第1章 2.2 全称量词与存在量词（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

§2.2　全称量词与存在量词 学习目标 素养要求 1.理解全称量词和存在量词的意义． 2.能判断含有一个量词的命题的真假． 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 1.通过全称量词与存在量词的学习，培养数学抽象的核心素养． 2.借助全称量词命题和存在量词命题的应用，提升逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点一　全称量词命题与存在量词命题 [问题1]　 判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是什么？ 答：判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看该命题是否含有全称量词或存在量词． [问题2]　如何判定一个全称量词命题的真假？ 答：要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”). [问题3]　如何判定一个存在量词命题的真假？ 答：要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题． ►知识填空 1．全称量词命题与全称量词 在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题．在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“∀”表示，读作“对任意的”． 2．存在量词命题与存在量词 在给定集合中，断言某些元素都具有一种性质的命题叫作存在量词命题．在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“∃”表示，读作“存在”． 知识点二　全称量词命题与存在量词命题的否定 [问题]　如何写出一个含有量词的命题的否定？ 答：一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论． ►知识填空 全称量词命题与存在量词命题否定 p 否定 结论 全称量词命题p：∀x∈M，x具有性质p(x). ∃x∈M，x不具有性质p(x). 全称量词命题的否定是存在量词命题． 存在量词命题p：∃x∈M，x具有性质p(x). ∀x∈M，x不具有性质p(x)． 存在量词命题的否定是全称量词命题． [自主检测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题．(　　) (2)存在量词命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题．(　　) (3)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，¬p(x)的真假性相反．(　　) (4)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．下列语句不是存在量词命题的是(　　) A．有的无理数的平方是有理数 B．有的无理数的平方不是有理数 C．对于任意x∈Z，2x＋1是奇数 D．存在x∈R，2x＋1是奇数 解析：选C　因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项A、B、D均为存在量词命题，选项C为全称量词命题． 3．下列命题中，是真命题且是全称命题的是(　　) A．对任意实数a，b，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0 B．梯形的对角形不相等 C．∃x0∈R，＝x0 D．三角形的内角和为180° 答案：D 4．(多选)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是(　　) A．∃x∈R，x2－2x＋1<0 B．所有的正方形都是矩形 C．∃x∈R，x2＋2x＋2≤0 D．至少有一个实数x，使x2－1＝0 解析：选AC　命题的否定是全称量词命题，即原命题为存在量词命题，故排除B；再根据命题的否定为真命题，即原命题为假命题，又D为真命题，故选AC. 题型一　全称量词命题和存在量词命题的辨析 [例 1]　指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假． (1)∀x∈N，2x＋1是奇数； (2)存在一个x∈R，使＝0. 解：(1)是全称量词命题，因为∀x∈N，2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题． (2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题． 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 　　 　判断下列命题的真假． (1)∀x∈R，x2＋2x＋1＞0； (2)∃x∈Z，使3x＋4＝5； (3)至少有一组正整数a，b，c满足a2＋b2＋c2≤3. 解：(1)∵当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0， ∴原命题是假命题． (2)由于3x＋4＝5成立时，x＝∉Z，因此不存在x∈Z，使3x＋4＝5. 所以存在量词命题“∃x∈Z，使3x＋4＝5”是假命题． (3)由于取a＝1，b＝1，c＝1时，a2＋b2＋c2≤3是在成立的，所以存在量词命题“至少有一组正整数a，b，c满足a2＋b2＋c2≤3”是真命题． 题型二　含有一个量词的命题的否定 [例 2]　写出下列各命题的否定． (1)p：对任意的正数x，>x－1； (2)q：三角形有且仅有一个外接圆； (3)r：存在一个三角形，它的内角和大于180°； (4)s：∃x，y∈Z，使得x＋y＝3. 解：(1)¬p：存在正数x，使≤x－1. (2)¬q：存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆． (3)¬r：所有三角形的内角和小于或等于180°. (4)¬s：“∀x，y∈Z，x＋y≠3”． (1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词．存在量词改成全称量词，同时否定结论，即得其否定． (2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．　　 　写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p：∀x∈R，x2－x＋≥0； (2)q：所有的正方形都是矩形； (3)r：∃x∈R，x2＋3x＋7≤0； (4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0. 解：(1)¬p：∃x∈R，x2－x＋＜0，是假命题． ∵∀x∈R，x2－x＋＝≥0恒成立， ∴¬p是假命题． (2)¬q：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题． (3)¬r：∀x∈R，x2＋3x＋7＞0，是真命题． ∵∀x∈R，x2＋3x＋7＝＋＞0恒成立， ∴¬r是真命题． (4)¬s：∀x∈R，x3＋1≠0，是假命题． ∵当x＝－1时，x3＋1＝0， ∴¬s是假命题． 题型三　全称量词命题与存在量词命题的应用 [例 3]　已知命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”是假命题，求实数a的取值范围． 解：因为全称命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”的否定形式为：“存在x∈R，x2＋ax＋1＜0”． 由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式的命题是真命题． 由于函数f(x)＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，借助二次函数的图象易知：Δ＝a2－4＞0，解得a＜－2或a＞2.所以实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞). 求解含有量词的命题中参数范围的策略 (1)对于全称量词命题“∀x∈M，a＞y(或a＜y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a＞ymax(或a＜ymin). (2)对于存在量词命题“∃x∈M，a＞y(或a＜y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a＞ymin(或a＜ymax).　　 1．若命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则实数m的取值范围是(　　) A．m≥1　　　　　　　B．m＞1 C．m＜1 D．m≤1 答案：B 2．(变条件)若本例中的“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围． 解析：由题意知Δ≤0，则a2－4≤0，得－2≤a≤2.所以实数a的取值范围为[－2，2]. [课堂小结] 1．判定一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的主要方法是看命题中含有哪种量词，判定时要特别注意省略量词的全称量词命题． 2．要判定一个全称量词命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题，只要举出一个反例即可；对存在量词命题真假的判定方法正好与之相反． 3．全称量词命题与存在量词命题的否定，其模式是固定的，即把相应的全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词，并把命题的结论加以否定． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$