1.2集合间的基本关系 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.2 集合间的基本关系 学习目标： （1）理解并会判断两个集合间的包含、相等关系； （2）会写出一个给定集合的子集；掌握子集、真子集的个数问题； （3）会进行自然语言、图形语言、符号语言间的转换。 复习回顾 1.集合元素的特征有哪些? 2.元素与集合之间的关系是什么?如何表示? 3.集合的表示法有哪些? 4.集合的分类？空集的含义？如何表示？ 确定性、互异性、无序性 列举法、描述法、 不含有任何元素的集合叫做空集。记作 有限集、无限集、空集 问题引入 问题1：对于集合这个新的研究对象，接下来该如何研究呢？比如要研究些什么问题？用什么方法研究？ 实数有相等关系、大小关系，如5＝5，5＜7，5＞3，等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间的什么关系？ 想一想 问题2：下面几个例子，你能发现两个集合间的关系吗？ （1） （2）C为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合； （3） 。 探究新知 问题2：下面几个例子，你能发现两个集合间的关系吗？ （1） （2）C为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合； （3） 追问1：你从哪个角度来分析每组两个集合间的关系？ 追问2：你能不能归纳概括出上述三个具体例子的共同特征？ 集合中的元素 第一个集合的任意一个元素都是第二个集合中的元素 1.1包含关系与子集的概念： 若集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素， 则说集合A包含于集合B(或集合B包含集合A). 并称集合A为集合B的子集. 记作A⊆B(或B⊇A). 读作A包含于B(或B包含A). 如：{1,2}⊆{1,2,3,5} 1.2符号语言： 1.3图形语言： 对任意的x∈A，总有x∈B，则A⊆B A B A(B) 1880年Venn首次采用 也称韦恩图或文氏图. Venn图： 用平面上封闭曲线的内部代表集合. {0,1,2}⊆{x∈N|x<3} = 探究新知——包含关系与子集 由于“两条边相等的三角形”是等腰三角形，因此，集合E，F都是由等腰三角形组成的集合．即集合E中任何一个元素都是集合F中的元素，同时，集合F中任何一个元素都是集合E中的元素．这样，集合E的元素与集合F的元素是一样的． 一般的，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B.也就是说： 若A⊆B，且B⊆A，则A=B. 与实数中的结论“若a≥b，且b≥a，则a=b”相类比，你有什么体会？ 探究新知——集合相等 追问3：对比上述三组集合，你发现前两组的两个集合间的关系与第三组的两个集合间的关系有什么不同之处吗？ 2.1集合相等的概念： 若集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素， 且集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素， 则说集合A与集合B相等.记作A=B. 2.2符号语言： 2.3图形语言： 如：{x||x|=1}={x|x2=1} 若A⊆B且B⊇A，则A=B. A(B) 探究新知——集合相等 读作：“A真包含于B”（或“B真包含A”） 例如，在(1)中，A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5} 我们有4B，4 A；我们还有 . 所以集合A是集合B的真子集. 探究新知——真包含与真子集 3.1真包含关系与真子集的概念： 若集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素， 但集合B中存在一些元素不是集合A中的元素， 则说集合A真包含于集合B(或集合B真包含集合A). 并称集合A是集合B的真子集. 3.2符号语言： 3.3图形语言： A B 探究新知——真包含与真子集 即 ⊆A . 是任何非空集合的真子集. 探究新知——空集 问题3：你能用集合表示方程的实数根吗？这个集合有什么特点？ 追问1：你能举几个空集的例子吗？ 集合“{0}”是否为空集 探究新知——空集 追问2：与实数中的结论“若”类比你对集合间的基本关系有什么体会？根据实数关系的其他结论，你还能猜出哪些集合间的结论？ 例1：在以下写法中，正确的个数为( ). ①0＝{0}； ②0∈{0}； ③0⊆{0}； ④0＝ ； ⑤0∈； ⑥0⊆； ⑦＝{0} ； ⑧∈{0} ； ⑨⊆{0}． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B （1）任何一个集合是它本身的子集，即：A⊆A； （2）空集是任何集合的子集，即 （3）传递性：对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C。 例2：判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由： （1）； （2） （2）因为若 x 是长方形，则 x 一定是两条对角线相等的平行四边形，所以集合A是集合B的子集． 牛刀小试——子集的概念 概念辨析——元素与集合的关系、两个集合的包含关系 注:包含关系刻画的是集合与集合间的关系;而属于关系刻画的是元素与集合间的关系. 活动1：小组竞赛，寻找出下列集合的子集，并指出哪些是它的真子集，完成表格。 