2.4 圆周角 同步练习 2025-2026学年苏科版九年级数学上册

2.4 圆周角 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.如图，四边形内接于，为的直径，连接若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 2.如图，在中，是的直径，是上的一点，连接，，过点作交于点，连接，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 3.如图，内接于，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 4.如图，等腰内接于，顶角，是的直径，则的度数(    ) A. B. C. D. 5.如图，四边形内接于，点在的延长线上若，则(    ) A. B. C. D. 6.如图，在的内接四边形中，，，点在上，连接、，则的度数为(    ) A. B. C. D. 7.如图，四边形内接于，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在中，直径与弦相交于点，连接，，，若，则(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.如图，是的直径，是的弦若，，则 ______． 10.如图，已知是的圆周角，，则           11.如图，、是以线段为直径的上两点位于两侧，，且，则的度数是______． 12.如图，内接于，，点在上，平分若，则           13.如图，四边形内接于半径为的，，则______． 14.如图，是的直径，内接于，，平分，则的度数为______． 15.以菱形对角线上的点为圆心，为半径作圆，与相交于点，点，恰好都在圆上，若：：，圆的半径，则菱形的边长为______． 16.如图，点，，在上，，则           三、解答题：本题共6小题，共52分。 学校耕读园里有一块空地，空地上有三棵树，，，学校想修建一个圆形苗圃，使三棵树都在苗圃的边上． 请你把苗圃的位置画出来尺规作图，不写作法，保留作图痕迹 若中，米，米，，试求圆形苗圃的面积． 18.本小题分 如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接． 若，，求的直径； 若，求的度数． 19.本小题分 如图，内接于，于点，于点，交于点，连接． 求证：； 若，，，求的长． 20.本小题分 如图，，，，是半径为的上的四点，且满足． 求证：是等边三角形； 求圆心到的距离． 21.本小题分 如图，是的直径，是的弦，如果． 求的度数； 若，求的长． 22.本小题分 如图，四边形内接于，平分，交于点． 如图，求证：． 如图，若经过圆心，且，，求的长． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：四边形内接于， ， ， ， 为的直径， ， ， 故选：． 根据圆内接四边形对角互补，直径对直角求解即可． 本题考查了圆内接四边形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 根据直径所对的圆周角是直角可得：，从而可得，然后利用平行线的性质可得，再利用平角定义可得，最后利用圆周角定理进行计算，即可解答． 本题考查了圆周角定理，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：连结，则， ， ， ， 故选：． 连结，则，所以，根据三角形内角和定理求得，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、圆周角定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：如图，连接， ，， ， 是的直径， ， ， 由圆周角定理得：， 故选：． 连接，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，进而求出，根据圆周角定理解答即可． 本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、等腰三角形的性质是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：， ， ． 故选：． 根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求得，再根据圆内接四边形的外角等于它的内对角求解． 此题综合考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键． 6.【答案】  【解析】解：四边形是圆内接四边形，， ． ， ． 四边形是圆内接四边形， ． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，求得的度数是解题的关键． 先依据圆内接四边形的性质求得的度数，然后再依据圆周角定理求得的度数即可． 【解答】 解：四边形为的内接四边形， ， ， ． 8.【答案】  【解析】解：是的直径， ， ， ， ， 故选：． 根据直径所对的圆周角是直角可得：，再根据同弧所对的圆周角相等可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得：，即可解答． 本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：是的直径， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 根据直径所对的圆周角为，可知，求出，得到，利用勾股定理求解即可． 本题主要考查了直径所对的圆周角为，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，等角对等边等性质，掌握圆周角定理的推论是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：是的圆周角，， ， ， ， 故答案为：． 先由圆周角定理求出，再由等边对等角以及三角形内角和定理即可求解． 本题考查了圆周角定理，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：是 直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 根据，只要求出，即可． 本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 12.【答案】  【解析】解：如图，连接， ，， ， 由圆周角定理得：， 平分， ， ， ， ， 故答案为：． 连接，根据等腰三角形的性质求出，根据圆周角定理求出，根据垂径定理、圆周角定理求出，再根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：如图，连接，， ， ， 半径， ， 故答案为：． 连接、，构造等腰直角三角形求得的长即可． 本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知同弧所对的圆心角是圆周角的倍是解答此题的关键． 14.【答案】  【解析】解：连接， ，， ， ， 故答案为：． 根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角进行求解即可． 本题考查圆周角定理． 15.【答案】  【解析】解：连接交于点，连接，如图， ：：，圆的半径， ，， ， 四边形为菱形， ，， ， 在中，， 在中，， 即菱形的边长为． 故答案为：． 连接交于点，连接，如图，利用：：计算出，则，再根据菱形的性质得到，，所以，然后利用勾股定理定理，在中计算出，接着在中计算出即可． 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了菱形的性质和勾股定理． 16.【答案】  【解析】解：， ， ， ， 故答案为：． 根据圆周角定理可得，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算，即可解答． 本题考查了圆周角定理，准确熟练地进行计算是解题的关键． 17.【答案】解：如图所示，即为所求； 米，米，， ， 外接圆的半径为米． 圆形苗圃的面积为平方米．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.【答案】；   ．  【解析】设的半径是，则， ， 直径， ， ， ， ， 的直径为； ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ． 设的半径是，由垂径定理得到，由勾股定理得到，求出，即可得到的直径长； 由圆周角定理得到，因此，判定是等腰直角三角形，得到． 本题考查垂径定理，勾股定理，圆周角定理，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于的方程，由圆周角定理推出． 19.【答案】证明见解析；  ．  【解析】证明：如图，延长交于，连接， ， ， 是的直径， ， ， 由圆周角定理得：， ； 解：，， ∽， ，即， 解得：， ． 延长交于，连接，根据圆周角定理得到，，再根据等角的余角相等证明； 证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案． 本题考查的是三角形的外接圆与外心、圆周角定理，掌握圆周角定理、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 20.【答案】【小题】 解：证明：，，是等边三角形． 【小题】 连接，可得，，．   【解析】 略  略 21.【答案】【小题】 解：是的直径，，． 【小题】 在中，，，．   【解析】 略  略 22.【答案】证明：平分， ， ， ， ， ∽， ， ； 解：为直径， ， 平分， ， ， ， 在中，，， ， 在中，，， ， 作于， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ．  【解析】由角平分线的定义可得，即可得出，结合圆周角定理推出∽，由相似三角形的性质可得，即可得证； 由圆周角定理结合角平分线的定义得出，从而得出，推出，由勾股定理得出，结合等腰直角三角形的性质得出，作于，求出、的长，即可得解． 本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 第6页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $$