1.5 全称量词与存在量词 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.5全称量词与存在量词 1.5.1全称量词与存在量词 1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定 学习目标 1.了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题 3.会判断全称量词命题、存在量词命题的真假，能够写出全称量词命题和存在量词命题的否定 2.掌握全称量词命题、存在量词命题的否定 在数学中，有时会遇到一些含义变量的陈述句，例如x<3,它们不是命题，那么能否用一个短语对变量的取值范围进行限定，使其成为一个命题呢？ 如果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以使它们成为一个命题，我们把这样的短语称为量词. 对所有的xR,x<3 导入新课 典例分析 课堂检测 课堂小结 作业布置 探索新知 (1)x>3； (2)2x+1是整数； (3)对所有的xR,x>3； (4)对任意一个xZ,2x+1是整数． 思考：下列语句是命题吗？(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系？ (1)不是命题，在(1)的基础上,用短语“所有的”对变量 x进行限定后得到的(3)是命题; “所有的、任意一个”称为全称量词，包含全称量词的命题称为全称量词命题. 典例分析 课堂检测 课堂小结 作业布置 导入新课 探索新知 (2)不是命题，在(2)的基础上,用短语“任意一个”对变量x进行限定后得到的(4) 是命题. 4 全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示. 新知1.全称量词与全称量词命题 常见的全称量词还有“每一个”“一切”“所以”“任何”“仍给”等. 典例分析 课堂检测 课堂小结 作业布置 导入新课 探索新知 全称量词命题：含有全称量词的命题 通常，将含义变量x的语句用p(x),q(x),r(x)…表示,变量x的取值范围用M表示.那么，全称量词命题“对M中任意一个x,p(x)成立”,可用符号简记为“∀x∈M,p(x)” 5 思考：下列语句是命题吗？(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系？ (1)2x+1=3； (3)存在一个x∈R,使2x+1=3; (2)x能被2和3整除; (4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除. 典例分析 课堂检测 课堂小结 作业布置 导入新课 探索新知 (1)不是命题，在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量 x进行限定后得到的(3)是命题; (2)不是命题，在(2)的基础上,用短语“至少有一个”对变量x进行限定后得到的(4) 是命题. “存在一个、至少有一个”称为存在量词，包含存在量词的命题称为存在量词命题. 存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示. 新知2.存在量词与存在量词命题 常见的存在量词还有“有一个”“有些”“有的”“对某些”等. 典例分析 课堂检测 课堂小结 作业布置 导入新课 探索新知 存在量词命题：含有存在量词的命题 存在量词命题“存在M中的元素x,p(x)成立”,可用符号简记为“∃ x∈M,p(x)” 7 一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新命题，这个新命题称为原命题的否定. 那么全称量词命题与存在量词命题的否定应该那么书写？ 例如，“56是7的倍数”的否定为“56不是7的倍数”. “空集是集合A的子集”的否定为“空集不是集合A的子集”. 典例分析 课堂检测 课堂小结 作业布置 导入新课 探索新知 思考下列命题的否定，完成下表： 典例分析 课堂检测 课堂小结 作业布置 导入新课 探索新知 原命题 命题的否定 (1) 所有的矩形都是平行四边形 (2) 每一个素数都是奇数 (3) ∀𝑥∈𝐑, 𝑥+|𝑥|≥0 并非每一个素数都是奇数，即存在一个素数不是奇数 并非所有的矩形都是平行四边形， 即存在一个矩形不是平行四边形 并非所有的𝑥∈𝐑, 𝑥+|𝑥|≥0,即∃𝑥∈𝐑, 𝑥+|𝑥|<0. 并非 ∀𝑥∈𝑀, 𝑝(𝑥),∃𝑥∈𝑀, ¬𝑝(𝑥)  ∀𝑥∈𝑀, 𝑝(𝑥) 全称量词命题的否定是存在量词命题 9 典例分析 课堂检测 课堂小结 作业布置 导入新课 探索新知 对含有一个量词的全称量词命题的否定, 有下面的结论： 全称量词命题： ∀𝑥∈𝑀, 𝑝(𝑥),  它的否定： ∃𝑥∈𝑀, ¬𝑝(𝑥). 