第2章 2.1 函数的概念（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

§2　函　数 §2.1　函数的概念 学习目标 素养要求 1.理解函数的概念及函数的三要素． 2.理解函数定义域和值域概念，会求简单函数的定义域和值域． 3.会判断两个函数是否为同一个函数． 1.通过函数概念的学习，培养数学抽象的核心素养． 2.借助定义域、值域等问题的计算，培养数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点　函数的概念 [问题1]　初中我们学习过哪些函数？你能说出函数描述了几个变量之间的关系？它们分别是什么变量？ 答：初中学过正比例函数，一次函数、反比例函数和二次函数；函数描述了两个变量之间的关系，一个是自变量，另一个是因变量． [问题2]　因变量y与自变量x之间是怎样的依赖关系？ 答：_因变量y随自变量x的变化而变化． ►知识填空 1．函数的有关概念 函数的定义 给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数 函数的记法 y＝f(x)，x∈A 续表 函数的定义域 集合A称为函数的定义域 函数的自变量 x称为自变量 函数的值域 集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域 2．同一个函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数． 3．函数值 在函数y＝f(x)，x∈A中，与x值对应的y值称为函数值；用f(a)表示函数f(x)当x＝a时的函数值． [自主检测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．(　　) (2)已知定义域和对应关系就可以确定一个函数．(　　) (3)定义域中的x可以对应着不同的y.(　　) (4)y＝x＋1与y＝t＋1是同一个函数．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．函数y＝x2－2x的定义域为{0，1，2，3}，则其值域为(　　) A．{－1，0，3}　　　　　　B．{0，1，2，3} C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3} 答案：A 3．函数f(x)＝的定义域是(　　) A．R B．{x|x≥0} C．{x|x>0} D．{x|x≠0} 解析：选C　要使函数有意义，则 ∴x>0. 4．若f(x)＝，则f(3)等于(　　) A．2　　　B．4　　　C．2　　　D．10 解析：选A　f(3)＝＝2. 题型一　函数的概念 [例 1]　 判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数． (1)A＝N，B＝N＋，对应关系f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应； (2)A＝{－1，1，2，－2}，B＝{1，4}，对应关系f：x→y＝x2，x∈A，y∈B； (3)A＝{－1，1，2，－2}，B＝{1，2，4}，对应关系f：x→y＝x2，x∈A，y∈B； (4)A＝{三角形}，B＝{x|x＞0}，对应关系f：对A中元素求面积与B中元素对应． 解：(1)对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数． (2)对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数． (3)对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数． (4)集合A不是数集，故不是函数． 判断一个对应关系是否为函数的方法 　　 　如图，能表示函数y＝f(x)的图象的是(　　) 解析：选D　由函数定义可知，任意作一条垂直于x轴的直线x＝a，则直线与函数的图象至多有一个交点，可知选项D中图象能表示y是x的函数． 题型二　求函数的定义域 [例 2]　求下列函数的定义域； (1)f(x)＝； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝＋； (4)y＝＋. 解析：(1)∵x≠2时，分式有意义， ∴这个函数的定义域是{x|x≠2). (2)∵3x＋2≥0，即x≥－时，根式才有意义， ∴这个函数的定义域是. (3)∵要使函数有意义，必须⇒ ∴这个函数的定义域是{x|－1≤x<2). (4)由题意，知 即 ∴其定义域为{x|≤x≤或－≤x≤－}. 求函数定义域的常用依据 (1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零． (2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零． (3)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义． (4)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．　　 　求下列函数的定义域； (1)f(x)＝2x＋3； (2)f(x)＝·＋2； (3)y＝. 解： (1)函数f(x)＝2x＋3的定义域为R. (2)要使函数有意义，需满足解得1≤x≤4. 所以函数f(x)＝·＋2的定义域为{x|1≤x≤4}． (3)要使函数有意义，需满足1＋x≠0， 解得x≠－1. 所以函数y＝的定义域为 (－∞，－1)∪(－1，＋∞). 题型三　同一个函数的判断 [例 3]　下列选项中能表示同一个函数的是(　　) A．y＝x＋1与y＝ B．y＝x2＋1与s＝t2＋1 C．y＝2x与y＝2x(x≥0) D．y＝(x＋1)2与y＝x2 解析：选B　对于选项A，前者定义域为R，后者定义域为{x|x≠1}，不是同一个函数； 对于选项B，虽然变量不同，但定义域和对应关系均相同，是同一个函数； 对于选项C，虽然对应关系相同，但定义域不同，不是同一个函数； 对于选项D，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是同一个函数． 在两个函数中，只有当定义域、对应关系都相同时，两函数才是同一个函数．值域相等，只是前两个要素相等的必然结果．　　 　下列各组式子是否表示同一个函数？为什么？ (1)f(x)＝|x|，φ(t)＝； (2)y＝·，y＝； (3)y＝，y＝x－3. 解：(1)f(x)与φ(t)的定义域相同， 又φ(t)＝＝|t|， 即f(x)与φ(t)的对应关系也相同， ∴f(x)与φ(t)是同一个函数． (2)y＝·的定义域为{x|－1≤x≤1}， y＝的定义域为{x|－1≤x≤1}， 即两者定义域相同． 又∵y＝·＝， ∴两函数的对应关系也相同． 故y＝·与y＝是同一个函数． (3)∵y＝＝|x－3|与y＝x－3的定义域相同，但对应关系不同， ∴y＝与y＝x－3不是同一个函数． 题型四　函数对应关系的应用 [例 4]　已知f(x)＝(x∈R，x≠2)，g(x)＝x＋4(x∈R). (1)求f(1)，g(1)的值； (2)求f(g(x)). 解：(1)f(1)＝＝1， g(1)＝1＋4＝5. (2)f(g(x))＝f(x＋4)＝ ＝＝－(x∈R，且x≠－2). 函数求值的方法及关注点 (1)方法 ①求f(a)：已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值． ②求f(g(a))：已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． (2)关注点 用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义．　　 　已知函数f(x)＝，g(x)＝. (1)求f(3)，f(4)，f(g(3))及f(g(4))的值； (2)求f(g(x))，并证明f(x)＋f(g(x))是常数． 解：(1)f(3)＝＝－， f(4)＝＝－， f(g(3))＝f＝＝. f(g(4))＝f＝＝. (2)因为f(x)＝，则 f(g(x))＝f＝＝， 所以f(x)＋f(g(x))＝＋ ＝＝＝2. [课堂小结] 1．函数的本质 两个非空数集间的一种确定的对应关系．由于函数的定义域和对应关系一经确定，值域也就随之确定，所以判断两个函数是否相等只须两个函数的定义域和对应关系一样即可． 2．对函数相等概念的理解 (1)函数有三个要素：定义域、值域、对应关系．函数的定义域和对应关系共同确定函数的值域，因此当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数． (2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一函数，因为函数的对应关系不一定相同．如y＝x与y＝3x的定义域和值域都是R，但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$