3.1.2 函数的表示法 同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.1.2　函数的表示法 同步练习 考点一　函数表示的图象法和列表法 1.函数y=的图象大致是(　　) 　　 2.如图所示,正方体容器内放了一个圆柱形烧杯,向放在容器底部的烧杯内注水(流量一定),注满烧杯后,继续注水,直至注满正方体容器,则正方体容器中水面上升高度h与注水时间t之间的函数图象可能是(　　) 　　　　　　 3.用列表法表示f(x)如下表,则f(x)的解析式为　　　　.  x 1 2 3 4 5 f(x) 6 12 18 24 30 4.函数f(x)的图象如图所示,则f(x)=(　　) A.2(x-1)2-|x-1|　　B.(x-1)2-2|x-1| C.-2(x-1)2+|x-1|　　D.-(x-1)2+2|x-1| 5.(多选题)已知函数f(x),g(x)分别由下表给出,若f(g(a))=2,则a的值可以是(　　) x 1 2 3 4 f(x) 2 3 1 2 g(x) 3 4 1 4 A.1　　B.2　　C.3　　D.4 6.函数f(x)=2|x|-(a∈R)的大致图象不可能为(　　) 　　　　　　 考点二　函数的解析式 7.已知f=,则f(x)=(　　) A.x+1(x≠0)　　B.x+1(x≠1) C.2x+1(x≠0)　　D.2x+1(x≠1) 8.已知函数f(x2+x)=x4+2x3+x2-2a,且f(6)=10,则a=(　　) A.13　　B.-13　　C.23　　D.-23 9.已知函数f(x)是一次函数,且f(f(x)-2x)=3,则f(5)=(　　) A.11　　B.9　　C.7　　D.5 10.已知函数f(2x-1)=3x-5,若f(x0)=4,则x0=　　　　.  11.(1)已知f(x)为二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求函数f(x)的解析式; (2)已知f(+1)=x+2,求函数f(x)的解析式. 12.如图,在一直角墙角内的点P处有一棵树,它到两墙的距离分别是3米和2米.现欲用10米长的篱笆,借助墙角围成一个矩形花圃ABCD,要求这棵树在花圃内或边界上.设BC=x米,矩形花圃的面积为f(x)平方米,则(　　) A. f(x)=-x2+5x(0≤x≤10) B. f(x)=-x2+10x(0≤x≤10) C. f(x)=-x2+5x(3≤x≤8) D. f(x)=-x2+10x(3≤x≤8) 13.(多选题)设f(x)=,则下列结论成立的是(　　) A. f(-x)=f(x)　　B. f=-f(x) C. f(2x)=2f(x)　　D. f=f(x) 14.(多选题)已知f(x)是定义在R上的函数, f(1)=1,且存在f(x)满足条件Ω,则Ω可能为(　　) A.∀x,y∈R, f(xy)=2f(x)f(y)-x2y2 B.∀x,y∈R, f(xy)=xf(y)+yf(x)-2 C.∀x,y∈R, f(x+y)=f(x)+f(y)+1 D.∀x,y∈R, f(x+y)=xf(y)+yf(x) 15.写出同时满足以下两个条件的一个函数: f(x)=　　　　.  ①∀x,y∈R, f(xy)=f(x)f(y); ②∀x,y∈[0,+∞)且x≠y, f<. 16.(1)已知f(x)+2f=3x-2,求f(x)的解析式; (2)已知f=,求f(x)的解析式; (3)已知对任意的x,y∈R,都有f(x+y)-2f(y)=x2+2xy-y2+3x-3y,求f(x). 考点三　分段函数问题 17.已知函数f(x)=若f(f(0))=-2,则实数a=(　　) A.1　　B.2　　C.3　　D.4 18.(多选题)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,是解析数论的创始人之一,以他的名字命名的函数f(x)=称为狄利克雷函数,则下列关于f(x)的说法正确的是(　　) A. f(x)的值域为[0,1] B. f(x)的定义域为R C.∀x∈R, f(f(x))=1 D.存在x,y是无理数, f(x+y)=1 19.设f(x)=则f(5)=　　　　.  20.已知f(x)= (1)若f(a)=,求a的值; (2)若f(f(k))=,求k的值. 21.某小组4位同学准备乘坐出租车去参加社会实践活动.已知全程30千米,且该城市出租车的收费标准是:起步价11元(乘车不超过3千米);行驶3千米后,每千米车费2.2元;行驶10千米后,每千米车费2.8元. (1)写出同学们打车的费用f(x)(单位:元)与路程x(单位:千米)的函数关系式; (2)为了节省支出,他们设计了三种乘车方案: ①不换车:乘一辆出租车行驶30千米; ②分两段乘车:先乘一辆车,行驶15千米后,换乘另一辆车,再行驶15千米; ③分三段乘车:每行驶10千米后,换乘一次车. 哪一种方案最省钱? 22.(多选题)已知函数f(x)=下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A. f(x)的定义域是R B. f(x)的值域是(-∞,5) C.若f(x)=3,则x= D. f(x)的图象与直线y=2有一个交点 23.已知f(x)=|x-5|+|x+3|,则f(x)≥10的解集是(　　) A.[-5,7]　　 B.[-4,6] C.(-∞,-5]∪[7,+∞)　　 D.(-∞,-4]∪[6,+∞) 24.如图,点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动,M是CD的中点,当点P沿A-B-C-M运动时,△APM的面积y关于点P经过的路程x的函数图象大致是　(　　) 25.设A=,B=,函数f(x)=若x0∈A,且f(f(x0))∈A,则x0的取值范围是(　　) A.　　B. C.　　D. 26.已知函数f(x)=在[0,a]上的值域为[0,1],则实数a的取值范围是　　　　.  27.用m(x)表示f(x),g(x),h(x)中的最小者,记为m(x)=min{f(x),g(x),h(x)},已知m(x)=min{2x+7,x2-3x+1,10-3x},则m(x)的最大值为　　　　.  28.定义:若x0满足f(f(x0))=x0,但f(x0)≠x0,则称x0为f(x)的回旋点.已知函数f(x)=其中a为常数且a∈(0,1). (1)当a=时,求f的值,并判断是不是f(x)的回旋点; (2)当x∈(a,1]时,求函数y=f(f(x))的解析式,并求出f(x)的回旋点. 答案 1.C　y==+1,则将反比例函数y=的图象向左平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,即可得到函数y=的图象. 2.D　开始注水时,水注入烧杯中,正方体容器中无水,故水面高度为0;烧杯内注满水后,继续注水,正方体容器中水面开始上升,且上升速度较快;当正方体容器中水面和烧杯水面持平以后,继续注水,正方体容器中水面继续上升,且上升速度减慢. 3.答案　f(x)=6x,x∈{1,2,3,4,5} 4.B　由题图可知f(-1)=0,在A,C中, f(-1)≠0,所以排除A,C; 由题图得f(4)>0,在D中, f(4)=-(4-1)2+2×|4-1|=-3<0,不符合题意,故排除D. 5.BCD　因为f(g(1))=f(3)=1, f(g(2))=f(4)=2, f(g(3))=f(1)=2, f(g(4))=f(4)=2,所以a的值可以是2,3,4. 6.C　函数的定义域为{x|x∈R,x≠0}.当a=0时, f(x)=2|x|(x≠0),此时A满足.当a>0时,若x>0,则f(x)=2x-,图象上升;若x<0,则f(x)=-,其中y=2x+(x<0)为对勾函数的一部分,此时D满足.当a<0时,若x>0,则f(x)=2x+,为对勾函数的一部分;若x<0,则f(x)=-2x+,图象下降,此时B满足. 7.B　f===+1,因为x≠0,所以≠1,所以f(x)=x+1(x≠1). 8.A　易知x2+x=-≥-,又f(x2+x)=-2a,所以f(x)=x2-2a,则f(6)=36-2a=10,解得a=13. 9.A　设f(x)=ax+b(a≠0),则f(f(x)-2x)=f(ax+b-2x)=a(ax+b-2x)+b=3,整理得(a2-2a)x+ab+b-3=0, 所以解得(舍去)或 所以f(x)=2x+1,所以f(5)=2×5+1=11. 10.答案　5 解析　解法一:令t=2x-1,则x=, 故f(t)=-5=t-. 因为f(x0)=4,所以x0-=4,解得x0=5. 解法二:由已知得解得 11.解析　(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x, 所以所以因此f(x)=x2-2x-1. (2)令t=+1,则x=(t-1)2,t≥1, 所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1), 因此f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1). 12.D　因为BC=x米,篱笆总长为10米, 所以AD=x米,CD=(10-x)米, 因此f(x)=x(10-x)=-x2+10x, 又因为这棵树在花圃内或边界上, 所以解得3≤x≤8, 因此f(x)=-x2+10x(3≤x≤8). 13.AB　f(-x)===f(x),故A正确; f====-f(x),故B正确,D错误; f(2x)=,2f(x)=,显然f(2x)≠2f(x),故C错误. 14.AC　若f(x)=x2,则f(1)=1且∀x,y∈R, f(xy)=(xy)2=2f(x)f(y)-x2y2,故A正确; 对于f(xy)=xf(y)+yf(x)-2,令x=1,y=1,得f(1)=2,与f(1)=1矛盾,故B错误; 若f(x)=2x-1,则f(1)=1且∀x,y∈R, f(x+y)=2(x+y)-1=f(x)+f(y)+1,故C正确; 对于f(x+y)=xf(y)+yf(x),令x=1,y=0,得f(1)=f(0),又f(1)=1,所以f(1)=f(0)=1,令x=y=0,得f(0)=0,矛盾,故D错误. 15.答案　x2(答案不唯一) 解析　令f(x)=x2,则f(xy)=(xy)2=x2y2=f(x)f(y),满足条件①; ∀x,y∈[0,+∞)且x≠y,==>==f,满足条件②. 