22.3实际问题与二次函数（图形问题）跟踪练习2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.3 实际问题与二次函数（图形问题）跟踪练习 一、单选题 1．一个矩形周长为，不能围成的面积是（   ） A． B． C． D． 2．如图，P是抛物线在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形周长的最大值为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．如图，李大爷用24米长的篱笆靠墙围成一个长方形菜园，若菜园靠墙的一边长为（米），那么菜园的面积（平方米）与的关系式为（    ） A． B． C． D． 4．把一根长为的铁丝折成一个矩形，当矩形的一边长为时，它的面积为，则下列结论正确的是（    ） A．有最大值为1 B．有最大值为4 C．有最小值为1 D．有最小值为4 5．正方形的面积S（单位：）与周长C（单位：）之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 6．如图，有一矩形纸片，，，将该矩形纸片沿垂直于的三条虚线折成一个上下无盖的长方体纸盒，则长方体纸盒的最大容积为（   ） A． B． C． D． 7．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中，正确结论的是（ ） A．①②③ B．①② C．②③ D．③ 8．深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 9．建筑队在工地一边靠墙（不限长）处，用85米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，则的最大值为（　　） A．418 B．484 C．516 D．648 10．某茶杯的过最低点 的竖直截面如图所示，其中杯体竖直截面 呈抛物线形状杯体厚度忽略不计，点，点位于杯口处，且，点 是抛物线最低点， 当茶杯装满茶水时，茶水的最大深度点到的距离为，将茶水倒出一部分后，茶水的最大深度恰好为点到的距离，求此时的长度 （    ） A． B．    C． D． 二、填空题 11．某公司准备修建两间矩形办公室，一面靠墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留一扇1m宽的门．已知现有材料可修建成27m长的墙（不包括门），则建成的办公室面积最大为 （不考虑墙的厚度）． 12．一块梯形木板，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当 时，矩形桌面面积最大． 13．如图，要在空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形园地，矩形的一边靠教学楼25米的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形垂直于的一边为米，面积为平方米．写出与的函数关系式 ，自变量的取值范围是 ． 14．如图用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙长），则这个围栏的最大面积为 ．    15．如图，相框长，宽，相框边的宽为，相框内的面积是，则相框内的长和宽分别为 、 ，y与x之间的函数关系式为 ． 三、解答题 16．如图，有一栋底面呈长方形的建筑物，长，宽，墙角有一根木桩，木桩上拴着一只小狗，拴小狗的绳子长为x米． (1)若，当小狗的活动区域面积为时，求绳子长； (2)若，请判断小狗的活动区域面积能否达到，并说明理由． 17．如图，学校准备开展劳动教育活动，计划利用围墙和栅栏围成一个矩形的菜园，并用栅栏将其分成个相同大小的矩形小菜园，共用栅栏． (1)当时，菜园面积的最大值为 ． (2)求菜园面积的最大值（用含的代数式表示）． 18．如图1，用一段长为45米的篱笆围成一个一边靠墙，并且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园，墙长为18米．设的长为米，矩形菜园的面积为平方米． (1)___________平方米．（用含的代数式表示，结果需化简） (2)若分成的两个小矩形是正方形，求的值． (3)如图2，若在分成的两个小矩形的正前方和中间的篱笆隔墙各开一个1米宽的门（无需篱笆），当为何值时，取得最大值？最大值为多少？ 19．小明爸爸打算用一块长为，宽为的矩形铁皮（图①）制作一个无盖的长方体容器（图②），需要将四角各裁掉一个正方形（厚度不计）． (1)请你在图①中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并计算长方体底面面积为时，裁掉的正方形边长是多少分米？ (2)若所制作的长方体底面的长不超过底面宽的5倍，并将容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.25元，底面每平方分米的费用为1元，则裁掉的正方形边长是多少分米时，总费用最低，最低为多少元？ 20．