2.1必要条件与充分条件第1课时课件-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

§2　常用逻辑用语 2.1　必要条件与充分条件 第1课时　必要条件与充分条件 数学 目标导向 数学 数学 自主学习 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 合作探究 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 课堂小结 数学 数学 新课程标准解读 核心素养 理解充分条件、必要条件的概念 数学抽象、逻辑推理 通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系 数学抽象、逻辑推理 能通过充分性、必要性解决简单的问题 逻辑推理、数学运算 新知初探 1．充分条件与必要条件 　　2.充分条件、必要条件与集合的关系 A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q} 3.判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系 (1)数学中的每一条________定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． (2)数学中的每一条________定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 【微点拨】 p是q的充分条件，是指以p为条件可以推出结论q，但这并不意味着由条件p只能推出结论q.一般来说，给定条件p，由p可以推出的结论是不唯一的．给定结论q，p也是不唯一的． 答案 1．p⇒q　p⇒/ q　充分条件　必要条件　充分条件　必要条件 3．(1)判定　(2)性质 初试身手 1．思考辨析．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x＝3”是“x2＝9”的必要条件．(　　) (2)“x＞0”是“x＞1”的充分条件．(　　) (3)若p是q的充分条件，则p唯一．(　　) (4)若q不是p的必要条件，则“p⇒/q”．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．命题“正方形四边都相等”的条件是(　　) A．正方形　　　　B．正方形的四条边 C．四条边 D．四条边都相等 解析：将命题改写成“若p，则q”的形式，“若四边形为正方形，则它的四条边都相等”，故选A. 答案：A 3．在平面内，下列是“四边形是矩形”的充分条件的是(　　) A．四边形是平行四边形且对角线相等 B．四边形两组对边相等 C．四边形的对角线互相平分 D．四边形的对角线垂直 解析：因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以“四边形是平行四边形且对角线相等”是“四边形是矩形”的充分条件． 答案：A 4．设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的________条件．(填“充分”“必要”) 解析：因为N⊆M，所以“a∈M”是“a∈N”的必要条件． 答案：必要 类型1　充分条件的判断 【例1】　下列命题中，p是否是q的充分条件？ (1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0； (2)p：x>1，q：x>2； (3)p：x＝1，q：x2－4x＋3＝0； (4)p：m＜－1，q：x2－x－m＝0无实根． 【解】　(1)∵a＝1，b＝－1时，a＋b＝0， 但a2＋b2＝2，∴a＋b＝0⇒/a2＋b2＝0. ∴p不是q的充分条件． (2)解法1：由x>1⇒/x>2，所以p不是q的充分条件． 解法2：设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>2}， 所以B⊆A，所以p不是q的充分条件． (3)当x＝1时，x2－4x＋3＝0， ∴x＝1⇒x2－4x＋3＝0.∴p是q的充分条件． (4)由方程x2－x－m＝0无实根， 得Δ＝1＋4m＜0.即m＜－ eq \f(1,4). ∴m＜－1⇒m＜－ eq \f(1,4)，即p⇒q. ∴p是q的充分条件． 【反思领悟】 充分条件的判断方法 (1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题； (2)除了用定义判断充分条件还可用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件． 跟踪训练1 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若a∈Q，则a∈R； (2)若a＜b，则 eq \f(a,b)＜1； (3)若x，y∈R，|x|＝|y|，则x＝y. 解：(1)由于QR，所以p⇒q，所以p是q的充分条件． (2)由于a＜b，当b＜0时， eq \f(a,b)＞1；当b＞0时， eq \f(a,b)＜1， 因此p⇒/q，所以p不是q的充分条件． (3)若x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但x≠y，所以p⇒/q， 所以p不是q的充分条件． 类型2　必要条件的判断 【例2】　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若△ABC是直角三角形，则△ABC是等腰三角形； (2)p：x＝1，q：x－1＝ eq \r(x－1)； (3)p：－2≤x≤5，q：－1≤x≤5； (4)p：a是自然数，q：a是正整数． 【解】　(1)直角三角形不一定是等腰三角形． 因此p⇒/q，所以q不是p的必要条件； (2)当x＝1时，x－1＝ eq \r(x－1)＝0， 所以p⇒q，所以q是p的必要条件； (3)当x＝－2时，－2≤x≤5成立， 但是－1≤x≤5不成立，所以p⇒/q，所以q不是p的必要条件； (4)0是自然数，但是0不是正整数，所以p⇒/q， 所以q不是p的必要条件． 【反思领悟】 必要条件的判断方法 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件； (2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 跟踪训练2 (1)(多选)下列命题是真命题的是(　　) A．“x＞2”是“x＞3”的必要条件 B．“x＝2”是“x2＝4”的必要条件 C．“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件 D．p：a＞b，q：ac＞bc，p是q的必要条件 (2)使|x|＝x成立的一个必要条件是(　　) A．x＜0 　　B．x≥0或x≤－1 C．x＞0 　　D．x≤－1 解析：(1)∵x＞3⇒x＞2，∴A是真命题；∵x＝2⇒x2＝4，x2＝4⇒/x＝2，∴B是假命题；∵A∩B＝B⇒A∪B＝A， ∴C是真命题；∵q⇒/p，∴p不是q的必要条件，D是假命题．故选AC. (2)因为|x|＝x⇒x≥0⇒x≥0或x≤－1，所以使|x|＝x成立的一个必要条件是x≥0或x≤－1. 答案：(1)AC　(2)B 类型3　根据充分(必要)条件求参数 【例3】　已知p：实数x满足3a＜x＜a，其中a＜0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围． 【解】　p：3a＜x＜a， 即集合A＝{x|3a＜x＜a}． q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}． 因为p⇒q，所以A⊆B，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3a≥－2，,a≤3，,a＜0))⇒－ eq \f(2,3)≤a＜0， 所以a的取值范围是－ eq \f(2,3)≤a＜0. 【母题探究】 (变设问)若本例中条件p改为“实数x满足a＜x＜3a，其中a＞0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围． 解：p：a＜x＜3a，即集合A＝{x|a＜x＜3a}． q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}． 因为q⇒p，所以B⊆A，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3a＞3，,a＜－2，,a＞0))⇒a∈∅. 【反思领悟】 充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题； (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． 跟踪训练3 已知P＝{x|a－4＜x＜a＋4}，Q＝{x|1＜x＜3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意知Q⊆P，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－4≤1，,a＋4≥3，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a≤5，,a≥－1，)) 所以－1≤a≤5. 答案：{a|－1≤a≤5} 1．知识清单： (1)充分条件、必要条件的判断； (2)充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系； (3)充分条件与必要条件的应用． 2．方法归纳：等价转化． 3．常见误区： (1)充分条件、必要条件不唯一； (2)求参数范围能否取到端点值． $$