精品解析：吉林省长春市吉大尚德学校2024-2025学年九年级下学期6月份考前模拟数学试题

2024-2025学年度下学期模拟测试九年级数学试卷 总分：120分时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 如图，数轴上的点A表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，用一个钉子把一根木条钉在墙上，发现木条可以转动，若用2个钉子钉木条，则木条被固定在墙上，其运用到的数学原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 过一点有且只有一条直线和已知直线平行 3. 下列图形是棱锥侧面展开图的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 农安是祖国东北历史上的重镇，南宋名将岳飞曾对部下说：“直捣黄龙府，与诸君共饮耳．”即指此地．2013年5月，农安辽塔被中华人民共和国国务院公布为第七批全国重点文物保护单位．其造型优美端庄，八角十三层，塔高约44米，为密檐实心塔，如图①．如图②所示的正八边形是辽塔其中一层的平面示意图，其每个内角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知，房顶A离地面的高度为，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 7. 已知下列尺规作图：作一条线段的垂直平分线；作一个角的平分线：作一个角等于已知角．其中作法正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞减压，减压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比，关于的函数图象如图所示．若压强由减压至，则气体体积的变化情况是（　　） A. 增大，增大了 B. 减小，减小了 C. 增大，增大了25mL D. 减小，减小了25mL 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. _______． 10. 抛物线与轴只有一个交点，则_____． 11. 如图是甲、乙两位选手次投篮测试（每次投篮个）成绩的统计图，我们可以判断______ 选手的成绩更稳定．（填甲或乙） 12. 如图，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成一个大五边形，则图中______． 13. 《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住，设店中共有x间房，可求得x的值为________． 14. 如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE＝EF；④．其中正确结论的个数是（填写序号）________． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字1，2，5．这些卡片除数字不同外其余均相同，现从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为奇数的概率． 17. 某数学竞赛中出了10道题，每答对1题得5分，每答错1题或不答题扣3分．问至少要答对几道题，得分才不低于10分？ 18. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，垂直平分，点是上一点，且．求证：四边形是菱形． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，点、、均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图①中画出中边上的中线； （2）在图②中的边上找到一点，使； （3）在图③中的边上找到一点，连接，使． 20. 2022年北京冬奥会的举办促进了冰雪旅游，小明为了解寒假期间冰雪旅游的消费情况，从甲、乙两个滑雪场的游客中各随机抽取了50人，获得了这些游客当天消费额（单位：元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出部分信息：a．甲滑雪场游客消费额的数据的频数分布直方图如下（数据分成6组：，，，，，）： b．甲滑雪场游客消费额的数据在这一组的是： 410 430 430 440 440 440 450 450 520 540 c．甲、乙两个滑雪场游客消费额的数据的平均数、中位数如下： 平均数 中位数 甲滑雪场 420 m 乙滑雪场 390 n 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m的值； （2）一名被调查的游客当天的消费额为380元，在他所在的滑雪场，他的消费额超过了一半以上的被调查的游客，那么他是哪个滑雪场的游客？请说明理由； （3）若乙滑雪场当天的游客人数为500人，估计乙滑雪场这个月（按30天计算）的游客消费总额． 21. 如图是4个规格相同的小圆凳叠放在一起的示意图．小明尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的小圆凳的总高度（单位：）随着小圆凳的数量（单位：个）的变化规律．下表是小明经过测量得到的与之间的对应数据： /个 1 2 3 4 46 54 62 70 （1）依据小明测量的数据，写出与之间的函数解析式，并说明理由； （2）若整齐叠放成一摞的这种规格的小圆凳的总高度不超过，求此时小圆凳的数量最多为多少个． 22. [问题再现]如图①，是的半径，，点在上，将点沿的方向平移到点，使．当点在上运动一周时，可在线段上截取，连结、，由平行四边形的性质即可推出点的运动路径是以点为圆心、5为半径的圆．(不用证明) [变式探究]如图②，是的半径，，点在上，过点作，且点在点的上方，．当点在上运动一周时，判断点的运动路径并证明． [结论应用]如图③，在上述问题的条件下，点在线段上，且，当点在上运动一周时，点的运动路径长为___________ [拓展应用]如图④，在矩形中，，点是平面内一点，，点在点的上方．