1.3.2空间向量运算的坐标表示 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.3.2空间向量运算的坐标表示 掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用 2.掌握空间向量的模夹角以及两点间距离公式，能运用公式解决问题 学习目标 2 阅读课本19-21页，思考并完成以下问题 问题1: 有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？ 问题2 平面向量的坐标运算可以帮助我们解决平行、垂直等位置关系以及距离、角度等度量问题.空间向量的坐标运算是否仍然可以帮助我们解决这些问题？ 有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗? 探究 平面向量的坐标运算 空间向量的坐标运算 已知 ,则 (1) (2) (3) (4) 已知 ,则 (1) (2) (3) (4) 空间向量运算的坐标表示 由上述可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的． 下面证明：空间向量数量积运算的坐标表示 设 为空间的一个单位正交基底,则： 所以, 得到 利用向量数量积的分配律以及 课堂练习 练习.已知a=(3，2，5)，b=(1，5，1)， (1)a+b; (2)6a ; (3)3ab; (4)b 解析：( 1) a+b =(31，25，51)=(2，7，4). ( 2 )6a =(6×(3)，6×2，6×5)= (18，12，30). ( 3 ) 3a-b = ( 9，6，15)( 1，5，1)=( 10，1，16). (4) a· b=( 3，2，5)·( 1，5，1)=3+105=2. 空间向量运算的坐标表示 类似平面向量运算的坐标表示，我们还可以得到: 平面向量的坐标运算 空间向量的坐标运算 平行 垂直 模长 角度 已知 ,则 当 时 已知 ,则 当 时 课堂练习 练习.已知a=(2，1，3)，b=(4，2，x)，且b，求x的值。 解析：因为ab ,所以a· b=0, 所以82+3x =0,解得x =. 空间向量运算的坐标表示 你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗? 探究 如图建立空间直角坐标系O，设P1(1，1，1)，P2(2，2，2）是空间中任意两点，则 =-=(2-1，2-1，2-1). 于是||= = 所以P1P2=||=. 这就是空间两点间的距离公式. 课堂练习 练习.在z轴上求一点M,使点M到点A(1,0,2)与点B(1,3,1)的距离相等. 解析：由点M在z轴上，可设 M(0，0，a)，又因为A(1，0，2 )，B( 1，3，1 )，|MA|=|MB|, 所以= 解得a=3.所以M(0，0，3). 例题精讲 例2 如图，在正方体ABCD –A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证EFDA1 证明:不妨设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则E(1,1,)，F (, ,)， 所以= (- ，- ，)， 又A1(1，0，1)，D (0，0，0), 所以=(1，0，1). 所以·=(- ，- ，)·(1，0，1)=0. 所以 ，即 EF DA1. 例3 如图，在棱长为1的正方体ABCD –A1B1C1D1中，M为BC1的中点,E1，F1分别在棱A1B1，C1D1上，B1E1= A1B1,D1F1=C1D1. (1)求AM的长. (2)求BE1与DF1所成角的余弦值. 解:(1)建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则点A的坐标为(1，0，0)，点M的坐标为(，1，). 于是AM== 例题精讲 解:(2)由已知得B(1,1,0)，E1(1,,1)，D(0,0,0)，F(0,,1) 所以=(1,,1)(1,1,0)=(0,,1)，= =(0,,1)(0,0,0)=(0,,1)，=. 所以=00+()+11= cos== 所以，BE1与DF1所成角的余弦值是 简单的立体几何问题 平面向量运算的坐标表示 空间向量运算的坐标表示 数形结合 小结 1：如图,在正方体 ABCD -A1B1C1D1中，M是AB的中点，求DB1与CM 所成角的余弦值. 当堂诊学 答案 解析 3.如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长． 解 2.如图，在棱长为1的正四面体OABC中，点M，N分别在线段OA，BC上，且2OM＝MA，CN＝2NB，则|eq \o(MN,\s\up16(→))|＝(　　) A.eq \f(\r(6),3) B．eq \f(2,3) C.eq \f(\r(5),3) D．eq \f(2\r(3),9) 解析　设eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，eq \o(OC,\s\up16(→))＝c，点M，N分别在OA，BC上，且2OM＝MA，CN＝2NB，∴eq \o(OM,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(OA,\s\up16(→))＝eq \f(1,3)a，eq \o(ON,\s\up16(→))＝eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(BN,\s\up16(→))＝eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \f(1,3)(eq \o(OC,\s\up16(→))－eq \o(OB,\s\up16(→)))＝eq \f(2,3)b＋eq \f(1,3)c，∴eq \o(MN,\s\up16(→))＝eq \o(ON,\s\up16(→))－eq \o(OM,\s\up16(→))＝－eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b＋eq \f(1,3)c，又正四面体OABC的棱长为1，∴|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝eq \f(π,3)，∴|eq \o(MN,\s\up16(→))|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)a＋\f(2,3)b＋\f(1,3)c))2＝eq \f(1,9)a2＋eq \f(4,9)b2＋eq \f(1,9)c2－eq \f(4,9)a·b＋eq \f(4,9)b·c－eq \f(2,9)a·c＝eq \f(1,9)＋eq \f(4,9)＋eq \f(1,9)－eq \f(4,9)×eq \f(1,2)＋eq \f(4,9)×eq \f(1,2)－eq \f(2,9)×eq \f(1,2)＝eq \f(5,9)，∴|eq \o(MN,\s\up16(→))|＝eq \f(\r(5),3).故选C. 解　eq \o(AC1,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CC1,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(AA1,\s\up16(→))， 又AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，∴eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AD,\s\up16(→))＝0. ∴|eq \o(AC1,\s\up16(→))|2＝|eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(AA1,\s\up16(→))|2＝(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(AA1,\s\up16(→)))2＝eq \o(AB,\s\up16(→))2＋eq \o(AD,\s\up16(→))2＋eq \o(AA1,\s\up16(→))2＋2eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AD,\s\up16(→))＋2eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AA1,\s\up16(→))＋2eq \o(AD,\s\up16(→))·eq \o(AA1,\s\up16(→))＝|eq \o(AB,\s\up16(→))|2＋|eq \o(AD,\s\up16(→))|2＋|eq \o(AA1,\s\up16(→))|2＋2|eq \o(AB,\s\up16(→))||eq \o(AD,\s\up16(→))|cos90°＋2|eq \o(AB,\s\up16(→))|·|eq \o(AA1,\s\up16(→))|cos60°＋2|eq \o(AD,\s\up16(→))||eq \o(AA1,\s\up16(→))|cos60°＝12＋22＋32＋2×1×2×cos90°＋2×1×3×cos60°＋2×2×3×cos60°＝1＋4＋9＋3＋6＝23，∴AC1＝eq \r(23). 4如图，在棱长为3的正方体中，点在线段上，且，为上一点，若平面，试确定点的位置. $$