第1章 1.1 集合的概念与表示（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

　预备知识 §1　集　合 §1.1　集合的概念与表示 学习目标 素养要求 1. 通过实例了解集合的含义． 2. 理解元素与集合的属于关系． 3. 能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合． 4.理解区间的概念． 1.通过集合概念的学习，培养数学抽象的核心素养． 2.通过根据元素与集合的关系解决相关问题，提升数学运算、逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点一　元素与集合的相关概念 [问题1]　 高一(2)班的全体男同学能构成一个集合吗？高一(2)班的全体高个子同学能构成一个集合吗？ 答：构成集合的元素应是确定的，不能含混不清，全体男同学是确定的，能构成一个集合；而“高个子”标准不明确，故全体高个子同学不能构成一个集合． [问题2]　构成单词“bee”的字母形成的集合，其中的元素有多少个？ 答：2个．集合中的元素不能重复． ►知识填空 1．集合：把指定的某些对象的全体称为集合．通常用大写英文字母A，B，C，…表示． 2．元素：集合中的每一个对象叫作这个集合的元素．通常用小写英文字母a，b，c，…表示． 3．规定：一个集合中的任何两个元素都不相同． 知识点二　元素与集合的关系 [问题]　某中学2022年高一年级30个班构成一个集合．高一(6)班是这个集合中的元素吗？高二(3)班是这个集合中的元素吗？为什么？ 答：高一(6)班是这个集合的元素，高二(3)班不是这个集合的元素． ►知识填空 1．属于：如果元素a在集合A中，就说a属于集合A，记作a∈A． 2．不属于：如果元素a不在集合A中，就说a不属于集合A，记作a∉A． 知识点三　常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N＋或N* Z Q R 知识点四　集合的表示及分类 [问题]　 “高铁、支付宝、共享单车和网购”被誉为中国新四大发明，你能用集合表示吗？ 答：能，可以一一列举出，表示为{高铁，支付宝，共享单车，网购}． ►知识填空 1．列举法：把集合中的元素一一列举出来写在花括号内的方法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}． 2．描述法：通过描述元素满足的条件表示集合的方法，一般可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件}，即在花括号内先写上集合中元素的一般符号及范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．集合的分类 集合 4．空集 把不含任何元素的集合叫作空集，记作∅． 知识点五　区间 ►知识填空 1．区间的概念及表示 设a，b是两个实数，且a<b，则有下表： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a＜x＜b} 开区间 (a，b) 续表 {x|a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (a，b] 2.实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”．如： 符号 [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) (－∞，＋∞) 定义 {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} R [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在一个集合中可以找到两个相同的元素．(　　) (2)接近于0的数可以组成集合．(　　) (3){x∈Z|x＝2k，k∈Z}与{x∈Z|x＝2k，k∈N}是相等的集合．(　　) (4)集合{(1，2)}和{1，2}表示同一个集合．(　　) (5){x|x>1}与{y|y>1}是不同的集合．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2．(多选)下列结论正确的是(　　) A．0∈N＋　　　　　　　B．－∉Q C．0∉Q D．8∈Z 答案：BD 3．已知集合M＝{1，a}，则实数a满足的条件是(　　) A．a∈R B．a∈Q C．a＝1 D．a≠1 答案：D 4． 区间[2，6)可用描述法表示为__________． 答案：{x|2≤x≤6} 题型一　元素与集合的概念 [例 1]　(多选)下列结论正确的是(　　) A．所有的等腰三角形构成一个集合 B．倒数等于它自身的实数构成一个集合 C．质数的全体构成一个集合 D．由2，3，4，3，6，2构成含有6个元素的集合 解析：选ABC　A正确．B正确，若＝a，则a2＝1，所以a＝±1，能构成集合．C正确，任何一个质数都在此集合中，不是质数的都不在．D不正确，集合中的元素具有互异性，构成的集合只能含有4个元素．故选A、B、C. 判断元素能否构成集合，关键是看是否有一个明确的标准来衡量这些对象，如果条件满足就可以断定这些元素可以构成集合，否则不能构成集合．　　 　下列说法中，正确的是(　　) A．“不超过20的非负数”构成一个集合 B．用实数2，0，2，1组成的集合有4个元素 C．“的近似值的全体”构成一个集合 D．