集合 元素个数 子集 子集个数 真子集 真子集 个数 非空真子集个数 空集 0 {a} 1 {a,b} 2 {a,b,c} 3 {a,b,c,…} n 集合A有n(n≥0)个元素,则A的子集有2n个, A的真子集或非空子集有2n-1个, A的非空真子集有2n-2个(n≥1). 活动探究——子集的个数 活动探究——子集的个数 1.假设集合A中含有n (n∈N*)个元素,则: (1)A的子集个数是2n; (2)A的非空子集个数是2n-1; (3)A的真子集个数是2n-1; (4)A的非空真子集个数是2n-2. 2.含有限制条件的子集问题,一般可根据条件列出所有适合题意的子集,采用列举 法解决.特别地,设有限集合A,B中分别含有m个,n个元素(m,n∈N*,m≤n),且A⊆C⊆B,则符合条件的有限集C的个数为2n-m. 反思感悟：求集合的子集的两个关注点 (1)要注意两个特殊的子集：∅和自身． (2)按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏． 8 知识应用——子集的个数 【解析】 B 链接高考——集合间的基本关系 判断集合间关系的常用方法 知识应用——集合间的关系 利用集合间的关系 求参数的关注点 (1)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值． (2)要注意“空集”的情况，空集是任何集合的子集． 链接高考——含参问题 链接高考——含参问题 【变式1】已知集合 ； 链接高考——含参问题 【练习4】已知集合； 元素与集合的关系 集合与集合的关系 A B A(B) 实数间的大小关系 集合间的关系 a≤b a = b a≤a 若a≤b，b≤c，则a≤c 若a < b ，b < c ，则a < c (a=b或a<b) (a≤b且b≤a) 课堂总结 空集 子集 C B A 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 任何一个集合是它本身的子集 课堂总结 ＝ ＝ 作业布置 注：连续数集借助数轴分析 作业布置 ＝ 强化练习 D C B A 强化练习 答案不唯一，举出符合题意的一个子集即可． 强化练习 强化练习 A B x 0 1 2 a 强化练习 谢谢大家！ 例4：满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个． 【答案】 8 【解析】 由题意可得{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2， 且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下： 含有两个元素：{1,2}，含有三个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}； 含有四个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}； 含有五个元素：{1,2,3,4,5}． 故满足题意的集合M共有8个． 对于①，是集合与集合的关系，应为{0}⊆{0,1,2}； 对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集； 对于③，空集是任何集合的子集； 对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以 ⊆{0}； 对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等； 对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的． 【练习1】下列各式中，正确的个数是(　　) ①{0}∈{0,1,2}； ②{0,1,2}⊆{2,1,0}； ③ ⊆{0,1,2}； ④ ＝{0}； ⑤{0,1}＝{(0,1)}； ⑥0＝{0}． A．1　 　B．2 C．3 D．4 (3)集合A的代表元素是数， 集合B的代表元素是有序实数对， 故A与B之间无包含关系． (4)M＝{正奇数}，N＝{不含1的正奇数}， 故N⊆M. 【练习2】指出下列各对集合之间的关系： (1) A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (2) A＝{x|x是正方形}，B＝{x|x是矩形}； (3) A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； (4) M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． 【解析】(1)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集 合A，B，如图所示，由图可知A⊆B. (2)正方形是特殊的矩形，故A⊆B. {m|2≤m≤3}． 【练习3】 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，非空集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围． 【解析】因为B≠∅，且B⊆A，如图所示． 则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1≤5，,m＋1≤2m－1，))解得2≤m≤3. 所以实数m的取值范围是{m|2≤m≤3}． 【解析】因为 若，则，，集合中的元素不满足互异性，舍去； 若，则或-2，因为，所以. 故选C. 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 特性 (1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅； (2)A≠∅，则∅⊆A $$