第1章 1.2 集合的基本关系（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

§1.2　集合的基本关系 学习目标 素养要求 1.理解集合之间的包含与相等的含义． 1.通过集合的基本关系的学习，培养数学抽象的核心素养 2.能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系． 2.借助Venn图表示集合的关系的运用，提升直观想象、逻辑推理的核心素养．． [自主梳理] 知识点　子集、真子集、集合相等 [问题1]　生物学中，动物分为脊椎动物和无脊椎动物．脊椎动物又分为鱼类、爬行类、鸟类、两栖类、哺乳类五大类，把所有哺乳类动物组成一个集合A，所有脊椎动物组成一个集合B.A中元素与集合B有关系吗？集合A与集合B有什么关系？ 答案：A中元素与集合B有关系，A中每一个元素都属于B.此时集合B包含集合A，即集合A是集合B的子集． [问题2]　怎样理解集合间的包含关系？ 答案：(1)“A⊆B”的含义：若x∈A，则能推出x∈B. (2)不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. [问题3]　两个集合：A＝{x|x是有三条边相等的三角形}，B＝{x|x是等边三角形}．A是B的子集吗？B是A的子集吗？两集合相等吗？ 答案：A是B的子集且B是A的子集，两集合相等． ►知识填空 1．子集、真子集、集合相等 概念 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中任意一个元素都属于集合B，称集合A是集合B的子集． A⊆B(或B⊇A)，对于任何一个集合A，∅⊆A. 真子集 如果集合A⊆B，且A≠B，称集合A是集合B的真子集． AB或(BA) 集合相等 对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等． A＝B 2.Venn图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 3．子集的性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C． (3)规定：空集是任何集合的子集． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何集合至少有两个子集．(　　) (2){0，6，8}⊆{8，0，6}．(　　) (3)若A⊆B，且A≠B，且AB.(　　) (4)空集是任何集合的真子集．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．已知集合A＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是(　　) A．0⊆A　　　　　　　　B．{0}∈A C．∅∈A D．{0}⊆A 答案：D 3．集合{1，2}的子集有(　　) A．4个 B．1个 C．2个 D．1个 答案：A 4．集合{1}与集合{x|x2－1＝0}的关系是________． 答案：{1}{x|x2－1＝0} 题型一　集合间关系的判断 [例 1]　(1)下列各式中，正确的个数是(　　) ①{0}∈{0，1，2}；②{0，1，2}⊆{2，1，0}；③∅⊆{0，1，2}；④∅＝{0}；⑤{0，1}＝{(0，1)}；⑥0＝{0}． A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4 (2)指出下列各组集合之间的关系： ①A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； ②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； ③M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋} 解析：(1)选B　对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0，1，2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅ {0}；对于⑤，{0，1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0，1)}是以有序数组(0，1)为元素的单元素集合，所以{0，1)与{(0，1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的． (2)①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． ②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB. ③法一：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N＋，因此集合M含有元素“1”，而集合N不合元素“1”，故NM. 法二：由列举法知M＝{1，3，5，7，…}， N＝{3，5，7，9，…}，所以NM. 集合间基本关系判定的两种方法和一个关键 　　 1．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(　　) 解析：选B　x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}， 易得NM，其对应的Venn图如选项B所示． 2．已知集合M＝{x|x＝1＋a2，a∈N＋}，P＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈N＋}，则M与P的关系为(　　) A．M＝P　　　　　　B．PM C．P≠M D．MP 答案：D 题型二　有限集合子集的确定 [例 2]　(1)已知集合A＝{x|0≤x＜3且，x∈N}，则A的真子集的个数是(　　) A．16 B．8 C．7 D．4 (2)满足{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}的集合M有________个． 解析：(1)∵A＝{x|0≤x＜3且x∈N}＝{0，1，2}，∴集合A的真子集的个数为23－1＝7. (2)由题意可得{1，2} M⊆{1，2，3，4，5}，可以确定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下： 含有三个元素：{1，2，3)，{1，2，4)，{1，2，5}； 含有四个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}， {1，2，4，5}； 含有五个元素：{1，2，3，4，5}． 故满足题意的集合M共有7个． 答案：(1)C　(2)7 　 公式法求有限集合子集个数的方法 (1)求集合的子集时，为了做到不重不漏，对于含有n个元素的集合A，可以按元素个数由0到n，依次列出集合A的子集． (2)一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有(2n－1)个，非空真子集有(2n－2)个．　　 1．已知集合A＝{x|0≤x<5，且x∈N}，则集合A的子集的个数为(　　) A．15 B．16 C．31 D．32 解析：选D　A＝{0，1，2，3，4}，含有5个元素的集合的子集的个数为25＝32. 2．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集． 解析：A的所有子集：∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}． 题型三　集合间关系的应用 [例 3]　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求实数m的取值范围． 解：①当B≠∅时，如图所示． ∴或 解这两个不等式组，得2≤m≤3. ②当B＝∅时， 由m＋1>2m－1，得m<2. 综上可得，m的取值范围是(－∞，3]． 1．由集合之间的包含关系求参数的两类问题 (1)若集合中的元素是一一列举的，可依据集合之间的关系，转化为解方程(组)求解，此时要注意集合中元素的互异性． (2)若集合中的元素由不等式(组)限制，常借助于数轴转化为不等式(组)求解，此时要注意端点值能否取到． 2．由集合之间的包含关系求参数的一个关注点 空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．　　 1．设集合A＝{x|1＜x≤2}，B＝{x|x＜a}，若A B，则a的取值范围是(　　) A．{a|a≥2} B．{a|a＜1} C．{a|a＞2} D．{a|a≤1} 答案：C 2．(变条件)若本例条件“B A”改为“A⊆B”，其他条件不变，求m的取值范围． 解：当A⊆B时，此时B≠∅，如图所示． ∴即 ∴m∈∅，即m的取值范围为∅. [课堂小结] 1．元素、集合间的关系用符号“∈”或“∉”表示，集合、集合间的关系用“⊆”“＝”或“”等表示． 2．处理集合间的关系时要注意以下三点： (1)A⊆B且B≠∅隐含着A＝B和AB两种关系． (2)注意空集的特殊性，在解题时，若未指明集合非空，则要考虑集合为空集的可能性． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$