点是线段上的任意一点，连结．设线长度的最大值为，最小值为，则___________，___________． 23. 如图，在边长为的等边中，点从点开始以每秒的速度沿射线方向运动，连结，点在线段上（不与端点重合），将射线绕点逆时针旋转得到的射线与射线交于点．设点的运动时间为秒． （1）如图①，当点在边上时，若平分，则____． （2）如图②，当点在边延长线上时，过点作交于点，若点为中点． ①求证：； ②当时，求的值． （3）若点是的三等分点，当的面积等于时，直接写出的值． 24. 在平面直角坐标系中，点和点都在抛物线上，点在轴的右侧，且点关于点的对称点恰好落在轴上，设点的横坐标为． （1）当时，点的坐标为___________； （2）若点的纵坐标为，求点的坐标； （3）过点作轴于点． ①当抛物线在内部(包括边界)的最高点和最低点的纵坐标之差为，求点的坐标． ②当时，将绕着平面直角坐标系中某点逆时针旋转后得到，点的对应点分别为点．当点中恰有两个点同时落在抛物线上时，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期模拟测试九年级数学试卷 总分：120分时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 如图，数轴上的点A表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设数轴上的点表示的数为，根据数轴的性质可得，由此即可得． 【详解】解：设数轴上的点表示的数为， 由数轴可知，， 观察四个选项可知，只有选项C符合， 故选：C． 【点睛】本题考查了利用数轴上的点表示有理数，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 2. 如图，用一个钉子把一根木条钉在墙上，发现木条可以转动，若用2个钉子钉木条，则木条被固定在墙上，其运用到的数学原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 过一点有且只有一条直线和已知直线平行 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直线的性质，熟练掌握直线的性质是解题的． 根据直线的性质，两点确定一条直线，即可得到答案． 【详解】解：用2个钉子钉木条，则木条被固定在墙上，其运用到的数学原理是两点确定一条直线， 故选C． 3. 下列图形是棱锥侧面展开图的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的侧面展开图和侧面的特征是解决此类问题的关键． 由棱锥的侧面展开图的特征可知答案． 【详解】解：棱锥的侧面展开图是三角形． 故选：D． 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂相乘和同底数幂相除的运算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确的计算．根据合并同类项、同底数幂相乘和同底数幂相除的运算法则逐一计算即可得答案． 【详解】解：A．，故该选项计算错误，不符合题意， B．，故该选项计算错误，不符合题意， C．，故该选项计算错误，不符合题意， D．，故该选项计算正确，符合题意， 故选：D． 5. 农安是祖国东北历史上的重镇，南宋名将岳飞曾对部下说：“直捣黄龙府，与诸君共饮耳．”即指此地．2013年5月，农安辽塔被中华人民共和国国务院公布为第七批全国重点文物保护单位．其造型优美端庄，八角十三层，塔高约44米，为密檐实心塔，如图①．如图②所示的正八边形是辽塔其中一层的平面示意图，其每个内角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据任意多边形的外角和是以及平角定义进行计算，即可解答．本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握任意多边形的外角和是是解题的关键． 【详解】解：由题意得：正八边形的每一个外角， 每个内角的度数， 故选：D． 6. 一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知，房顶A离地面的高度为，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】过点A作于点D，利用直角三角形的边角关系定理求得，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：过点A作于点D，如图， ∵它是一个轴对称图形， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，轴对称的性质，等腰三角形的三线合一，利用直角三角形的边角关系定理求得的长是解题的关键． 7. 已知下列尺规作图：作一条线段的垂直平分线；作一个角的平分线：作一个角等于已知角．其中作法正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图，解题的关键是熟练掌握基本作图原理． 根据作一个角的平分线，作一个角等于已知角，作线段的垂直平分线的方法一一判断即可． 【详解】解：由作图可知，作图正确的有， 故选：． 8. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞减压，减压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比，关于的函数图象如图所示．若压强由减压至，则气体体积的变化情况是（　　） A. 增大，增大了 B. 减小，减小了 C. 增大，增大了25mL D. 减小，减小了25mL 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式是关键． 先求出反比例函数解析式，分别计算当时，当时，的值即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为：， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， 随的增大而减小， 当时，；当时，， 若压强由减压至，则气体体积的变化情况是增大了， 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. _______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 10. 