故f(x)=x2满足题意(答案不唯一). 16.解析　(1)f(x)+2f=3x-2①, 将x用替换,可得2f(x)+f=-2②, ①②联立,消去f,解得f(x)=-x-(x≠0). (2)令t=,则x=(t≠-1),所以f(t)==(t≠-1),故f(x)=(x≠-1). (3)令x=y=0,可得f(0)-2f(0)=0,则f(0)=0,令y=0,可得f(x)-2f(0)=x2+3x,故f(x)=x2+3x. 17.C　因为f(x)=所以f(0)=03+1=1, 所以f(f(0))=f(1)=1-a=-2,解得a=3. 18.BCD　因为函数f(x)=所以f(x)的定义域为R,值域为{0,1},故A错误,B正确; 因为∀x∈R, f(x)∈{0,1},所以f(f(x))=1,故C正确; 取x=,y=-,则f(x+y)=f(-)=f(0)=1,故D正确. 19.答案　11 解析　f(5)=f(5+7)=f(12)=12-1=11. 20.解析　(1)f(x)= 当a>0时, f(a)=a+2=,解得a=; 当a≤0时, f(a)=a2=,解得a=-(正值舍去). 综上,a=或a=-. (2)易知f(x)的值域为[0,+∞). 不妨令f(k)=t,则f(t)=,且t≥0. 当t>0时, f(t)=t+2=,解得t=, 所以f(k)=,所以或 所以k=-. 当t=0时, f(t)=t2=0≠,舍去. 综上,k=-. 21.解析　(1)当0<x≤3时, f(x)=11, 当3<x≤10时, f(x)=11+(x-3)×2.2=2.2x+4.4, 当10<x≤30时, f(x)=11+7×2.2+(x-10)×2.8=2.8x-1.6, 所以f(x)= (2)方案①, f(30)=2.8×30-1.6=82.4, 方案②,2f(15)=2×(2.8×15-1.6)=80.8, 方案③,3f(10)=3×(2.2×10+4.4)=79.2, 因为82.4>80.8>79.2,所以方案③最省钱. 22.BCD　f(x)的定义域是(-∞,2),故A错误. 当x≤-1时,x+2≤1;当-1<x<2时,0≤x2<4,1≤x2+1<5, 所以f(x)的值域是(-∞,5),故B正确. 由B选项的分析可知,若f(x)=3,则解得x=,故C正确. 令f(x)=2,得解得x=1,故f(x)的图象与直线y=2有一个交点(1,2),故D正确. 23.D　解法一:由题意得f(x)=|x-5|+|x+3|=当x<-3时, f(x)≥10可化为-2x+2≥10,解得x≤-4; 当-3≤x≤5时, f(x)≥10可化为8≥10,显然不成立; 当x>5时, f(x)≥10可化为2x-2≥10,解得x≥6. 因此f(x)≥10的解集为(-∞,-4]∪[6,+∞). 解法二:由绝对值的几何意义知f(x)=|x-5|+|x+3|表示数轴上的点到-3和5的距离之和,由5-(-3)=8知满足f(x)≥10的x的范围是(-∞,-4]∪[6,+∞). 24.A　当点P在AB上时,y=·AP·BC=,0≤x≤1; 当点P在BC上时,y=AB·BC-·AB·BP-AD·DM-MC·CP=1-×1×(x-1)-×1×-×(2-x)=-,1<x<2; 当点P在CM上时,y=×AD×PM==-x,2≤x≤. 结合选项知A正确. 25.A　因为x0∈A,即0≤x0<,所以f(x0)=x0+, 又≤x0+<1,所以≤f(x0)<1,即f(x0)∈B, 所以f(f(x0))=3[1-f(x0)]=-3x0∈A, 即0≤-3x0<,解得<x0≤. 又0≤x0<,所以<x0<. 26.答案　[1,1+] 解析　画出f(x)=的图象,如图: 由x2-2x=1,解得x=1-(舍)或x=1+, ∴要使函数f(x)=在[0,a]上的值域为[0,1],则实数a的取值范围是[1,1+]. 27.答案　5 解析　在同一坐标系下画出函数y=2x+7,y=x2-3x+1,y=10-3x的图象,如图, 联立解得或所以A(-1,5), 联立解得或所以B(3,1), 由图可知,m(x)= 所以当x=-1时,m(x)有最大值5. 28.解析　(1)由题意可得,当a=时, f(x)= ∴f=2×=, 因此f=f=2×=, 又f=≠,∴是f(x)的回旋点. (2)当x∈(a,1]时, f(x)=,对是否大于a分类讨论,求出y=f(f(x))的解析式 ∵a<x≤1,∴0≤1-x<1-a,∴0≤<1, 当a<<1,即a<x<a2-a+1时, f(f(x))=f=·=; 当0≤≤a,即a2-a+1≤x≤1时, f(f(x))=f=·=, ∴y=f(f(x))= 当a<x<a2-a+1时,令=x,解得x=, ∵0<a<1,∴-a==>0,a2-a+1-==>0, ∴a<<a2-a+1. ∵f=,∴x=不是f(x)的回旋点. 当a2-a+1≤x≤1时, 令=x,解得x=, ∵0<a<1,∴-(a2-a+1)==>0, 1-==>0,∴a2-a+1<<1. 又f=·=≠,∴x=是f(x)的回旋点. 综上,y=f(f(x))= f(x)的回旋点为. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$