第1章 2.1 第2课时 充要条件（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

第2课时　充要条件 学习目标 素养要求 1.理解充要条件的意义． 2.掌握判断、证明充要条件的一般方法． 1.借助充要条件的理解、判定与证明，提升直观想象、逻辑推理的核心素养． 2.通过充要条件的应用，培养逻辑推理、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点　充要条件 [问题1]　若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A是B的真子集吗？ 答：不一定，A⊆B.充分条件包括充分必要条件和充分不必要条件． [问题2]　若“x∈A”是“x∈B”的充要条件，则A与B的关系怎样？ 答：A＝B [问题3]　如何证明“p是q的充要条件”？ 答：证明“p是q的充要条件”即证明命题“若p，则q”和 “若q，则p”都是真命题． ►知识填空 1．充要条件 一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称充要条件，记作p⇔q． 2．常见的四种条件 (1)充分不必要条件，即p⇒q，而q⇒/ p. (2)必要不充分条件，即p⇒/_q而q⇒p． (3)充要条件，即p⇒q，q⇒p． (4)既不充分又不必要条件，即p⇒/ q，q⇒/p. [自主检测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(　　) (2)若p⇒/ q和q⇒/ p有一个成立，则p一定不是q的充要条件． (3)若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√ 2．“x>0”是“x≠0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　由“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件． 3．点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是(　　) A．x＜0，y＜0　　　　　B．x＜0，y＞0 C．x＞0，y＞0 D．x＞0，y＜0 答案：B 4．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中，选出适当的一种填空： (1)a＋b＝0是a2＋b2＝0的________________________________________________________________________； (2)x＝1或x＝2是x－1＝的________________________________________________________________________． 答案：(1)必要不充分条件 (2)充要条件 题型一　充分、必要、充要条件的判断 [例 1]　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件). (1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除； (2)p：x＞1，q：x2＞1； (3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形； (4)p：|ab|＝ab，q：ab＞0. 解：(1)∵p⇒q，q不能推出p， ∴p是q的充分不必要条件． (2)∵p⇒q，q不能推出p， ∴p是q的充分不必要条件． (3)∵p不能推出q，q⇒p， ∴p是q的必要不充分条件． (4)∵ab＝0时，|ab|＝ab， ∴“|ab|＝ab”不能推出“ab＞0”， 即p不能推出q. 而当ab＞0时，有|ab|＝ab，即q⇒p. ∴p是q的必要不充分条件． 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合之间的包含关系判断． (3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性．　　 　下列各题中，p是q的什么条件(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)? (1)p：四边形对角形互相平行，q：四边形是矩形； (2)p：x＝1或x＝2，q：x2－3x＋2＝0； (3)p：m＞0，q：方程x2＋x－m＝0有实根． 解：(1)∵四边形对角线互相平分⇒/ 四边形是矩形；四边形是矩形⇒四边形对角线互相平行， ∴p是q的必要不充分条件． (2)∵x＝1或x＝2⇒x2－3x＋2＝0，x2－3x＋2⇒x＝1或x＝2，∴p是q的充要条件． (3)∵m＞0⇒方程x2＋x－m＝0的Δ＝1＋4m＞0，即方程有实根；方程x2＋x－m＝0有实根，即Δ＝1＋4m≥0 ⇒/ m＞0， ∴p是q的充分不必要条件． 题型二　充要条件的证明 [例 2]　求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 证明：设p：a＋b＋c＝0；q：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1. (1)充分性(p⇒q)：因为a＋b＋c＝0， 所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中得ax2＋bx－a－b＝0， 即(x－1)(ax＋a＋b)＝0. 所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1. (2)必要性(q⇒p)： 因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1， 所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0. 所以有a×12＋b×1＋c＝0， 即a＋b＋c＝0. 故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 充要条件的证明策略 (1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真． (2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.　　 　已知a，b是实数，求证：a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1. 证明：充分性：若a2－b2＝1成立， 则a4－b4－2b2＝(a2＋b2)(a2－b2)－2b2＝a2＋b2－2b2＝a2－b2＝1， 所以a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1的充分条件． 必要性：a4－b4－2b2＝1成立， 则a4－(b2＋1)2＝0， 即(a2＋b2＋1)(a2－b2－1)＝0. 因为a，b为实数，所以a2＋b2＋1≠0， 所以a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1. 综上可知，a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1. 题型三　充要条件的应用 [例 3]　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0). 因为p是q的必要不充分条件， 所以q是p的充分不必要条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}， 故有或 解得m≤3. 又m>0， 所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}． 利用条件的充要性求解参数问题，关键是将条件属性转化为适当的解题思路，如数集类问题，一般是将条件属性转化为集合包含关系，借助数轴列出不等式(组)，从而求解．　　 1．(变条件)若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围． 解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0). 因为p是q的充分不必要条件， 设p代表的集合为A，q代表的集合为B， 所以AB. 所以或 解不等式组得m≥9，即实数m的取值范围是{m|m≥9}． 2．已知p：x＜－2或x＞3，q：4x＋m＜0，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 解：设A＝{x|x＜－2或x＞3}，B， 因为p是q的必要不充分条件， 所以BA，所以－≤－2，即m≥8. 所以m的取值范围是[8，＋∞). [课堂小结] 1．要证明充要条件，首先要分清哪是条件，哪是结论，然后用条件推结论，再由结论推条件，最后下结论． 2．利用充要条件求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． 3．端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$