如图，某公园用两段院墙和一段抛物线型的围栏围出一个封闭的花圃，与是两段院墙，，抛物线与两段院墙分别交于点、，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线的对称轴垂直于轴，已知，，抛物线的函数表达式为（、为常数，）． (1)求抛物线的函数表达式； (2)过点向右作轴的平行线交抛物线于点，过点作轴于点，现要在矩形区域种植郁金香，请你求出矩形区域的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《22.3 实际问题与二次函数（图形问题）跟踪练习2025-2026学年人教版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C A A B C A B A 1．D 【分析】本题考查了二次函数的性质，矩形的性质，设矩形的宽为，则长为，设面积为，根据矩形的面积公式求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设矩形的宽为，则长为，设面积为， 根据题意，得 ， ∵， ∴抛物线开口方向向下， ∴当时，y有最大值为256， 即矩形的面积最大值为， 观察四个选项，只有选项D符合题意， 故选：D． 2．C 【分析】设，利用矩形的性质得到四边形周长，然后根据二次函数的性质解决问题． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：设， ∴， ∴四边形周长， ∴当时，四边形周长有最大值，最大值为， 故选：C． 3．C 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出的长是解题关键．先求出的长，再利用长方形的面积公式求解即可得． 【详解】解：由题意得：米， 则菜园的面积， 故选：C． 4．A 【分析】本题主要考查了二次函数的应用根据矩形的周长可计算出矩形的另一边长为，再根据矩形的面积计算方法进行列式，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，矩形的另一边长为：， 则． ∴当时，有最大值为1 故选：A． 5．A 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数，先求出正方形的边长为，再根据正方形的面积公式即可得解． 【详解】解：∵正方形的周长为C ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积， 故选：A． 6．B 【分析】设折成的长方体盒子的底面一边长为，则其相邻的边长为，长方体的体积为，根据题意列出二次函数求得最大值即可；本题主要考查二次函数的应用，根据题意准确列出二次函数是解题的关键． 【详解】解：设折成的长方体盒子的底面一边长为，则其相邻的边长为， 长方体的体积为， 根据题意得： ， 所以该纸筒的最大容积为， 故选：B． 7．C 【分析】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键．设的长为米，菜园的面积为平方米，可得；根据即可判断①；求解即可判断②；根据，，即可判断③； 【详解】解：设的长为米，菜园的面积为平方米　， 由题意得：的长为米， ∴； ∵， ∴， ∴的长不可以为；故①错误； 由解得： ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，故②正确； ∵，， ∴当时，菜园面积有最大值，故③正确； 故选：C 8．A 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式是解题的关键．由铁栅栏的全长及的长，可得出平行于墙的一边长为米，再利用长方形的面积公式，即可找出关于的函数关系式． 【详解】解：铁栅栏的全长为15米，米， 平行于墙的一边长为米． 根据题意得：． 故选：A． 9．B 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，正确列出解析式是解题的关键．设仓库的宽为米，根据题意可求得仓库的长为米，再由矩形的面积公式列出函数解析式，最后根据函数性质求最值即可． 【详解】解：设仓库的宽为米 则仓库的长为：米 根据题意可得： 当时，有最大值，最大值为484． 故选：B． 10．A 【分析】本题考查了二次函数的应用；建立直角坐标系，设截面抛物线为，则把代入求出解析式，然后将代入求出液面的宽即可． 【详解】解：依题意，建立如图所示的直角坐标系，设截面抛物线．    将代入，得．解得． ∴． 将代入， 得． 解得． ∴，， ∴． 故选：A． 11． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用、性质，将二次函数一般式化为顶点式是解题的关键． 设垂直于墙的边长为m，则平行于墙的边长为m．根据矩形面积公式可得，将其化为顶点式利用函数性质求最大值即可． 【详解】解：设垂直于墙的边长为m，则平行于墙的边长为m． 根据题意得， ， 二次函数图象开口向下，当时，函数有最大值，最大值为 故答案为： 12．5 【分析】本题考查二次函数的应用，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．作于点H，先根据已知数据证明和是等腰直角三角形，再设，则，列出矩形桌面面积关于x的二次函数，化为顶点式，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点H， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 矩形中， 是等腰直角三角形， 设，则， 矩形桌面的面积， 当时，S取最大值， 即当时，矩形桌面面积最大． 