第1章 《二次函数》单元培优测试 2025-2026学年浙教版数学九年级上册

2025-2026学年浙教版数学九年级上册单元检测卷第1章 《二次函数》单元培优测试 一、选择题（每题3分，共30分） 1．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（　　） A．3m B．2.75m C．2m D．1.75m 2．已知点（﹣2，y1），（3，y2），（7，y3）都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y2＞y1 3． 已知二次函数 的图象如图所示，则（　　） A． B． C． D． 4．已知抛物线，下列结论错误的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大 5．已知二次函数的图象经过两点，则下列判断正确的是（　　） A．可以找到一个实数，使得 B．无论实数取什么值，都有 C．可以找到一个实数，使得 D．无论实数取什么值，都有 6．点A (m-1，y1)，B(m，y2)都在二次函数y=(x-1)2+n的图象上。若y1<y2，则m的取值范围为（　　） A．m>2 B．m> C．m<1 D． <m<2 7． 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大 C．函数的最小值小于 D．当时， 8．在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度厘米天和光照强度勒克斯之间存在一定关系．在低光照强度范围内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（　　） A．当时，随的增大而减小 B．当时，有最大值 C．当时， D．当时， 9．如图，已知抛物线（为常数，且）的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴交点坐标是且．有下列结论：①；②；③；④关于的一元二次方程必有两个不相等实根；⑤若点在抛物线上， 且，当时，则的取值范围为． 其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．如图，二次函数 图象的一部分与x轴的一个交点坐标为 ，对称轴为 ，结合图象给出下列结论： ① ； ② ； ③关于x的一元二次方程 的两根分别为-3和1； ④若点 ， ， 均在二次函数图象上，则 ； ⑤ （m为任意实数）． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（每题3分，共18分） 11．抛物线向下平移两个单位所得的抛物线解析式为　 　. 12．将二次函数y=2x2﹣1的图象沿y轴向上平移2个单位，所得图象对应的函数表达式为　 　． 13．抛物线与轴只有一个交点，则　 　． 14．在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是　 　. 15．抛物线（是常数，）经过三点，且．下列四个结论： ①； ②； ③当时，若点在该抛物线上，则； ④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 其中正确的是　 　（填写序号）． 16．对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为　 　． 三、解答题（共8题，共72分） 17．如图，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为． （1）求b与c的值。 （2）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使的面积与的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由。 18．已知抛物线 与x轴只有一个公共点. （1）若抛物线过点 P(0，1)，求a+b的最小值. （2）已知点 P1(-2，1)，P2(2，-1)，P3(2，1)中恰有两点在抛物线上. ①求抛物线的解析式. ②设直线l：y= kx+1与抛物线交于M，N两点，点A 在直线y=--1上，且∠MAN=90°，过点 A 且与x 轴垂直的直线分别交抛物线和l 于点 B，C.求证：△MAB 与△MBC 的面积相等. 19．小星路过某广场时看到一处喷泉景观，喷出的水柱呈抛物线形状（如图1）．如图2是他对此展开研究的示意图，喷出的水柱是抛物线的一部分，测得喷头距离地面的高度米． （1）求该抛物线的表达式． （2）若小星身高1.6米，他站在水柱下方而没有被淋湿，设小星与喷头的水平距离为米，求的取值范围． （3）为了让喷泉景观更加壮观，需要让喷泉水柱的落地点与喷头的水平距离OB不小于6米，但不能超过8米．若仅改变喷头的高度，设喷头的高度为，试确定的取值范围． 