第26章 二次函数 知识清单 华东师大版数学九年级下册

二次函数知识清单 1.二次函数解析式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴交点的横坐标，a≠0 （4）对称式：y=a（x–x1）（x–x2）+k，此时二次函数过点（），（）即纵坐标相同时，这两点关于对称轴对称 2.求二次函数解析式的方法 （1）已知图象上任意三点，可设为y=ax2+bx+c （2）已知顶点坐标（）,可设为y=a（x–h）2+k （3）已知函数与x轴的交点（），（），可设为：y=a（x–x1）（x–x2） （4）已知函数过两对称点（），（），可设为：y=a（x–x1）（x–x2）+k （5）顶点在x轴上，可设为：y=a（x–h）2 （6）顶点在y轴上，可设为： 3. 二次函数的图象与性质 （1）二次函数的性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） a>0 a<0 对称轴 x=– 注：还可利用求解（其中为y值相等的两个点对应的横坐标） 顶点 （–，） 注：①运用配方法将一般式转化为顶点式求解 ②将对称轴直线代入函数表达式求出对应 大致图象 开口方向 a>0，开口向上 a<0，开口向下 最值 a>0，当x=–时，y最小值= a<0，当x=–时，y最大值= 增减性 a>0， 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 a<0， 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 （2） 二次函数与各项系数之间的关系 字母 字母的符号 图像特征 a 决定抛物线开口方向 a>0 开口向上 a<0 开口向下 a、b 决定抛物线对称轴的位置 b=0 对称轴是y轴，即=0 a，b同号 对称轴在y轴左侧，即 a，b异号 对称轴在y轴右侧，即 c 决定抛物线与y轴交点的位置 c=0 图像过原点 c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 决定抛物线与x轴交点的个数 与x轴有两个交点 与x轴有唯一交点 与x轴没有交点 注意： 二次函数图象题符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶ （1）a、b、c单个字母的判断：a 由开口判断，b由对称轴判断（左同右异），c由图象与y轴交点判断; （2）含有a、b两个字母时：考虑对称轴; （3）含有a、b、c三个字母，且a 和b系数是平方关系，给x取值，结合图像判断；含有 a、b、c 三个字母，a和b系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断 （4）含有和 4ac，考虑顶点坐标，或考虑△. （5）其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断 3. 二次函数的图像变换 （1） 二次函数的平移变换 口诀：左加右减自变量，上加下减常数项 （2） 二次函数的对称变换 1） y=ax2+bx+c的对称注意： y=ax2+bx+c 关于x轴对称 y=ax2bxc （） 关于对称 （） y=ax2+bx+c 关于y轴对称 y=ax2bxc （） 关于对称 （） y=ax2+bx+c 关于原点对称 y=ax2bxc （） 关于任一点（,）对称 （） 2）顶点式y=a（x–h）2+k的对称，顶点坐标（）y=a（x–h）2+k 关于x轴对称 y=a（x–h）2+k 关于y轴对称 y=a（x–h）2+k 关于原点对称 y=a（x–h）2+k 关于顶点（h,k）对称 y=a（x–h）2+k 关于对称 y=a（x–h）2+k 关于对称 y=a（x–h）2+k 关于任一点（,）对称 4.二次函数与一元二次方程 判别式 二次函数 一元二次方程 与x轴交点个数 图像 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线 与x轴交于， 两点 一元二次方程 有两个不相等的实数根 2个交点 △＝0 抛物线与x轴交于这一点 一元二次方程 有两个相等的实数根 1个交点 △＜0 抛物线 与x轴无交点 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 0个交点 5.二次函数与不等式 归纳： （1） 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0. 该方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标. （2） 思路：判断二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）是否与x轴有交点，有几个交点？即是判断一元二次方程ax2+bx+c=0有无解，有几个解，也就是判断△=与0的大小关系. 图像特征 二次函数的图像是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 图像 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 易错 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x 的增大而增大(或减小) 是不对的，必须附加一定的自变量x取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$