也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题． 新知3.全称量词命题的否定： 10 思考下列命题的否定，完成下表： 典例分析 课堂检测 课堂小结 作业布置 导入新课 探索新知 原命题 命题的否定 (1) 存在一个实数的绝对值是正数 (2) 有些平行四边形是菱形 (3) ∃𝑥∈𝐑, 𝑥2−2𝑥+3=0 没有一个平行四边形是菱形， 即每一个平行四边形都不是菱形 不存在一个实数，它的绝对值是正数， 即所有实数的绝对值都不是正数 不存在𝑥∈𝐑, 𝑥2−2𝑥+3=0，即∀𝑥∈𝐑, 𝑥2−2𝑥+30. 不存在𝑥∈𝑀, 𝑝(𝑥) 即∀𝑥∈𝑀,  ¬𝑝(𝑥) ∃𝑥∈𝑀, 𝑝(𝑥)  存在量词命题的否定是全称量词命题 11 对含有一个量词的存在量词命题的否定, 有下面的结论： 存在量词命题： ∃𝑥∈𝑀, 𝑝(𝑥),  它的否定： ∀𝑥∈𝑀, ¬𝑝(𝑥). 也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题． 典例分析 课堂检测 课堂小结 作业布置 导入新课 探索新知 新知4.存在量词命题的否定： 例1.判断下列全称量词命题的真假. (1) 所有的素数都是奇数; (2) ∀xR, |x|+1≥1 (3) 对每一个无理数x,x2也是无理数 解：(1）因为2是素数,但不是奇数.所以全称量词命题(1)是假命题 (2) ∀xR,|x|≥0,从而|x|+1≥1，所以全称量词命题(2)是真命题 (3)因为是无理数,但=2是有理数，所以全称量词命题(3)是假命题 课堂检测 课堂小结 作业布置 导入新课 典例分析 探索新知 题型一.判断全称量词命题和存在量词命题的真假 例2.判断下列存在量词命题的真假 (1)有一个实数x,使x2+2x+3=0;(2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线;(3)有些平行四边形是菱形. 解：(1)由于-12=-8<0,因此使x2+2x+3=0的实数x不存在. 所以,存在量词命题(1)是假命题. (2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线是互相平行的,因此不存在两个相交的直线垂直于同一条直线.存在量词命题(2)是假命题. (3)正方形既是平行四边形又是菱形，存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题。 判断全称量词命题真假：全真则真，一假则假 判断存在量词命题真假：一真则真，全假则假 课堂检测 课堂小结 作业布置 导入新课 典例分析 探索新知 题型一.判断全称量词命题和存在量词命题的真假 14 变式1. 下列命题是全称量词命题且是真命题的是（ ） A. ∃x, x>0 B.∀x, |x| C.存在平行四边形是菱形 D.∀n, 2n+1是奇数. 课堂检测 课堂小结 作业布置 导入新课 典例分析 探索新知 题型一.判断全称量词命题和存在量词命题的真假 D 例3.将下列命题用量词符号表示，并判断真假． (1)实数的平方是非负数； (2)存在有理数的平方不是有理数； (3)方程ax2＋2x＋1＝0一定有实数根； 解：(1)∀x∈R，x2≥0.真命题． (2) ∃ x∈N，x2 N.假命题． (3) ∀x∈R ，ax2＋2x＋1＝0．假命题 课堂检测 课堂小结 作业布置 导入新课 典例分析 探索新知 题型二.用符号语言表示命题 变式2.命题“ 对于某些正数x，有x＋1＞0”符号表述正确的是（ ） A. ∃x>0，x＋1＞0 B. ∀ x>0，有x＋1<0 C. ∀ x>0，x＋1＞0 D. x>0，有x＋1＞0 课堂检测 课堂小结 作业布置 导入新课 典例分析 探索新知 题型二.用符号语言表示命题 A 例4.写出下列全称量词命题的否定： (1) 所有能被3整除的整数都是奇数; (2) 每一个四边形的四个顶点在同一个圆上; (3) 对任意x∈Z, x2 的个位数不等于3. 解：（1）该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数. （2）该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上． (3) 该命题的否定：∃𝑥∈𝐙, 𝑥2 的个位数等于3. 课堂检测 课堂小结 作业布置 导入新课 典例分析 探索新知 题型三.全称量词命题和存在量词命题的否定 例5.写出下列存在量词命题的否定： (1) ∃𝑥∈𝐑, 𝑥+2≤0; (2) 有的三角形是等边三角形; (3) 有一个偶数是素数. 