0， 所以f(x－1)≤－f(3－2x). 因为f(x)为奇函数， 所以f(x－1)≤f(2x－3). 而f(x)在(－2，2)上是减函数， 所以解得<x≤2. 故不等式g(x)≤0的解集为. 奇偶性、单调性的综合应用 利用奇偶性可以求值以及式子、性质的转化，利用单调性主要解决不等式的转化，在综合性题目中要熟悉奇偶性、单调性的应用技巧，熟练应用．　　 1．已知函数f(x)是定义在[－5，5]上的偶函数，且在[0，5]上单调，若f(－4)<f(－2)，则下列不等式一定成立的是(　　) A.f(－1)<f(3) B．f(2)<f(3) C．f(－3)<f(5) D．f(0)>f(1) 解析：选D　由题意可得，函数f(x)在[－5，0)上单调，再根据f(－4)<f(－2)，可得函数f(x)在[－5，0)上单调递增，故函数f(x)在[0，5]上单调递减，故f(0)>f(1). 2．已知函数y＝f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减．若f(a)<f(2)，求实数a的取值范围． 解：∵y＝f(x)是偶函数，∴f(a)＝f(|a|). 又|a|≥0，且f(|a|)<f(2)， ∴|a|>2，即a>2或a<－2. ∴实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞). [课堂小结] 1．奇偶函数的定义 对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数． 2．奇偶函数的性质 (1)函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称． (2)奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反． (3)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0. 3．奇偶性的判断方法 判断函数奇偶性时，需先依据解析式求出定义域，在定义域关于原点对称的前提下，判断解析式是否满足f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x). 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$