3.2.1.1 函数的单调性 同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.1.1 函数的单调性 同步练习 考点一　单调性的相关概念 1.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为(　　) A.(-3,-1)∪(1,4)　　B.(-5,-3)∪(-1,1) C.(-3,-1),(1,4)　　D.(-5,-3),(-1,1) 2.(易错题)下列说法正确的是(　　) A.若x1,x2∈I,当x1<x2时, f(x1)<f(x2),则y=f(x)在I上单调递增 B.函数f(x)=x2在[0,+∞)上单调递增 C.函数f(x)=-在定义域内单调递增 D.函数f(x)=的单调递减区间为(-∞,0)∪(0,+∞) 考点二　单调性的判断与证明 3.下列函数中,在区间(-∞,0)上单调递减的是(　　) A. f(x)=x　　B. f(x)=- C. f(x)=x2+2x　　D. f(x)=|x| 4.已知函数f(x)=,则以下结论正确的是(　　) A. f(x)在(-1,+∞)上单调递增　　 B. f(x)在(-∞,-1)上单调递减 C. f(x)在(1,+∞)上单调递增　　 D. f(x)在(-1,1)上单调递减 5.函数f(x)=的单调递减区间是(　　) A.[-1,0]　　B.[0,1]　　 C.[2,+∞)　　D.(-∞,2] 6.函数f(x)=(1-x)|2-x|的单调递增区间为(　　) A.　　B. C.　　D. 7.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足∀x∈R, f(x)≤f(3)恒成立,则函数f(x)的单调递增区间为　　　　　　　.  8.已知函数f(x)=则函数f(x)的单调递减区间为　　　　　　　　.  9.已知函数f(x)=. (1)求f(f(1))的值; (2)若g(x)=3f(x)+,用单调性的定义证明:函数g(x)在(0,1)上单调递减. 10.已知函数f(x)=. (1)用函数单调性的定义证明函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递减; (2)若函数f(x)的定义域为(1,+∞),且f(a2)>f(2a+3),求实数a的取值范围. 考点三　单调性的应用 11.已知函数f(x)=|x+2|+x-3,若f(a)>f(3-2a),则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,-2)　　B.(-∞,-1)　　 C.(1,+∞)　　D.(3,+∞) 12.已知二次函数y=x2-2ax+1在区间(2,3)内是单调函数,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,2]∪[3,+∞)　　 B.[2,3]　　 C.(-∞,-3]∪[-2,+∞)　　 D.[-3,-2] 13.若函数f(x)=是R上的单调函数,则a的取值范围是(　　) A.　　B.　　C.(0,1]　　D.(0,1) 14.若函数f(x)=x2+2(a-2)x+2的单调递增区间为[3,+∞),则实数a的值是　　　　.  15.已知函数f(x)=ax2+5x+2在(1,2)上单调递增,则a的取值范围为　　　　.  16.已知函数f(x)=在(2,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是　　　　.  17.已知函数f(x)=x2-(3a-2)x+b. (1)若关于x的不等式f(x)<0的解集为(-2,3),求实数a,b的值; (2)若函数f(x)在区间上单调递增,求实数a的取值范围. 答案 1.C　由题图知函数f(x)的图象在区间(-3,-1)和(1,4)上是下降的,在区间(-5,-3)和(-1,1)上是上升的,因此该函数的单调递减区间为(-3,-1),(1,4). 2.B　对于A,由函数单调性的定义知,应为对于任意的x1,x2∈I,“任意”二字不可缺少,故A错误; 对于B,该二次函数的图象是开口向上,对称轴为直线x=0的抛物线,故函数f(x)=x2在[0,+∞)上单调递增, 故B正确; 对于C,函数f(x)=-在(-∞,0)和(0,+∞)上分别单调递增,但f(x)在定义域内不具有单调性,故C错误; 对于D,函数f(x)=在(-∞,0)和(0,+∞)上分别单调递减,故f(x)=的单调递减区间为(-∞,0),(0,+∞), 3.D　在(-∞,0)上, f(x)=x单调递增, f(x)=-单调递增. f(x)=x2+2x在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增.f(x)=|x|=显然f(x)在(-∞,0)上单调递减. 