由甲、乙、丙三人组成的集合与丙、乙、甲三人组成的集合不同 答案：A 题型二　元素与集合的关系、集合中元素的特征 [例 2]　(1)下列所给关系正确的个数是(　　) ①π∈R；②∉Q；③0∈N＋；④|－4|∉N＋. A．1　　　　　　　　B．2 C．3 D．4 (2)已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值． 解析：(1)π是实数，故①正确；是无理数，故②正确；③0是自然数，但0∉N＋，③不正确；|－4|＝4∈N＋，故④不正确． (2)因为－3∈A， 所以－3＝a－3或－3＝2a－1， 若－3＝a－3，则a＝0. 此时集合A含有两个元素－3和－1，符合要求； 若－3＝2a－1，则a＝－1， 此时，集合A含有两个元素－4，－3，符合要求． 综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1. 答案：(1)B　(2)0或－1 由集合中元素的特性求解字母取值 (范围)的步骤 　　 1．设不等式3－2x<0的解集为M，下列结论正确的是(　　) A．0∈M，2∈M B．0∉M，2∈M C．0∈M，2∉M D．0∉M，2∉M 答案：B 2．已知集合A中有0，m，m2－3m＋2三个元素，且2∈A，则实数m为(　　) A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可 解析：选B　由2∈A可知，若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾；当m＝3时，此时集合A中含有3个元素0，2，3，故选B. 题型三　集合的表示方法 [例 3]　(1)若集合A＝{x|mx2＋2x＋m＝0，m∈R}中有且只有一个元素，则m的取值集合是________． (2)用适当的方法表示下列集合． ①方程(x－1)2(x－2)＝0的解组成的集合． ②在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合． ③不等式x－2>6的解的集合． ④大于0.5且不大于6的自然数构成的集合． 解析：(1)当m＝0时，方程mx2＋2x＋m＝0为2x＝0，解得x＝0，A＝{0}； 当m≠0时，若集合A只有一个元素，则一元二次方程mx2＋2x＋m＝0有相等实根，所以判别式Δ＝22－4m2 ＝0，解得m＝±1； 综上，当m＝0或m＝±1时，集合A只有一个元素． 所以m的值组成的集合B＝{－1，0，1). 答案：(1){－1，0，1} (2)①方程(x－1)2(x－2)＝0的解为1和2，因此可以用列举法表示为{1，2}． ②{x|x＝2n＋1且x<1000，n∈N). ③{x|x>8}． ④{1，2，3，4，5，6}． 1．在用列举法表示集合时的关注点 (1)用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么． (2)元素不重复，元素无顺序． 2．用描述法表示集合应注意的四点 (1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x＜1}不能写成{x＜1}． (2)所有描述的内容都要写在花括号内，例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}． (3)不能出现未被说明的字母． (4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．　　 1．有下面六种表示方法： ①{x＝－1，y＝2}；②； ③{－1，2}；④(－1，2)；⑤{(－1，2)}； ⑥{x，y|x＝－1，或y＝2}，其中能正确表示方程组的解集的是________(填序号). 答案：②⑤ 2．用适当的方法表示下列集合： (1)“Welcome”中的所有字母构成的集合； (2)函数y＝2x－1的图象与坐标轴的交点组成的集合； (3)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集； (4)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合． 解：(1)由于“Welcome”中包含的字母有W，e，l，c，o，m，共6个元素，因此可以用列举法表示为{W，e，l，c，o，m}． (2)函数y＝2x－1的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为(0，－1)，因此可以用列举法表示为. (3)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3.所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}． (4)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}． [课堂小结] 1．集合中的元素具有三个特性：确定性、互异性、无序性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求． 2．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，应分类讨论时，必须明确分类标准，才能做到不重不漏． 3．在用描述法表示集合时应注意弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$