3.2.1函数的单调性 教案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学人教 A 版必修一《函数的单调性》 教学方案 一、教学内容 本节课为人教 A 版必修一函数的单调性相关内容,主要包括函数单调性的概念、判断及简单应用。 二、教学目标 1.知识与技能 学生能够理解函数单调性的概念,清楚增函数、减函数的定义。 学会根据函数图像判断函数的单调性,掌握用定义证明函数单调性的步骤和方法。 能运用函数单调性解决一些简单的问题,如比较函数值大小等。 1.过程与方法 通过观察函数图像、分析实例,引导学生经历从具体到抽象、从特殊到一般的思维过程,培养学生的抽象概括能力。 在探究函数单调性定义和证明方法的过程中,提高学生的逻辑推理能力和数学表达能力。 让学生在合作交流、自主探究的学习过程中,体会数学思想方法的运用,如数形结合思想、转化与化归思想。 1.情感态度与价值观 激发学生对数学学习的兴趣,让学生感受数学的严谨性和逻辑性。 培养学生勇于探索、善于思考的学习习惯,增强学生的自信心和成就感。 让学生体会数学在实际生活中的应用,认识到数学的价值。 三、教学重难点 1.教学重点 函数单调性的概念,包括增函数和减函数的定义。 用定义证明函数的单调性。 1.教学难点 对函数单调性概念的理解,尤其是对 “任意” 二字的理解。 用定义证明函数单调性时,作差后的变形以及符号的判断。 四、教学方法 1.讲授法:清晰、系统地讲解函数单调性的概念、定义及证明方法等知识点。 2.讨论法:组织学生围绕相关问题进行讨论,如函数图像的变化趋势、定义中的关键语句等,激发学生的思维,加深对知识的理解。 3.探究法:引导学生通过观察函数图像、分析具体函数等方式,自主探究函数单调性的特征和规律,培养学生的探究能力。 4.练习法:通过让学生做练习题,巩固所学知识,提高运用知识解决问题的能力。 五、教学过程 (一)导入新课(5 分钟) 教师展示生活中的一些变化现象,如气温随时间的变化曲线、物体自由下落时速度随时间的变化等。提问学生:这些变化有什么规律呢?有的是逐渐上升,有的是逐渐下降。在数学中,函数也有类似的变化规律,这就是我们今天要学习的函数的单调性。通过生活实例引入,激发学生的学习兴趣,让学生初步感知函数单调性的含义。 (二)讲解新课(30 分钟) 1.函数单调性的概念 教师展示一次函数y=2x+1和二次函数y = x2的图像,让学生观察图像的变化趋势。 引导学生总结:对于y = 2x + 1,当x增大时,y也随之增大;对于y = x2,在x < 0时,当x增大时,y减小,在x > 0时,当x增大时,y增大。 给出增函数和减函数的定义:设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1< x2时,都有f(x1) < f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数;如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1 <x2时,都有f(x1) > f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。 强调定义中的 “任意” 二字,说明不能用特殊值代替,让学生理解其重要性。可以举例说明,如对于函数y = x2,不能因为x = -1< x = 1时,f(-1) = f(1),就说它在R上不具有单调性,而是要根据定义判断在不同区间的单调性。 1.函数单调性的判断 结合函数图像,让学生学会根据图像直观判断函数的单调性和单调区间。例如,对于y = -x + 3的图像,从左到右呈下降趋势,所以它在R上是减函数。 讲解用定义证明函数单调性的步骤:取值、作差、变形、判断符号、下结论。 以证明函数f(x)=2x + 1在R上是增函数为例进行示范: 取值:任取x1,x2∈R,且x1< x2。 作差:f(x1)-f(x2)=(2x1+ 1)-(2x2 + 1)=2(x1-x2)。 变形:化简为2(x1- x2)。 判断符号:因为x1<x2,所以x1-x2< 0,则f(x1)-f(x2)=2(x1- x2) < 0,即f(x1) < f(x2)。 下结论:所以函数f(x)=2x + 1在R上是增函数。 再让学生尝试证明函数f(x)= -x + 3在R上是减函数,教师巡视指导,纠正学生在证明过程中出现的错误。 (三)课堂练习(10 分钟) 1.说出函数y = -x2+ 2x的单调区间,并指出在每个区间上是增函数还是减函数。 2.证明函数f(x)= 在(0, +)上是减函数。 让学生独立完成练习,然后小组讨论答案,最后教师进行点评和讲解,巩固所学知识。 (四)课堂小结(3 分钟) 1.教师引导学生回顾本节课所学的主要内容,包括函数单调性的概念、增函数和减函数的定义、判断函数单调性的方法以及用定义证明函数单调性的步骤。 2.强调在学习过程中要注意的关键点,如 “任意” 二字的含义、作差变形的技巧等。 3.鼓励学生总结自己在学习中的收获和遇到的问题,以便在后续学习中加以改进。 (五)布置作业(2 分钟) 1.课本练习题中关于函数单调性的部分,要求学生独立完成,巩固基础知识。 2.思考:如何判断函数y = x3的单调性?用定义证明你的结论。通过拓展性作业,让学生进一步提高运用知识的能力。 六、板书设计 函数的单调性 一、概念 1. 增函数:x₁ < x₂ f(x₁) < f(x₂) 2. 减函数:x₁ < x₂ f(x₁) > f(x₂) 二、判断方法 1. 图像法 2. 定义法:取值 作差 变形 判断符号 下结论 三、例题 证明f(x)=2x + 1在R上是增函数 四、练习 这样的板书设计简洁明了,突出了本节课的重点内容,便于学生回顾和复习。 第 1 页 共 4 页 学科网(北京)股份有限公司 $$