4.C　易得f(x)===1-, 画出函数f(x)的图象,如图所示. 所以函数f(x)在(-∞,1)和(1,+∞)上均单调递增. 5.A　令-x2-2x≥0,解得-2≤x≤0,故f(x)的定义域为[-2,0]. 易知y=-x2-2x的图象开口向下,对称轴方程为x=-1, 所以函数y=-x2-2x在[-1,0]上单调递减,在[-2,-1]上单调递增,又y=在[0,+∞)上单调递增,因此函数f(x)=在[-1,0]上单调递减,在[-2,-1]上单调递增, 所以函数f(x)=的单调递减区间是[-1,0]. 6.A　f(x)=(1-x)|2-x|= 当x≥2时, f(x)=-x2+3x-2=-+,显然f(x)在[2,+∞)上单调递减, 当x<2时, f(x)=x2-3x+2=-,显然f(x)在上单调递减,在上单调递增, 所以函数f(x)的单调递增区间为. 7.答案　(-∞,3] 解析　因为∀x∈R,都有f(x)≤f(3), 所以f(x)的图象开口向下,对称轴是直线x=3, 因此函数f(x)的单调递增区间为(-∞,3]. 8.答案　(-∞,0)和[0,1] 解析　由已知得函数f(x)的定义域为R, 当x<0时, f(x)=单调递减. 当x≥0时, f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,在[0,1]上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. 综上, f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和[0,1]. 9.解析　(1)因为f(x)=,所以f(1)==3, 所以f(f(1))=f(3)==. (2)证明:g(x)=3f(x)+==7, ∀x1,x2∈(0,1),且x1<x2,(取值) 则g(x2)-g(x1)=7(作差) =7(x2-x1)=,(变形) 因为0<x1<x2<1,所以0<x1x2<1,x1x2-1<0,x2-x1>0, 所以g(x2)-g(x1)<0,即g(x2)<g(x1),(定号) 因此函数g(x)在(0,1)上单调递减.(判断) 10.解析　(1)证明:∀x1,x2∈(1,+∞),且x2>x1, 则f(x2)-f(x1)=-=, 因为x2>x1>1,所以(x2-1)(x1-1)>0,x1-x2<0, f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1), 故f(x)在(1,+∞)上单调递减. (2)由(1)得f(x)在(1,+∞)上单调递减, 所以解得 所以1<a<3,故实数a的取值范围是(1,3). 11.C　f(x)=|x+2|+x-3=若f(a)>f(3-2a),则解得a>1. 12.A　易知二次函数y=x2-2ax+1的图象的对称轴为直线x=a,若y=x2-2ax+1在区间(2,3)内是单调递增函数,则有a≤2;若y=x2-2ax+1在区间(2,3)内是单调递减函数,则有a≥3. 综上,a的取值范围是(-∞,2]∪[3,+∞). 13.B　根据题意,结合y=x2-2ax(x≥1)的图象,知f(x)必定为单调递增函数, 则有解得0<a≤,即a的取值范围为. 14.答案　-1 解析　易得f(x)=x2+2(a-2)x+2的单调递增区间为[2-a,+∞),∴2-a=3,∴a=-1. 15.答案　 解析　若a=0(易错点),则f(x)=5x+2在(1,2)上单调递增,满足题意. 若a≠0,易知二次函数f(x)=ax2+5x+2的图象关于直线x=-对称,若f(x)在(1,2)上单调递增,则当a<0时,-≥2,故-≤a<0; 当a>0时,-≤1,显然恒成立,故a>0. 综上,a的取值范围是. 16.答案　(-∞,-1)∪(1,2] 解析　f(x)===a+, 因为函数f(x)=在(2,+∞)上单调递减,所以a2-1>0,解得a<-1或a>1, 则函数f(x)的单调递减区间为(-∞,a),(a,+∞), 由题意可得(2,+∞)⊆(a,+∞),可得a≤2, 所以实数a的取值范围是(-∞,-1)∪(1,2]. 17.解析　(1)由关于x的不等式f(x)<0的解集为(-2,3),可得关于x的一元二次方程f(x)=0的两根为-2和3, 所以解得 当a=1,b=-6时, f(x)=x2-x-6=(x-3)(x+2),符合题意,故实数a,b的值分别为1,-6. (2)由已知得二次函数y=f(x)的图象开口向上,且对称轴方程为x=, 若函数f(x)在上单调递增, 则≤-,解得a≤-, 故实数a的取值范围为. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$