第一章 勾股定理 单元练习 2025—2026学年北师大版数学八年级上册

第一章 勾股定理 一、单选题 1．三角形的三边长a，b，c，满足，则此三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上均有可能 2．小明画了一个如图所示的四边形，若，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，中，，，，点是线段上的动点，则长不可能是（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 4．如图，在中，是边上的高，已知，，，则的长为（   ） A．6 B．12 C．15 D．17 5．下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（    ） A．1，2，2 B． C．4，5，6 D． 6．如图，在直角中，，，，按图中所示方法，将沿折叠，使点C落在边上的点处，则的面积为（ ） A．6 B．9 C．10 D．12 7．如图，在中，为边上的中线，，，记，，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 8．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长度分别为，．若小正方形的面积为，，则大正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米． 10．如图，在中，，，，在上取一点E，连接，将沿翻折得到，使得点落在直线上，则的长度为 ． 11．如图，在棱长为3的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是 ． 12．在中，于点，，，，，点是线段上一动点，分别过点，作直线的垂线，垂足为，，则的最大值为 ． 13．如图，已知正方形网格中的，若小方格边长为1，则 ， ， ，判断的形状为 三角形． 三、解答题 14．如图，在四边形中，，，，，．求长和四边形的面积． 15．如图，等腰的底边，面积为，点在边上，且，是腰的垂直平分线，若点在上运动，求周长的最小值． 16．如图，在中，， ，，动点P从点B出发沿射线方向以的速度运动．设运动时间为 ts． (1)求的长度； (2)当 为直角三角形时，求t的值； (3)是否存在这样的t，使 为等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由 17．如图，在中，，平分交于点，过点作于点． (1)求证：； (2)当，，求的长． 18．如图，有一块三角形硬纸板，其中，现要从中剪下一个以为底边的等腰． (1)在图中用直尺和圆规作出符合要求的等腰（不写作法，保留作图痕迹）． (2)求等腰的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键． 根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：， ∴ 即， 所以此三角形是直角三角形， 故选：B． 2．B 【分析】本题主要考查了勾股定理，在，中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：， 故选：B． 3．D 【分析】本题考查了勾股定理和垂线段最短，根据垂线段最短分析得到长度在和之间，即可得出答案． 【详解】解：中，，，， ， 点是线段上的动点， ， 即， 故选：D． 4．D 【分析】本题主要考查了勾股定理，掌握勾股定理：“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．”是解题关键．利用勾股定理求出，根据，求出，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：是边上的高 在中，，， ， ， ， 在中，，， 故答案选：D． 5．B 【分析】本题考查判断三边能否组成直角三角形，利用勾股定理逆定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，不能作为直角三角形的三边长，不符合题意； B、，能作为直角三角形的三边长，符合题意； C、，不能作为直角三角形的三边长，不符合题意； D、，不能作为直角三角形的三边长，不符合题意； 故选：B． 6．A 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理，掌握翻折的性质是解题的关键，首先根据勾股定理求出的长，然后利用折叠的性质求出的长，在中，设，则，根据勾股定理求出x的值即可，即可求解． 【详解】解：，，， ， 根据折叠的性质，，， 在中，设，则，根据勾股定理得 解得 ， 的面积， 故选：． 7．D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，运用完全平方公式进行运算，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 先证明和全等，可得,再由勾股定理得，，，进而得，据此即可得出答案． 【详解】解：延长到，使，连接，过点C作于点F，如图所示： ∵为边上的中线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴代数式的值不变，始终等于． 故选：D． 8．D 【分析】本题考查了勾股弦图、完全平方公式等知识点，熟练掌握公式变形以及弦图的几何意义是解题的关键． 根据题意，得是大正方形的面积，小正方形的面积为，结合公式，计算即可． 【详解】解：根据题意，得，， ∴， ∴． ∴大正方形的边长为． 故选D． 9．15 【分析】设米，则米，根据勾股定理，结合题意，得，解方程即可． 本题考查了勾股定理，解方程，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设米，则米， 根据勾股定理，得（米）， 由两只猴子所经过的距离相等，得， ∴米 故， 解得， 故树高为：米， 故答案为：15． 10． 【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握轴对称的性质及用勾股定理列方程是解题的关键．设，根据轴对称的性质可得，，进一步求得，根据勾股定理可求得，最后在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设， 沿翻折得到， ，， ， ， ， ， 在中， ， ， 解得， ． 故答案为：． 11． 【分析】根据立方体的展开图，两点间线段最短，勾股定理解答即可． 本题考查了立方体的展开图，两点间线段最短，勾股定理，熟练掌握勾股定理，展开图是解题的关键． 【详解】解：根据立方体的展开图，两点间线段最短， 得, 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了三角形的面积，垂线段最短，勾股定理的应用，依据，可知，然后设，，代入整理即可求解，依据得到的关系式是解题的关键． 【详解】解： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵与成反比， ∴当时，有最大值， ∴， ∴， ∴的最大值为， 即的最大值为， 故答案为：． 13． 8 32 40 直角 【分析】本题考查勾股定理及逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 根据勾股定理可以计算出的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断的形状． 【详解】解：由图可得，，，， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：8，32，40，直角． 14．12，150 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理求解即可； （2）先根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再根据四边形的面积等于 的面积与的面积之和求解即可． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， ∵，， ∴． ∴， ∵，， ∴ ∴是直角三角形， ∴四边形的面积为． ∴四边形的面积为150． 15． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，连接，由线段垂直平分线的性质可得，即得，可知当共线时最小，最小值为线段的长，此时的周长取最小值，利用等腰三角形的性质和勾股定理求出的长即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是线段的垂直平分线段， ∴， ∴， ∴当共线时最小，最小值为线段的长， ∵的周长，为定值， ∴取最小值时，的周长取最小值， 如图，过点作于， ∵是等腰三角形，底边， ∴， ∵的面积为， ∴， 即， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴周长的最小值为． 16．(1) (2)或 (3)存在，或或 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）分为两种情况：当为直角时；当为直角时，分别求解即可； （3）当为等腰三角形时，分三种情况：①当时；②当时；③当时，求解可求得t值． 【详解】（1）解：∵， ，， ； （2）①当为直角时，点P与点C重合， 此时， ∴． ②当为直角时， ， ， ， 在中， 在中， ， 解得 ， 综上， 当或 时，为直角三角形． （3）如图∶ ①当时， ； ②当时， ， ； ③当时， ， ，， 在中， 所以 解得：， 综上所述：当为等腰三角形 时，或或 17．(1)见详解 (2)6 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，勾股定理． （1）利用角平分线的性质得出，然后利用证明三角形全等即可． （2）设，则，，，利用勾股定理先求出的长，进而求出的长，然后再利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵平分交于点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）设， 由（1）可知 ， ∴，，， ∵在中，， ∴， 即或（舍）， ∴， ∵在中，， 根据勾股定理，， 即， 解得， 即． 18．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图复杂作图，三角形的面积，勾股定理的逆定理，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）作线段的垂直平分线交于点，连接，即为所求； （2）证明，设，利用勾股定理求出，再利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：，，， ， ， 设，则有， ， ， 的面积． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$