20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线 经过点 O和点A(3，3a). （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2） 过点 P(t，0)作x轴的垂线，交抛物线于点 M，交直线y= ax于点N. ①若a=1，t =4，求MN的长； ②已知在点P从点O运动到点B(2a，0)的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求a的取值范围. 21．如图，抛物线（b为常数）． （1）求证：抛物线L一定与x轴有两个交点，并且这两个交点分居在原点的两侧； （2）当抛物线L经过点时， ①求抛物线L的顶点坐标，并直接写出抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标； ②若时，函数的最大值与最小值的差总为，求n的取值范围． 22．数学兴趣小组在学习二次函数后，发现二次函数中字母系数与其图象有直接联系，他们借助学习函数的经验，对二次函数为常数）进行研究． 【特例分析】 （1）数学兴趣小组分别取三个特殊值进行特例研究． ①确定表达式： 当时，，当时，，当时，____________； ②画函数图象： 平面直角坐标系中已画出和的图象，请你在同一坐标系中画出的图象； 【性质探究】 （2）数学兴趣小组通过观察图象得到猜想：不论为何值，二次函数图象经过点．请问这个猜想是否正确？请说明理由． 【性质应用】 （3）已知点，若二次函数图象与线段有且只有一个交点，求的取值范围． 23．如图所示，已知二次函数图象与直线相交于点，直线交轴于，点为抛物线上一点，将点绕着原点逆时针旋转得到对应点，连接． （1）求抛物线和直线的函数解析式． （2）当点坐标为时，求证：点，，三点在同一直线上． （3）当有一顶点在直线上时， ①求长； ②在①的条件下，当点在第四象限时，在上取点，在上取点，使，连接，，求的最小值． 24．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx﹣1经过点（2，﹣1）．点P在此抛物线上．其横坐标为m；连接PO并延长至点Q，使OQ＝2PO．当点P不在坐标轴上时，过点P作x轴的垂线，过点Q作y轴的垂线，这两条垂线交于点M． （1）求此抛物线对应的函数解析式． （2）△PQM被y轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变，如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由． （3）当△PQM的边MQ经过此抛物线的最低点时，求点Q的坐标． （4）当此抛物线在△PQM内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】D 5．【答案】C 6．【答案】B 7．【答案】D 8．【答案】B 9．【答案】B 10．【答案】C 11．【答案】y=3x2-2 12．【答案】y=2x2+1 13．【答案】9 14．【答案】（1，-3） 15．【答案】②③④ 16．【答案】4 17．【答案】（1）解：由已知得： 整理，得： ∴b=-6， c=5； （2）点P的横坐标为： 18．【答案】（1）解：把P(0，1)代入解析式得： 又∵抛物线与x轴只有一个公共点， 即 当 时， 有最小值为 （2）解：①∵抛物线与x轴只有一个公共点， ∴抛物线上的顶点在x轴上， ∴抛物线上的点为 又 关于y轴对称， ∴顶点为原点(0，0)， 设解析式为 代入点. 得： ②证明：联立直线l和抛物线得： 即： 设. 由韦达定理得： 设线段MN的中点为T，设A的坐标为 则T的坐标为 ， 由题意得： 是直角三角形，且MN是斜边， 即： ， 解得 ∴B是AC的中点， 又· 与 的高都是点M到直线AC的距离， 与 的高相等， 与 的面积相等 19．【答案】（1）解：喷头距离地面1米． ． 把代入， 得 解得． 抛物线的表达式为：． （2）解：在中，令，得． ∴ 解得：，． ∵他站在水柱下方而没有被淋湿， ． （3）解：在中，令，得， ∴， 解得：，． ． 喷头沿轴向上平移． 设喷头沿轴向上平移米， 则抛物线水柱的表达式为： 当，时， 得， ∴， ∴ ． 当，时，得， 则， ∴ ． ， 即． 20．【答案】（1）解：将点O(0，0)代入， 抛物线 可得c=0， ∴该抛物线解析式为 将点A(3，3a)代入， 抛物线. 可得3a=9a+3b， 解得b=-2a； （2）解：①若a=1，则该抛物线及直线解析分别为 当t=4时， 可有点P(4，0)， 如下图， ∵PM⊥x轴， 将x=4代入 可得 即M(4，8)， 将x=4代入y=x， 可得y=4， 即N(4，4)， ∴MN=8-4=4； ②当点P从点O运动到点B(2a，0)的过程中， ∵PM⊥x轴， P(t，0)， 将x=t代入. 