解：(1) 该命题的否定：∀𝑥∈𝐑, 𝑥+2>0. （2）该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形． （3）该命题的否定：任意一个偶数都不是素数． 课堂检测 课堂小结 作业布置 导入新课 典例分析 探索新知 题型三.全称量词命题和存在量词命题的否定 19 变式3.写出下列量词命题的否定. 存在两个等边三角形不相似; (2) ∃x, x>9； (3) 有的平行四边形不是正方形； (4) ∃n, 2n是偶数. 解:(1)任意两个等边三角形都相似; (2) ∀ x, x； (3) 所有的平行四边形都是正方形； (4) ∀ n, 2n不是偶数. 课堂检测 课堂小结 作业布置 导入新课 典例分析 探索新知 题型三.全称量词命题和存在量词命题的否定 例6.写出下列命题的否定, 并判断真假： (1) 任意两个等边三角形都相似; (2) ∃𝑥∈𝐑, 𝑥2−𝑥+1=0. 解：(1)该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似．因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似．因此这是一个假命题． (2)∀x∈R，x2-x＋10(a＜1)．因为对任意的x ∈R，x2-x＋1=(x这是一个真命题. 课堂检测 课堂小结 作业布置 导入新课 典例分析 探索新知 题型三.全称量词命题和存在量词命题的否定 命题与命题的否定一真一假，不能同真同假 例7. 课堂检测 课堂小结 作业布置 导入新课 典例分析 探索新知 题型四.求参问题 1. 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假: （1）每个四边形的内角和都是360°； （2）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直； （3）任何实数都有算术平方根； （4）∀x∈{ x｜x是无理数}，x３是无理数； （2）至少有一个整数n，使得n2＋n为奇数； （3）∃x∈{y｜y是无理数｝，x2是无理数． 全称量词命题，真命题 导入新课 典例分析 作业布置 探索新知 课堂检测 课堂小结 全称量词命题，假命题 全称量词命题，假命题 存在量词命题，真命题 存在量词命题，假命题 存在量词命题，真命题 2.写出下列命题的否定,并判断真假 (1)∀n∈Z，n∈Q； (2)任意奇数的平方还是奇数； (3)每个平行四边形都是中心对称图形； (4)有些三角形是直角三角形；（5）有些梯形是等腰梯形； (6)存在一个实数，它的绝对值不是正数． 解：(1)∃n∈Z，n∉Q. 假命题 (2)存在一个奇数的平方不是奇数．假命题 (3)存在一个平行四边形不是中心对称图形．假命题 导入新课 典例分析 作业布置 探索新知 课堂检测 课堂小结 （6）任意实数的绝对值是正数；假命题 （4）所有三角形都不是直角三角形；假命题 （5）所有梯形都不是等腰梯形；假命题 3. 已知命题“∃x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”为真命题，求实数a的取值范围． 解：因为“∃x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”为真命题， 即关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有实数根． 所以a＝0，或a≤1且a≠0，所以a≤1. 所以实数a的取值范围是{a|a≤1}． 导入新课 典例分析 作业布置 探索新知 课堂检测 课堂小结 导入新课 典例分析 课堂检测 课堂小结 作业布置 探索新知 26 全称量词与存在量词 全称量词与全称量词命题 全称量词：任意，每一个，所有的,… 全称量词命题：对M中任意一个x,p(x)成立 存在量词与存在量词命题 存在量词：存在一个，至少有一个，有些… 存在量词命题：存在M中的元素x,p(x)成立 判断全称量词命题与存在量词命题 全称量词命题判断：全真则真，一假则假 存在量词命题判断：一真则真，全假则假 全称量词命题和存在量词命题的否定 全称量词命题（∀𝑥∈𝑀, 𝑝(𝑥)）的否定：∃𝑥∈𝑀, ¬𝑝(𝑥) 全称量词命题（∃𝑥∈𝑀, ¬𝑝(𝑥)）的否定：∀𝑥∈𝑀, 𝑝(𝑥) 1.作业本：已知命题“∃x∈R，使x2＋ax＋1＝0”（1）判断命题为全称量词命题还是存在量词命题，并写出命题的否定 （2）若命题为真命题，求实数a的取值范围． 2.完成课本习题1.5 导入新课 典例分析 课堂检测 探索新知 课堂小结 作业布置 谢谢观看 解：令 ,则, 因为 ,不等式 恒成立, 所以只要 即可.所以所求 的取值范围是 . $$