21.2.2 公式法 暑期预习讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册

2025-2026学年人教版数学九年级上册 21.2.2 公式法 暑期预习讲义 思维导图 学习目标 1. 掌握一元二次方程求根公式的推导过程 2. 能熟练运用公式法解一元二次方程 3. 理解判别式的概念及其与根的关系 4. 能根据判别式判断一元二次方程根的情况 5. 能解决与公式法相关的简单实际问题 知识点梳理 1. 求根公式推导 · 通过配方法将一般形式ax²+bx+c=0(a≠0)变形 · 推导步骤：移项→二次项系数化1→配方→开平方→求解 · 最终得到求根公式：x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a) 2. 公式法解题步骤 · 第一步：将方程化为标准形式ax²+bx+c=0 · 第二步：确定系数a、b、c的值 · 第三步：计算判别式Δ=b²-4ac · 第四步：根据Δ值代入求根公式求解 · 第五步：写出方程的解 3. 判别式Δ的应用 · Δ>0时，方程有两个不相等的实数根 · Δ=0时，方程有两个相等的实数根 · Δ<0时，方程无实数根 · 特殊情形：当Δ为完全平方数时，方程有有理数根 4. 公式法适用性 · 适用于所有一元二次方程 · 特别适合系数较大或不易因式分解的方程 · 当Δ≥0时，总能求出实数解 易错点提醒 1. 系数确定错误：容易混淆a、b、c的符号和位置 2. 判别式计算错误：常见Δ=b²-4ac写成Δ=b²-4ac或漏掉负号 3. 公式代入错误：忘记负号或漏掉分母2a 4. 开方运算错误：对负数开平方或漏掉±号 5. 结果化简不彻底：未约分到最简形式 6. 忽视判别式分析：直接套公式而不先判断Δ的情况 7. 书写不规范：根的表达式中括号使用不当 知识点小结 1. 核心公式：x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)（a≠0） 2. 关键概念：判别式Δ=b²-4ac决定根的性质 3. 解题步骤：标准化→定系数→算Δ→代公式→写结果 4. 数学思想：化归思想（将方程转化为可解形式） 5. 重点掌握：准确使用求根公式和判别式分析 6. 注意事项： · 使用前必须确保方程是一元二次方程（a≠0） · 计算Δ是必要步骤，可预判解的情况 · 结果要化简为最简形式 · 实际问题中要检验解的合理性 注：公式法是解一元二次方程的通用方法，要重点理解公式推导过程，掌握判别式的应用。解题时建议先观察方程特点，当其他方法不适用时优先考虑公式法。特别注意计算过程中的符号处理和运算准确性。 巩固练习 一、选择题 1．若关于的一元二次方程有两个不等的实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 2．已知b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个实数根，则ab的取值范围为（　　） A．ab≥ B．ab C．ab≥ D．ab 3．当 满足 时，方程 的根是（　　） A． B． C． D． 4．一元二次方程 的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 5．若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为（　　） A． B．且 C．且 D． 6．已知方程，当时，方程的解为（　　） A． B． C． D． 7．已知a是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0较大的实数根，则对a的值估计正确的是（　　） A．0＜a＜1 B．1＜a＜2 C．2＜a＜3 D．3＜a＜4 8．若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是（ ） A． 且 B． C． D． 且 二、填空题 9．关于的方程有两个不相等的实数根，则的最小整数值为　 　． 10．若关于 x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　 　. 11．古希腊数学家丢番图在《算术》中提到了一元二次方程的问题，欧几里得的《原本》中记载了形如的方程的图解法是：如图，画，便，，，再在斜边AB上截取，则该方程的一个正实数根等于图中线段　 　的长． 12．若一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是　 　. 13．关于的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则的取值范围为　 　． 14．定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根。 其中正确的有　 　（填正确的序号） 15．若，则的值为　 　． 16．将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且．则的值为　 　． 、解答题 17．关于的方程 （1）当方程有一个根等于时，求另一个根． （2）取何值时，方程没有实数根？ 18．设a，b为实数，关于x的方程 无实数根，求代数式 的值. 19．阅读下面的例题：分解因式：． 解：令得到一个关于的一元二次方程， ， ． 解得，； ． 这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题： （1）已知代数式对应的方程解为和7，则代数式分解后为 　 　； （2）将代数式分解因式． 20．如图是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED的边长，显然AE= c，我们把关于x的一元二次方程ax2+ cx+b=0称为“弦系一元二次方程”。 请解决下列问题： （1）①方程 x2+ x+ =0是不是“弦系一元二次方程”：　 　 (填“是”或“否”)： ②写出一个“弦系一元二次方程”：　 　； （2）求证：关于x的“弦系一元二次方程”ax2+ cx+b=0必有实数根； （3）当a>b时，直接写出关于x的“弦系一元二次方程”ax2+ cx+b=0的求根公式：x1=　 　，x2= 　 　。 （4）若x=-1是“弦系一元二次方程”ax2+ cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是6 ，求△MBC面积。 参考答案 1．D 2．B 3．D 4．A 5．B 6．C 7．C 8．A 9．1 10．m<2且m≠1 11．AD 12． 13．或． 14．①②③ 15． 16． 17．（1）解：关于的方程有一个根等于， ， 解 得：， 原 方 程 为， 解得：，， 当方程有一个根等于时，另一个根为。 （2）解：方程没有实数根， ， 解 得 ： 18．解： ， 去分母：x(x-1)( )= ， x2+(x-1)2=a+bx， 2x2-(b+2)x+1-a=0， ∵方程无实根， ∴①当△=b2-4ac=(b+2)2-8(1-a)=b2+4b-4+8a＜0， ∴8a+4b＜4-b2＜4 ∴8a+4b+ =8a+4b-(8a+4b-5)=5. ②当△≥0，有x(x-1)=0， ∴x=0，x=1， ∴当x=0， 2×0-(b-2)×0+1-a=0， 解得a=1， ∴x=1， 2×1-(b+2)×1+1-a=0， 解得b=0， ∴ =8+3 =11. 19．（1） （2） 20．（1）是；3x2+5 x+4=0 （2）解：证明：根据题意，得△=( c)2-4ab=2c2-4ab ， ∵a2+b2=c2， ∴△=2c2-4ab=2(a2+b2)-4ab=2(a-b)2≥0， ∴弦系一元二次方程必有实数根； （3）； （4）解：当x=-1时，有a- c+b=0，即a+b= c， ∵2a+2b+ c=6 ，即2(a+b)+ c=6 ， ∴3 c=6 ， ∴c=2， ∴a2+b2=c2=4，a+b=2 ， ∵(a+b)2=a2+b2+2ab ， ∴ab=2， ∴S△ABC= ab=1。 学科网（北京）股份有限公司 $$