抛物线与轴只有一个交点，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式得出该抛物线的顶点坐标为，根据题意可得顶点在轴上，即可求解． 【详解】解：抛物线与轴只有一个交点，且该抛物线的顶点坐标为， 顶点位于轴上． ． 解得． 故答案为：． 11. 如图是甲、乙两位选手次投篮测试（每次投篮个）成绩的统计图，我们可以判断______ 选手的成绩更稳定．（填甲或乙） 【答案】甲 【解析】 【分析】根据数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定，方差越大；数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，方差越小进行判断． 【详解】解：由图象可知： 甲选手次投篮次数为：6，5，6，4，7，6； ， ， 乙选手次投篮次数为：5，2，5，7，3，5， ， ， ， 故乙波动大，成绩不稳定，甲波动小，成绩更稳定． 故答案为：甲． 【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 12. 如图，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成一个大五边形，则图中______． 【答案】##36度 【解析】 【分析】根据五边形的外角可得，根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：∵由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成一个大五边形， ∴， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的外角，三角形内角和定理，掌握正多边形的外角和为360°且每一个外角都相等是解题的关键． 13. 《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住，设店中共有x间房，可求得x的值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】设店中共有x间房，根据“今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住”可列一元一次方程，求解即可． 【详解】设店中共有x间房， 由题意得，， 解得， 所以，店中共有8间房， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，准确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 14. 如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE＝EF；④．其中正确结论的个数是（填写序号）________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论；②过O作OH⊥BE于H，证明△OHB≌△CMB，根据△OEB包含了△OHB，可得△EOB≌△CMB是不成立的；③先证△BEF是等边三角形得出BF=EF，再证▱DEBF得出DE=BF，推出DE=EF；④△AOE和△BEO属于等高的两个三角形，其面积比就等于两底的比，即S△AOE：S△BOE=AE：BE，再由直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半，推出S△BCM = S△BCF= S△BOE即可求解． 【详解】解：①∵矩形ABCD中，O为AC中点， ∴OB=OC， ∵∠COB=60°， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB=BC， ∵FO=FC， ∴FB垂直平分OC，故①正确； ②∵FB垂直平分OC，△OBC是等边三角形， ∴∠CBM＝∠OBM＝30°，∠CMB＝90°， 又∠OBE＝90°−∠CBO＝30°， ∴∠CBM＝∠OBE， 过O作OH⊥BE于H， ∴∠OHB＝∠CMB＝90°， 在△OHB与△CMB中， ， ∴△OHB≌△CMB（AAS）， ∵△OEB包含了△OHB， ∴△EOB≌△CMB是不成立的， ∴②是错误的； ③连接DO，由O为AC的中点知D、O、B三点在同一直线上， 在△FCB和△FOB中， ， ∴△FCB≌△FOB（SSS）， ∴∠FCB=∠FOB=90°， ∴∠EOB=180°-∠FOB=90°=∠FCB， ∵∠CBF=∠OBE=30°， 在△EBO和△FBC中， ， ∴△EBO≌△FBC（ASA）， ∴EB=FB， ∴△OEB≌△OFB≌△CFB， ∴∠EBO=∠FBO =∠CBF=30°，BF=BE， ∴∠FEB=∠EFB=∠EBF=60°， ∴△BEF是等边三角形， ∴BF=EF， ∵OD=OB且OF=OE， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴DE=BF， ∴DE=EF，故③正确； ④在直角△BOE中， ∵∠EBO =30°， ∴BE=2OE， ∵OA=OB， ∴∠OAE=∠OBE=30°， ∵∠OEB=∠OAE+∠AOE=60°， ∴∠AOE=30°， ∴∠OAE=∠AOE=30°， ∴AE=OE， ∴BE=2AE， ∴S△AOE：S△BOE=1：2， 又∵， ∵DC∥AB， ∴∠FCM=∠CAE=30°， ， ∴FM∶BM=1∶3， ∴S△BCM = S△BCF= S△BOE， ∴S△AOE：S△BCM=2∶3， 故④正确； 综上，正确的结论有①③④， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，涉及内容虽多，但不复杂，解题关键是熟记并灵活运用相关的性质． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据完全平方公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字1，2，5．这些卡片除数字不同外其余均相同，现从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为奇数的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用列表法求概率，根据题意选择适合的方法求概率是解题关键．利用列表法，得到所有的情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式即可求出概率． 【详解】解：根据题意，列表如下： 1 2 5 1 2 3 6 2 3 4 7 5 6 7 10 由表可以看出，所有等可能的结果共有9种，其中两次抽取的卡片上的数字之和为奇数的有4种， 所以（两次抽取的卡片上的数字之和为奇数）． 17. 某数学竞赛中出了10道题，每答对1题得5分，每答错1题或不答题扣3分．问至少要答对几道题，得分才不低于10分？ 【答案】至少要答对道题，得分才不低于分 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设答对了道题，则答错或不答道题，根据得分答对题数答错或不答题数，结合得分不低于分，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】解：设答对了道题，则答错或不答道题， 依题意，得：， 解得：． 答：至少要答对道题，得分才不低于分． 18. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，垂直平分，点是上一点，且．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：垂直平分， ，， 在与中， ， ， ， ， ∴， 四边形是平行四边形， ， ， 是菱形． 【解析】 【分析】此题考查菱形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定．根据线段垂直平分线的性质得出，进而利用证明与全等，进而利用全等三角形的性质和菱形的判定解答即可． 【详解】略 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，点、、均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图①中画出中边上的中线； （2）在图②中的边上找到一点，使； （3）在图③中的边上找到一点，连接，使． 【答案】（1） 解：边上的中线如图所示： （2） 解：点如图所示： （3） 解：点如图所示： 【解析】 【分析】（1）结合网格特征，先找出边上的中点，再连接，即可作答． （2）结合网格特征，得，再结合，即，即可在边上找到一点，使得是等腰直角三角形，进行作答． （3）结合网格特征，证明，故，连接，得，即可作答． 本题考查了网格作图，中线，特殊角的正切值，相似三角形的判定与性质，中线与三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 2022年北京冬奥会的举办促进了冰雪旅游，小明为了解寒假期间冰雪旅游的消费情况，从甲、乙两个滑雪场的游客中各随机抽取了50人，获得了这些游客当天消费额（单位：元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出部分信息：a．甲滑雪场游客消费额的数据的频数分布直方图如下（数据分成6组：，，，，，）： b．甲滑雪场游客消费额的数据在这一组的是： 410 430 430 440 440 440 450 450 520 540 c．甲、乙两个滑雪场游客消费额的数据的平均数、中位数如下： 平均数 中位数 甲滑雪场 420 m 乙滑雪场 390 n 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m的值； （2）一名被调查的游客当天的消费额为380元，在他所在的滑雪场，他的消费额超过了一半以上的被调查的游客，那么他是哪个滑雪场的游客？请说明理由； （3）若乙滑雪场当天的游客人数为500人，估计乙滑雪场这个月（按30天计算）的游客消费总额． 【答案】（1）430 （2）乙滑雪场的游客， ∵甲滑雪场游客消费额的中位数为430，且被调查的游客当天的消费额为380元， ∴他不是甲滑雪场的游客，而是乙滑雪场的游客； （3）5850000 【解析】 【分析】（1）根据题意得到位于第25位和第26位的分别为430和430，即可求解； （2）根据甲滑雪场游客消费额的中位数为430，且被调查的游客当天的消费额为380元，可得他不是甲滑雪场的游客，即可求解； （3）用乙滑雪消费的平均数乘以每天的人数，再乘以时间，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：位于第25位和第26位的分别为430和430， ∴m=430； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据题意得：乙滑雪场这个月（按30天计算）的游客消费总额为：元． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和统计表，求中位数，中位数和平均数的应用，明确题意，准确从统计图和统计表中获取信息是解题的关键． 21. 如图是4个规格相同的小圆凳叠放在一起的示意图．小明尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的小圆凳的总高度（单位：）随着小圆凳的数量（单位：个）的变化规律．下表是小明经过测量得到的与之间的对应数据： /个 1 2 3 4 46 54 62 70 （1）依据小明测量的数据，写出与之间的函数解析式，并说明理由； （2）若整齐叠放成一摞的这种规格的小圆凳的总高度不超过，求此时小圆凳的数量最多为多少个． 