故答案为：5． 13． 【分析】本题考查二次函数的应用、矩形的周长和面积公式，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．先用x表示出矩形的长，再利用矩形的面积公式得出y与x的函数关系式，再结合矩形的性质与墙的长度列不等式组解题即可； 【详解】解：由题意，设矩形垂直于的一边为米，则矩形的长为米， 则矩形的面积， 即y与x的函数关系式为； ∴， 解得：； 故答案为：， 14． 【分析】设与墙垂直的一边长为，然后根据矩形面积列出函数关系式，从而利用二次函数的性质分析其最值． 【详解】解：设与墙垂直的一边长为，围成的矩形面积为，则与墙平行的一边长为， ∴矩形围栏的面积为， ∵， ∴当时，矩形有最大面积为， 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查列代数式，二次函数的实际应用及不等式组的实际应用，根据题意列出相框内的长和宽，根据矩形面积公式即可求出y与x之间的函数关系式． 【详解】解：相框长，宽，相框边的宽为， 相框内的长为，相框内的宽为， 根据题意，得 展开得： 整理得： 根据题意，得 解得：． ∴y与x之间的函数关系式为， 故答案为：，，． 16．(1) (2)不能，见解析 【分析】本题考查了扇形的面积公式，一元二次方程的应用，二次函数的应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由题意得，小狗的活动范围是一个半径为绳长，圆心角为270度的扇形，根据扇形的面积公式列方程，求解即可； （2）先根据题意得出小狗的活动范围，得到二次函数，再根据二次函数的性质求解即可判断． 【详解】（1）解：当时，小狗的活动区域面积， 当时，， ， ∴， 答：绳子长为． （2）解：绳长， 当时，小狗的活动区域面积， 此时S随x的增大而增大， 当时，， ， 此时小狗的活动面积为：， 当时，， 解得：， ， 与均不符合题意， 小狗的活动区域不能达到． 17．(1)80 (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）设矩形养殖场的总面积为y，列出y与x的函数关系式，并求出其最大值． （2）设矩形养殖场的总面积为y，列出y与x的函数关系式，并求出其最大值． 【详解】（1）解：设菜园的宽为，当时，菜园的长为，菜园面积为，则有： ， ∵， ∴有最大值，最大值为80， 即菜园面积的最大值为， 故答案为：80． （2）解：设菜园的宽为，则长为，菜园面积为，则有： 。 ∵， ∴， ∴ ∴当时，有最大值，最大值为， 即，菜园面积的最大值为． 18．(1) (2)162 (3)当时，取得最大值，最大值为180 【分析】本题主要考查列代数式，一元一次方程的应用以及二次函数的应用，正确理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意得米，根据矩形的面积公式可得结论； （2）根据正方形的性质可列方程，求得的长，可得的值； （3）设菜园面积为S，得出S关于x的二次函数解析式，然后求二次函数的最大值即可求解． 【详解】（1）解：∵的长为米， ∴米， ∴（平方米）， 故答案为：； （2）解：由题意，得， 解得， （平方米）， 的值为162平方米； （3）解：． 墙长为18米，正前方有两个1米宽的门， . ， 抛物线开口向下， 当时，随着的增大而减小， 当时，取得最大值，最大值为． 19．(1)裁掉的正方形的边长为； (2)裁掉的正方形边长为时，总费用最低，最低费用为元． 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，找出题目中的等量关系，表示成二次函数的形式是解题的关键． （1）由题意可画出图形，设裁掉的正方形的边长为，则题意可列出方程，可求得答案； （2）由条件可求得x的取值范围，用x表示出总费用，利用二次函数的性质可求得其最小值，可求得答案． 【详解】（1）解：如图所示： 设裁掉的正方形的边长为，由题意可得： ， 解得：或（舍去）． 答：裁掉的正方形的边长为； （2）解：设总费用为y元， 则 ． 又∵， ∴． ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最小值，最小值为． 答：裁掉的正方形边长为时，总费用最低，最低费用为元． 20．(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数和四边形的综合问题，解出二次函数解析式是解题的关键． （1）根据题意得出，，利用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）令，求出，再根据矩形的面积求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 把，代入， 可得出：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为： （2）解：∵令， 解得：， ∴ 矩形的面积为： 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$