可得 即 将x=t代入y= ax， 可得y= at， 即N(t， at)， 令MN=0， 即 解得t=0或t=3， 若a＞0， 可有2a＞0， 即点B在y轴右侧， 如下图， 当0＜t≤3时， 可有 其图像开口向下，对称轴为 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的增大而增大，则 解得 当t＞3时， 可有. 其图像开口向上，对称轴为 不符合题意；若a＜0， 可有2a＜0， 即点B在y轴左侧， 如下图， 当t＜0时， 可有. 其图像开口向上，对称轴为 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的减小而增大，则 解得 ∴a＜0. 综上所述，a的取值范围为 且a≠0. 21．【答案】（1）证明：在中，令， ， 该一元二次方程有两个不相等的实数根，即抛物线L一定与x轴有两个交点. 设的根分别为， ， 该一元二次方程有两个异号的实数根，即抛物线L与x轴的两个交点分居在原点的两侧； （2）解：①抛物线L经过点， ∴抛物线L的对称轴为直线：， 即 ， ∴L的函数表达式为 ∵． ∴抛物线L的顶点坐标为， 令， 解得：（负数舍去）， ∴抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标． ②与y轴交于点， 则点D关于直线的对称点为， 抛物线L的开口向上， ∴当时，抛物线L上的最高点的纵坐标总是，最低点总是， 此时两个点的竖直距离总为：， 当时，函数的最大值与最小值的差总为． 22．【答案】（1）①， ②如图所示 （2）， 当时，， 此时， 不论为何值，二次函数图象经过点． （3）①当时，；当时，； 即， 解得：； ②当时，；当时，； 即， 解得：； ③由得， 则， ， 当，解得：； 当时，方程的解，即交点的横坐标不在范围内，即舍去． 综上，或或． 23．【答案】（1）解：把代入中， 得， 解得． 抛物线的函数解析式为． 把代入中，得， 解得． 直线的函数解析式为． （2）证明：对于直线，令，得，． 过作轴于，过作轴于， ∴， ∴， ∵， ∴，而， ∴，， ∴， 设直线的解析式为． 代入，，得， 解得， 直线的解析式为． 当时，， 点在直线上． ，，三点在同一直线上． （3）解：①联立，解得或， 直线和抛物线的交点为，． （ⅰ）当点在直线上时， 当时，，此时，都在直线上，舍去， 如图，当时， 同理可得：， ∴，， ∴， 此时， （ⅱ）如图，当点在直线上时，设，同理可得：． 由题意，得， 解得：或（舍去） ，， ∴， 综上所述，的长为或． ②当点在第四象限时，如图，，，，． 由题意，得，，． 在外部，作，且， 连接， 得， ∵， ， ， ， 当满足条件的点落在线段上时，取得最小值， 此时． 的最小值为． 24．【答案】（1）解：将（2，﹣1）代入y＝x2+bx﹣得，﹣1＝4+2b﹣1， 解得b＝﹣2， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣1； （2）解：如图所示，面积比保持不变为，理由如下： 根据题意可得，∠M＝∠ODQ＝90°，∠Q＝∠Q， ∴△QOD∽△QPM， ∴， ∴， 则； （3）解：如图所示，QM经过最低点，即经过顶点， 该抛物线的顶点横坐标为， 纵坐标为， 该抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）， ∵∠PNO＝∠ODQ＝90°，∠NPO＝∠DOQ， ∴△PON∽△OQD，且相似比为， 根据顶点纵坐标可得，OD＝2， 则，即， 解得， ①当时， 即为如图所示， 此时， 点Q在第四象限， 故； ②如图所示， 当时，此时点P在第一象限，点Q在第三象限，此时， 故； 综上，或； （4）解：①当PQ经过顶点T时，过点T作TE⊥x轴，交x轴于点E， 由∠PNO＝∠TEO＝90°，∠PON＝∠TOE得，△PON∽△TOE， ∴，即，解得m＝1（舍去），或m＝﹣1， ∴当点P向左运动时，满足题意， ∴m≤﹣1； ②如图所示，当点Q在抛物线上时，过点Q作QE⊥x，交x轴于点E， 同理，△PON∽△QOE，相似比仍为 此时，Q[﹣2m，﹣2（m2﹣2m﹣1）]，代入抛物线解析式得，﹣2（m2﹣2m﹣1）＝（﹣2m）2+4m﹣1， 解得（舍去），或， 此时，当P点向下一直移动，直至到x轴时，都符合题意，当x2﹣2x﹣1＝0时， 解得，x2＝1+， ∴当x 1﹣时，符合题意； ③如图所示，当点Q在抛物线上时，点Q在第二象限，点P在第四象限， 思路同②，此时Q[﹣2m，﹣2（m2﹣2m﹣1）]，代入抛物线解析式得，﹣2（m2﹣2m﹣1）＝（﹣2m）2+4m﹣1， 解得m＝﹣m＝， 此时，当P点向右一直移动，直至到x轴时，都符合题意， ∴当≤m≤1+时，符合题意； 综上所述，当m≤﹣1或﹣≤m≤1﹣或≤m≤1+时，符合题意． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$