2.3用公式法求解一元二次方程第2课时（教学课件）数学北师大版九年级上册

北师大版·九年级上册 2.3 用公式法求解一元二次方程 第2课时 第二章 一元二次方程 学 习 目 标 1. 经历列方程解决简单实际问题的过程，体会模型思想，增强数学应用意识和能力; 2. 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型;（重点） 3. 能运用一元二次方程解决实际问题，根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.（难点） 知识回顾 1.一元二次方程的求根公式： 当b2-4ac ≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，的根是 . 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法． 2.一元二次方程根的判别式： 一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根的判别式是 ，通常用希腊字母“ ”来表示. 3.一元二次方程的根与根的判别式b2－4ac的关系： 当b2 - 4ac ＞0时，方程有 的实数根； 当b2 - 4ac = 0 时，方程有 的实数根； 当b2 - 4ac < 0 时，方程 实数根. b2－4ac Δ 两个不相等 两个相等 没有 情境引入 问题：某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与AB平行，另外一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为xm，则由题意可以列出怎样的方程？ C B D A (30-2x)(20-x)=6×78 1.小明的设计方案如图所示，其中花园四周小路的宽度都相等. 通过解方程，他得到小路的宽为2m或12m. 新知探究 探究：利用一元二次方程解决几何问题 在一块长 16 m、宽 12 m 的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半．你能给出设计方案吗？ 你认为小明的结果对吗？为什么？ 新知探究 解：设小路的宽度为 x m，则有 ( 16﹣2x )( 12﹣2x ) = × 12 × 16 ， 整理，得 x2﹣14x + 24 = 0， 解得 x1 = 2，x2 = 12 . 当 x2 =12 时，小路宽和矩形荒地宽相等，不符合题意，故舍去. ∴ 设计小路宽应为 2 m. 因此，小明的答案不正确. 思考：这两个解都符合题意吗？ 新知探究 2.小亮的设计方案如图所示，其中花园每个角上的扇形都相同. 你能帮小亮求出图中的 x 吗？ 解：4个相同扇形的面积之和恰好为一个圆的面积，且半径为 x m，根据题意，得 πx2 =×12×16， 解得 x= ≈ ±5.5 ， 答： 图中的x约为 5.5 m. 注意：应用一元二次方程解决实际问题时，要根据具体问题中的实际意义检验方程解的合理性. 新知探究 3.你还有其他设计方案吗？与同伴交流. 解：设小路的宽为 xm, 根据题意得： , 即 x2 - 28x + 96 = 0. 解方程得 x1 = 4 , x2 = 24, 将x =24 代入方程中不符合题意舍去. 答：小路的宽为4m. 分析：我们可以利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些. 新知探究 利用一元二次方程解决几何问题 知识归纳 一元二次方程关于几何图形的应用主要集中在面积问题，这类问题的面积公式是等量关系. 1.面积问题：将不规则图形用“割补法”变成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程； 2.宽度问题：利用“图形平移，面积不改变”的性质更易列方程.例如求小路的宽时，可把纵、横两条路平移，使列方程更容易. 1. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ） A．x2+130x-1400=0 B．x2+65x-350=0 C．x2-130x-1400=0 D．x2-65x-350=0 80cm x x x x 50cm 新知探究 B 某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1.在温室内，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，其他三侧内墙各保留1 m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288 m2？ 例1 典例分析 解：设矩形温室的宽为 x m，则长为2x m． 根据题意，得 (x－2)(2x－4)＝288. 解得x1＝－10(不合题意，舍去)，x2＝14. 所以2x＝2×14＝28. 答:当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2. 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，当矩形花园的面积为300 m2时，求AB的长． 例2 典例分析 解：设AB长为x m，则BC长为(50－2x)m. 根据题意，得x(50－2x)＝300. 解得x1＝10，x2＝15. 当x＝10时，AD＝BC＝50－2x＝30>25，不合题意，所以x＝10应舍去． 当x＝15时，AD＝BC＝50－2x＝20<25，所以x＝15满足条件． 答：AB的长为15 m. 2．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长，设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为( ) A．(x＋1)(x＋2)＝18 B． x2－3x＋16＝0 C．(x－1)(x－2)＝18 D．x2＋3x＋16＝0 1．绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为( ) A． x(x－10)＝900 B． x(x＋10)＝900 C．10(x＋10)＝900 D．2[x＋(x＋10)]＝900 巩固练习 基础巩固题 C B 5.五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是135 cm²,则以小长方形的宽为边长的正方形面积是 cm². 4.在一幅长50 cm，宽30 cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形 挂图，如图所示．如果要使整个矩形挂图的面积是1 800 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程为 ．　　 巩固练习 基础巩固题 3．一个直角三角形的两条直角边相差5 cm，面积是7 cm2，则它的两条直角边长分别为 ． x2＋40x－75＝0 2 cm，7 cm 9 6. 如图1，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽. 图1 巩固练习 基础巩固题 解：设道路宽为x米，由平移得到图2，则宽为(20-x)米，长为（32-x)米.列方程,得 （20-x)(32-x)=540， 整理,得 x2-52x+100=0， 解得 x1=50(舍去），x2=2. 答：道路宽为2米. 图2 巩固练习 基础巩固题 解：设铁皮各角应切去边长为x cm的正方形． 根据题意，得(100－2x)(50－2x)＝3600. 整理，得x2－75x＋350＝0， 解得x1＝5，x2＝70. ∵当x＝70时， 100－2x＝－40＜0，50－2x＝－90＜0， 7.有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四周各切去一个同样大小的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖的方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3 600 cm2，那么铁皮各角应切去边长为多大的正方形？ ∴x＝70不合题意，舍去， ∴x＝5. 答：铁皮各角应切去边长为5 cm的正方形． 课堂小结 用公式法求解一元二次方程2 面积问题：将不规则图形用“割补法”变成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程； 应用一元二次方程解决几何问题 宽度问题：利用“图形平移，面积不改变”的性质更易列方程.例如求小路的宽时，可把纵、横两条路平移，使列方程更容易. 注意 应用一元二次方程解决实际问题时，要根据具体问题中的实际意义检验方程解的合理性. 作业布置 1.必做题：习题2.6第1-3题。 2.探究性作业：习题2.6第4题。 感谢聆听! $$