第2章 3 函数的单调性和最值（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

§3　函数的单调性和最值 学习目标 素养要求 1.理解函数的单调性和最值的概念． 2．掌握用定义证明函数单调性的步骤及简单应用． 3．会借助函数的单调性求最值或解不等式． 1.通过函数单调性和最值概念的学习，提升数学抽象、直观想象的核心素养． 2．通过函数单调性的应用，发展逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点一　函数的单调性 　观察函数f(x)＝x2的图象，完成下列思考． [问题1]　怎样描述函数f(x)＝x2随着自变量x值的变化，函数值f(x)的变化情况？ 答：在(－∞，0]上，随着自变量x值的增大，函数值f(x)逐渐减小；在(0，＋∞)上，随着自变量x值的增大，函数值f(x)逐渐增大． [问题2]　观察函数y＝的图象，反比例函数y＝的图象如下图，它在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，能否说它在定义域上是减函数？为什么？ 答：不能．显然x1＝－1，x2＝1时，满足x1_<x2，但y1＝－1，y2＝1，y1>y2不成立． ►知识填空 1．定义域为D的函数y＝f(x)的增减性 特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f(x)在区间I上单调递增(单调递减). 2．单调区间 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性．此时，区间I为函数y＝f(x)的单调区间． 知识点二　函数的最大(小)值 [问题]　如果函数f(x)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M，那么M一定是函数f(x)的最大值吗？ 答：不一定．如函数f(x)＝－x2≤1恒成立，但是1不是函数的最大值． ►知识填空 函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M(或m)满足． 条件 (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M. (3)∀x∈D，都有f(x)≥m； (4)∃x0∈D，使得f(x0)＝m. 结论 最大值 最小值 函数的最大值和最小值统称为最值． [自主检测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f(x)＝2x2，若f(－1)<f(2)，则函数f(x)在R上是增函数．(　　) (2)函数f(x)＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数．(　　) (3)如果一个函数有最大值，那么最大值是唯一的．(　　) (4)如果一个函数f(x)在区间[a，b]上是单调递减的，那么函数的最大值是f(b).(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是(　　) A．y＝3－x　　　　　B．y＝x2＋1 C．y＝－x2 D．y＝x2－2x－3 答案：B 3．函数y＝在区间[2，4]上的最大值、最小值分别是(　　) A．1， B．，1 C．， D．， 答案：A 4．(多选)如图是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法正确的是(　　) A．函数在区间[－5，－3]上单调递增 B．函数在区间[1，4]上单调递增 C．函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减 D．函数在区间[－5，5]上没有单调性 解析：选ABD　单调区间不能用“∪”连接． 题型一　函数单调性的判断与证明 [例 1]　证明：函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数． 证明：任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1) －f(x2) ＝x1＋－x2－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)·. ∵2<x1<x2， ∴x1 －x2＜0，x1x2＞4，x1x2－4＞0， ∴f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2). ∴函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数． 证明或判断函数单调性的方法主要是定义法(在解决选择或填空题时有时可用图象法)，利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是： 　　 　证明：f(x)＝－－1在区间(－∞，0)上是单调增函数． 证明：设x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＋＝－＝， 因为x1<x2<0，所以x1－x2<0，x1x2>0， 所以<0，所以f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)， 因此函数f(x)在(－∞，0)上是单调增函数． 题型二　函数单调性的应用 角度1　利用单调性解不等式 [例 2]　已知函数f(x)的定义域为[－2，2]，且 f(x)在区间[－2，2]上是增函数，f(1－m)<f(m)，则实数m的取值范围为________． 解析：因为f(x)的定义域为[－2，2]， 所以－2≤1－m≤2，且－2≤m≤2， 所以－1≤m≤2. 因为f(x)在区间[－2，2]上是增函数，所以1－m<m，解得m>，所以<m≤2. 答案： 角度2　分段函数的单调性 [例 3]　若函数f(x)＝ 在R上为增函数，则实数b的取值范围为(　　) A．[1，2]　　　　　　　B． C．(1，2] D． 解析：选A　 因为函数 f(x)＝ 在R上为增函数， 所以解得1≤b≤2. (1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在利用函数的单调性解决比较函数值大小的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上． (2)利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性，去掉对应关系“f”，转化为自变量的不等式，此时一定要注意自变量的限制条件，以防出错．　　 1．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝1，则(　　) A．f(－1)<f(1)<f(2) B．f(1)<f(2)<f(－1) C．f(2)<f(－1)<f(1) D．f(1)<f(－1)<f(2) 解析：选B　因为二次函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1，所以f(－1)＝f(3)，函数f(x)的图象为开口向上的抛物线，则f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，故f(1)<f(2)<f(3)，即f(1)<f(2)<f(－1). 2．已知函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，试比较f(a2－a＋1)与f的大小． 解：∵a2－a＋1＝＋≥， ∴与a2－a＋1都是区间(0，＋∞)上的值． ∵f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数， ∴f≥f(a2－a＋1). 题型三　函数的最值 [例 4]　已知函数f(x)＝，x∈[2，5]. (1)判断该函数在区间[2，5]上的单调性，并给予证明； (2)求该函数在区间[2，5]上的最大值与最小值． 解：(1)f(x)＝在区间[2，5]上是减函数． 证明：任意取x1，x2∈[2，5]且x1<x2， 则f(x1)＝，f(x2)＝. f(x2)－f(x1)＝－ ＝. ∴2≤x1<x2≤5， ∴x1－x2<0，x2－1>0，x1－1>0. ∴f(x2) －f(x2)<0，∴f(x2)<f(x1). ∴f(x)＝在区间[2，5]上是减函数． (2)由(1)可知f(x)＝在区间[2，5]上是递减的，故对任意的x∈[2，5]均有f(5)≤f(x)≤f(2)， ∴f(x)max＝f(2)＝＝2， f(x)min＝f(5)＝＝. (1)运用函数单调性求最值是求解函数最值问题的重要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法． (2)函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b). ②若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a).　　 1．函数f(x)的图象如图所示，则其最大值、最小值分别为(　　) A．f，f B．f(0)，f C．f，f(0) D．f(0)，f(3) 答案：B 2．求函数f(x)＝x＋在x∈[1，3]上的最大值与最小值． 解：设1≤x1<x2≤3， 则f(x1)－ f(x2)＝x1－x2＋－ ＝(x1－x2). 又因为x1<x2，所以x1－x2<0. 当1≤x1<x2≤2时，1－<0， 所以f(x1)－f(x2)>0，所以f(x)在[1，2]上是减函数． 当2<x1<x2≤3时，1－>0， 所以f(x1) －f(x2)<0. 所以f(x)在(2，3]上是增函数． 所以f(x)的最小值为f(2)＝2＋＝4. 又因为f(1)＝5，f(3)＝3＋＝<f(1)， 所以f(x)的最大值为5. [课堂小结] 1．函数单调性证明的一般步骤为： (1)任取所给区间内两个值x1，x2，且x1<x2； (2)作差：f(x1)－f(x2)；(3)变形；(4)定号；(5)结论． 在上述几步中，关键一步是变形，变形的目的是判断符号． 2．判断函数单调性的方法有定义法、图象法、复合函数法，两个函数和(差)的单调性的判断，增＋增＝增，减＋减＝减，增－减＝增，减－增＝减． 3．单调区间不能随便合并，如y＝的单调区间不可写为(－∞，0)∪(0，＋∞). 4．利用函数的单调性求最值是求函数最值的常用方法． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$