【答案】（1），理由： 观察表格可知，每增加一个小圆凳，小圆凳的总高度增加， ∴ 整理得 检验：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴； （2）10个 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确得出一次函数与一元一次不等式是解此题的关键． （1）观察表格可知，每增加一个小圆凳，小圆凳的总高度增加，由此即可得出函数解析式； （2）根据题意得出一元一次不等式，解不等式即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意，得， 解得， ∵为整数 ∴小圆凳的数量最多为10个． 22. [问题再现]如图①，是的半径，，点在上，将点沿的方向平移到点，使．当点在上运动一周时，可在线段上截取，连结、，由平行四边形的性质即可推出点的运动路径是以点为圆心、5为半径的圆．(不用证明) [变式探究]如图②，是的半径，，点在上，过点作，且点在点的上方，．当点在上运动一周时，判断点的运动路径并证明． [结论应用]如图③，在上述问题的条件下，点在线段上，且，当点在上运动一周时，点的运动路径长为___________ [拓展应用]如图④，在矩形中，，点是平面内一点，，点在点的上方．点是线段上的任意一点，连结．设线长度的最大值为，最小值为，则___________，___________． 【答案】[变式探究]点的运动路径是以为圆心，为半径的圆； [结论应用]； [拓展应用], 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是应用[问题再现]的方法，作出辅助线． [变式探究]作，截取，可推出四边形是平行四边形，从而，从而得出点的运动路径是以为圆心，为半径的圆； [结论应用]在上截取，连接，可得，点运动路径是以为圆心，为半径的圆，进而得出结果； [拓展应用]作，截取，可得出点在以上的点为圆心，为半径色圆上运动，连接，并延长，交于点，连接，交于， 此时最大，最小，进一步得出结果． 【详解】解：[变式探究]如图， 作，截取， ， ， 四边形是平行四边形， ， 点的运动路径是以为圆心，为半径的圆； [结论应用]如图， 在上截取，连接， 同理可得，点运动路径是以为圆心，为半径的圆， 因为， 故答案为：； [拓展应用]如图， 作，截取， 由上可知：， 点在以上的点为圆心，为半径的圆上运动， 连接，并延长，交于点，连接，交于， 此时最大，最小， 在中，，， 在中，， ， 故答案为：， 23. 如图，在边长为的等边中，点从点开始以每秒的速度沿射线方向运动，连结，点在线段上（不与端点重合），将射线绕点逆时针旋转得到的射线与射线交于点．设点的运动时间为秒． （1）如图①，当点在边上时，若平分，则____． （2）如图②，当点在边延长线上时，过点作交于点，若点为中点． ①求证：； ②当时，求的值． （3）若点是的三等分点，当的面积等于时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）①证明：， ，， 点为中点， ， 又， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ， 射线绕点逆时针旋转得到的射线与射线交于点， ，即， 又， ， ； ② （3）或 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转变换的性质等，添加辅助线构造相似三角形是解题关键． （1）运用等边三角形性质、角平分线定义、旋转变换性质及直角三角形性质即可求得答案； （2）①利用可证得，再利用即可证得； ②根据题意建立方程求解即可得出答案； （3）分两种情况：当时，当时，分别求得的值即可． 【小问1详解】 解：是等边三角形， ， 平分， ， 射线绕点逆时针旋转得到的射线与射线交于点， ， ， ， 故答案为：． 【小问2详解】 ①略 ②由①知， ， 由题意得， ， 解得， 的值为． 【小问3详解】 点是的三等分点， 或， 当时，如图，过点作于，过点作交的延长线于， 则， 的面积等于 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得； 当，即时，如图，过点作交的延长线于， 则， 又， ， ， ， ， ， ，即， 解得：； 综上所述，的值为4或1． 24. 在平面直角坐标系中，点和点都在抛物线上，点在轴的右侧，且点关于点的对称点恰好落在轴上，设点的横坐标为． （1）当时，点的坐标为___________； （2）若点的纵坐标为，求点的坐标； （3）过点作轴于点． ①当抛物线在内部(包括边界)的最高点和最低点的纵坐标之差为，求点的坐标． ②当时，将绕着平面直角坐标系中某点逆时针旋转后得到，点的对应点分别为点．当点中恰有两个点同时落在抛物线上时，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 （3）①点的坐标为或；②或， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，点的坐标，坐标与图形变化-旋转，掌握这些知识是解题关键． （1）设、、的坐标分别为：、、．由抛物线得对称轴为，由点关于点的对称点为，得，故，故可得点的坐标． （2）由点的纵坐标为，得或．分别代入抛物线解析式，可得坐标． （3）①，，分三种情况讨论：当时，当时，当时，根据题意列出方程，解方程，即可求解； ②先证明为等腰直角三角形，当、同时落在抛物线上时，与重合，故．当、同时落在抛物线上时，设，故，代入抛物线解析式计算即可． 【小问1详解】 解：设、、的坐标分别为：、、． 抛物线对称轴为：， 在轴上， ． 点关于点的对称点为， 即， ， ， 点的坐标为， 故答案为：． 【小问2详解】 点的纵坐标为， ， 或． ①当时， 点在轴右侧， ， ， ， ， ②当时 ， ， ， ， ， 综上所述，点的坐标为或； 【小问3详解】 ① ， ， 当轴时，， 解得：或， 当时，， 解得， ， ， 当时，， ， 或， ， ， 当时，， 解得：舍去或舍去 综上所述，点的坐标为或 ②， ， ， 由（）知． 点关于点的对称点为， ． 轴， ． ， 为等腰直角三角形， 当、同时落在抛物线上时，如图： 与重合， ， ， ． 当、同时落在抛物线上时，如图： 设， ， ， ， 综上所述，或， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $