22.3实际问题与二次函数（图形问题）跟踪练习2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.3实际问题与二次函数（图形问题） 一、单选题 1．如图是一个长、宽的矩形花园，现要将它的长缩短，宽增加，则修改后花园的最大面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图①所示的矩形窗框ABCD的周长及其两条隔断EF，GH的总长为，且隔断EF，GH分别与矩形的两条邻边平行．设BC的长为，矩形ABCD的面积为，y关于x的函数图象如图②，则下列说法正确的是（   ） A．矩形ABCD的最大面积为 B．当时，矩形ABCD的面积最大 C．a的值为12 D．以上说法均错误 3．利用长为的墙和长的篱笆来围成一个矩形苗圃园，若平行于墙的一边长不小于，有下列结论： （1）垂直于墙的一边长可以为15； （2）矩形苗圃园的最小面积是，最大面积是； （3）垂直于墙的一边长有两个不同的值满足矩形苗圃园面积为． 其中正确的个数有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 4．如图，用长的铝合金条制成下部为矩形、上部为半圆的窗框（包括窗棱），若使此窗户的透光面积最大，则最大透光面积为（  ） A． B． C． D． 5．在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地．如图，自建房占地是边长为的正方形，改建的绿地的是矩形，其中点E在上，点G在的延长线上，且．那么当为多少时，绿地的面积最大？（　　） A． B． C． D． 6．如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则x应为（    ）    A．1 B． C．2 D．4 7．如图，四边形中，，若，则四边形的面积最大值是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 8．如图，在长为30米、宽为20米的矩形花坛中横向修建1条、纵向修建2条宽都为x米的小路(阴影部分)，空白处为绿地，面积为y平方米，则绿地面积y与x之间的函数表达式为（      ）    A． B． C． D． 二、填空题 9．某公司准备修建两间矩形办公室，一面靠墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留一扇1m宽的门．已知现有材料可修建成27m长的墙（不包括门），则建成的办公室面积最大为 （不考虑墙的厚度）． 10．如图所示的是一个用长的铝合金条制成的矩形窗框．若要使窗户的透光面积最大，则AD的长为 m． 11．如图，某农场拟建造由甲．乙两个矩形组成的羊圈，饲养室的一面靠长的墙AB，其余的部分用栅栏围成甲、乙两部分．已知提前准备的建筑材料可以建造长的栅栏，则该羊圈最大面积可以建造 12．某农场拟建一个矩形养殖场，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为，不超出墙），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形．已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为，则矩形养殖场总面积的最大值为 ． 13．如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米．    三、解答题 14．用长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，长表示窗框的宽，（铝合金条的宽度忽略不计）． (1)求窗框的透光面积与窗框的宽之间的函数关系式． (2)如何设计才能使窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？ (3)当窗框的透光面积不小于时，直接写出x的取值范围． 15．甲同学家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，甲打算利用围墙和木栏围一块长方形养鸡场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设长为x米． (1)如图1，当时， ①________米（用含x的代数式表示）． ②若围成的养鸡场面积为平方米，求的长． (2)如图2，当时，求养鸡场可达到的最大面积． 16．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为． (1)求出关于的函数解析式，并写出的取值范围； (2)当该矩形菜园的面积为，求边的长； (3)当边的长为多少时，该矩形菜园的面积最大？ 17．用总长的木板制作矩形置物架（图中外框和内部三条分割线的长度和为）．已知四边形是正方形，四边形、、是矩形，．为了便于放置物品，的长不小于，设的长为． (1)若矩形的面积为，求x的值． (2)若矩形的面积为，求S最大时，x的值． 18．用12米长的铝合金型材制成如图1所示的矩形窗框（铝合金型材宽度不计）． (1)窗框的宽为多少米时，窗户的透光面积最大？最大透光面积是多少？ (2)若制成如图2所示的窗框（上部分为半圆，下部分为矩形），求该窗户的最大透光面积（π取3）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出修改后的花园面积与x之间的关系式． 先根据长方形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】解：由题意得修改后的花园面积 ， ∵， ∴当时，修改后的花园面积达到最大，为． 故选：D． 2．C 【分析】本题考查二次函数图象和性质，解题的关键是识别函数图象，确定自变量的取值为何值时函数取得最大值． 观察图2，得出当时，函数值最大，可判断A、B错误；根据题意确定，即判断C正确，进而可判断D． 【详解】解：由题图②可知，矩形ABCD的最大面积为，此时，故A，B选项错误； 当时，矩形ABCD的面积取最大值4， ， ， 故C选项正确，D选项错误． 故选：C． 3．B 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，建立二次函数模型，并熟练掌握二次函数的性质． 设垂直于墙一边的长度为，则平行于墙的一边长度为，根据平行于墙的一边长不小于，得出x的取值范围为，从而判断（1）正确；令苗圃的面积为y，根据矩形的面积长乘以宽列出函数解析式，由函数的性质求出最值可以判断（2）；令，解方程求出x，再根据x的取值范围可以判断（3）． 【详解】解：设垂直于墙一边的长度为，则平行于墙的一边长度为， 由题意知， 解得， ∴垂直于墙的一边长可以为15，故（1）正确，符合题意； 令苗圃的面积为y， 则， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， 当时，y取得最大值，最大值为， 当时，y取得最小值，最小值为，故（2）错误，不符合题意； 当苗圃的面积为128时，， 解得， ∵， ∴， ∴垂直于墙的一边长为时，满足矩形苗圃园面积为，故（3）错误，不符合题意； 故选：B． 4．C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．解决问题的关键是熟练掌握矩形和圆的周长公式和面积公式，求二次函数的最大值．窗户由半圆和矩形两部分组成，分别求出它们的面积，相加即可得到窗户的面积S与圆的直径x的函数关系；根据二次函数的性质可求出面积的最大值． 【详解】解：设半圆的直径为x，矩形的高度为y，窗户透光面积为S， 则窗框总长， ∴， ∴， ∵， ∴S有最大值，为． 故选：C． 5．B 【分析】此题考查二次函数的应用，关键是根据图形得出函数解析式． 设的长为，绿地的面积为，根据题意得出函数解析式进行解答即可． 【详解】解：设，则，绿地的面积为， 根据题意得： ， ∵二次项系数为， ∴当时，y有最大值72． 即当时，绿地面积最大． 故选：B． 6．C 【分析】先根据长方形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】解：由题意得修改后的花园面积 ， ∵， ∴当时，修改后的花园面积达到最大， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出修改后的花园面积与x之间的关系式． 7．C 【分析】设，则，根据题意表示出四边形的面积，根据二次函数的性质解答，即可获得答案． 【详解】解：设，则， 则四边形的面积， ∴当时，四边形ABCD的面积最大，最大值为8． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，掌握二次函数的性质、四边形的面积公式是解题的关键． 8．A 【分析】将图中阴影部分进行移动，可得绿地的面积是长为米，宽为米的矩形的面积，以此即可求解． 【详解】解：将图中的阴影部分按如图所示进行移动，    则空白部分为矩形，长为米，宽为米， 绿地面积与之间的函数表达式为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查根据实际问题列二次函数，将图形进行适当的处理是解题关键． 9． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用、性质，将二次函数一般式化为顶点式是解题的关键． 设垂直于墙的边长为m，则平行于墙的边长为m．根据矩形面积公式可得，将其化为顶点式利用函数性质求最大值即可． 【详解】解：设垂直于墙的边长为m，则平行于墙的边长为m． 根据题意得， ， 二次函数图象开口向下，当时，函数有最大值，最大值为 故答案为： 10． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，设，则，则根据矩形面积公式列出二次函数求函数值的最大值即可． 【详解】解：设透光面积为，，则， 窗户的透光面积． ， 当时，y取得最大值， 当的长为时，窗户的透光面积最大． 故答案为：． 11．48 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． 设宽为x米，则长为米，先求出的取值范围，再根据面积公式建立函数关系式，即可求解最值． 【详解】解：设宽为x米，则长为米， 则， 解得： 由题意得：， ∵， ∴当时，取得最大值， 即该羊圈最大面积可以建造， 故答案为：48． 12．/ 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．设，则，，设矩形养殖场的总面积是，根据题意得：，由二次函数性质求最值即可． 【详解】如图， 设， ∵分成两个面积为的矩形， ∴，， 设矩形养殖场的总面积是， 墙的长度为， ， 根据题意得：， ， 当时，取最大值，最大值为． 故答案为：． 13．450 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，又墙长为40米，从而可得，故，又菜园的面积，进而结合二次函数的性质即可解答． 【详解】解：由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 又墙长为40米， ∴． ∴． 菜园的面积， ∴当时，可围成的菜园的最大面积是450，即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米． 故答案为：450． 14．(1) (2)当时，窗框的透光面积最大，最大透光面积是 (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质及应用，准确表示窗框的长和宽，进而得到面积函数，再结合二次函数的图像与性质分析是解题的关键． （1）首先根据铝合金条长度与窗框各边的关系求出，建立透光面积与宽的函数关系即可． （２）根据二次函数的图像和性质回答即可； （3）由于，根据二次函数图像与一元二次函数的关系列方程求方程的根，再结合图像即可求解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意可知， ，， ∴． ∴， 即． （2）∵， ∴当时，． 即当时，窗框的透光面积最大，最大透光面积是． （3）当时，即，即， 解方程得， 二次函数开口向上， 所以不等式的解集为． ． 15．(1)①②米 (2)平方米 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．理解题意列出二次函数并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． ①根据图形和条件确定边长表达式；②根据面积公式列出方程求解并关联题意即可解答； 根据面积公式列出方程求解以及利用二次函数性质求最值． 【详解】（1）解：① ②， 解得，． ， 的长为23米． （2）解：， 养鸡场的面积． ， ． 当时，养鸡场面积可以达到最大值平方米． 16．(1) (2) (3) 【分析】（）根据题意可得，进而根据矩形的面积公式可列出函数解析式，在根据和可求出的取值范围； （）把代入（）所得函数解析式计算即可求解； （）根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了二次函数的应用，根据题意列出二次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵矩形菜园的边的长为， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 又∵， ∴， ∴的取值范围为， ∴； （2）解：当时，， 解得（不合，舍去），， ∴的长为； （3）解：∵， ∴当时，该矩形菜园的面积最大， 即的长为时，该矩形菜园的面积最大． 17．(1)x的值为70 (2)x的值为80 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用， （1）根据题意表示出，，然后列方程求出，，然后分别代入求解判断即可； （2）表示出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， ∴，， 由题意，得， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不合题意， ∴x的值为70． （2）解：由（1）知， 由题意，得， ∵的高度不小于， ∴，解得， ∴当时，S最大， ∴x的值为80． 18．(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，利用配方法求出顶点坐标是解题关键． （1）设窗框的宽为，则长为（米），表示出面积利用二次函数最值求法得出即可； （2）设半圆半径为r米，透光面积为平方米，列出函数解析式，根据函数的性质求最值． 【详解】（1）解：设窗框的宽为 米，则长为 米，设面积为 平方米，根据题意可得： 当 时, ， 答: 当宽是2米时,窗户的透光面积最大， 最大透光面积是6 平方米； （2）解：设半圆半径为 米，透光面积为平方米，则 ， 当 时, ， 答: 该窗户的最大透光面积是 平方米. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$