第三章 概率的进一步认识 章末测试-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2025-2026学年北师大版数学九年级上册 第三章 概率的进一步认识 章末测试 考试时间：90分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 一、选择题（共8小题，共32分） 1．一个小球在如图所示的地面上自由滚动，小球停在阴影区域的概率为（　　） A． B． C． D． 2．数学家皮尔逊为了研究概率问题，进行了大量重复抛硬币试验，并用频率来估计概率，当他把一枚硬币抛掷 24000次时，则下列正面朝上的次数与该实验结果比较符合的是（　　） A．11011 B．12012 C．13013 D．14014 3．在一个不透明的箱子里装有个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在，那么可以估算出的值为（　　） A．8 B．12 C．15 D．20 4．一个不透明的袋子中装有个分别标有化学元素符号，，，的小球，这些小球除元素符号外无其他差别，从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“”（一氧化碳）的概率是（　　） A． B． C． D． 5．在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “有2个人同月过生日”的次数 80 229 392 779 1251 1562 “有2个人同月过生日”的频率 0.8 0.763 0.784 0.779 0.782 0.781 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是（　　） A．0.80 B．0.79 C．0.78 D．0.77 6．如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图由此她估计此不规则图案的面积大约为（　　） A． B． C． D． 7．“田忌赛马”的故事家喻户晓，若田忌出马的顺序一直是下等马、中等马、上等马（上等马跑得最快，中等马次之，下等马跑得最慢），而齐王随机出马，则田忌获胜（三局两胜则为胜）的可能性是（　　） A． B． C． D． 8．如图1所示，是地理学科实践课上第一小组同学在一张面积为的长方形卡纸上绘制的山东省政区图（图中阴影部分），他们想了解该图案的面积是多少，经研究采取了以下办法：将长方形卡纸水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果）．他们将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（共8小题，共24分） 9．有数学4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是5的倍数的概率是　 　． 10．如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是　 　． 11．把三张形状、大小相同但画面不同的风景图片，都按同样的方式剪成相同的两片，然后堆放到一起混合洗匀，从这堆图片中随机抽出两张，这两张图片恰好能组成一张原风景图片的概率是　 　． 12．为了全面推进素质教育，助力学生健康成长，公能学校开设了多门选修课程．其中南南和开开想从刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊中选修一门课程，两名同学恰好选修同一门课程的概率为　 　． 13．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为　 　． 14．如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别是120°和240°．让转盘自由转动1次，指针落在白色区域的概率是　 　． 15．在不透明袋子里装有颜色不同的8个球，这些球除颜色外完全相同．每次从袋子里摸出1个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.25，估计袋中白球有　 　个． 16． 玉米是山西省主要农作物之一.某种业公司在选育玉米种子时，在同一条件下对某个品种的玉米种子进行了发芽试验，统计数据如下表： 试验种子粒数 100 200 500 1000 2000 5000 发芽种子粒数 92 188 476 951 1900 4752 据此估计该品种的玉米种子发芽的概率为　 　.（结果精确到0.01） 三、解答题（共5小题，共44分） 17．一个不透明口袋里装有 4 个大小完全相同的球，其中红球 2 个，白球 2 个。 （1）从中任取一个球，求摸到红球的概率。 （2）若第一次从口袋中任意摸出 1 个球，不放回搅匀，第二次再摸出 1 个球。用列表或画树状图的方法求出刚好摸到一个红球和一个白球的概率。 18．中华文化之瑰宝——＂四大名著＂，即《水汻传》，《三国演义》，《西游记》和《红楼梦》，在中国文学史上有着极其重要的地位． （1）若从这四大名著中随机抽取一套，恰好抽到《西游记》的概率是　 　． （2）若从这四大名著中随机抽取两套（先随机抽取一套，不放回，再随机抽取另一套），请用画树状图或列表的方法，求抽到的两套恰好是《水汻传》和《三国演义》的概率。 19．学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． （1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； （2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 20．“宫、商、角、徵、羽”是我国五声音调中五个不同音的名称，最早的“官商角徵羽”的名称见于距今2600余年的春秋时期，在《管子·地员篇》中，有采用数学运算方法获得“宫、商、角、徵、羽”五个音的科学办法，这就是中国音乐史上著名的“三分损益法”．某音乐玩具的大致结构如图所示，音乐小球从中间A处沿轨道进入周围的5个音槽内，就可以发出相应的声音，且小球每次进入每个音槽内的可能性均相同，现有一个音乐小球从A处先后两次进入音槽． （1）第一次发出“羽”音的概率为__________； （2）请用列表法或画树状图的方法求这两次先发出“角”音，再发出“徵”音的概率． 21．某市今年中考理化实验操作考试，采用学生抽签方式决定自己的考试内容，规定：每位考生必须在三个物理实验（用、、表示）和三个化学实验（用、、表示）中各抽取一个进行考试，小刚在看不到签的情况下，从中各随机抽取一个． （1）小刚抽到物理实验的概率是______． （2）用“列表法”或“画树状图法”求小刚抽到物理实验和化学实验（记作事件）的概率是多少? 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答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：整个图形面积， 阴影部分面积， ∴小球停在阴影区域的概率， 故答案为：B． 【分析】先求出所有符合条件的图形的面积，再求出总面积，最后利用概率公式求解即可. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：正面向上的概率为0.5， ∴掷一枚均匀的硬币24000次 ，正面朝上的次数约为 12012 . 故答案为：B. 【分析】根据大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率解答即可. 3．【答案】A 【解析】【解答】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在， ∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为， ∴， ∴． 经检验， 是方程的解，且符合题意． 故答案为：A。 【分析】用红球的个数除以箱子里球的总数，然后令其等于频率，最后再进行求解即可。 4．【答案】D 【解析】【解答】解：根据题意列表如下： H O C N H O C N 共有12种等可能出现的结果，所标元素能组成“CO”（一氧化碳）的有种， 所标元素能组成“CO”（一氧化碳）的概率为， 故答案为：D． 【分析】此题是抽取不放回类型，根据题意利用列表法列举出所有等可能的结果数，由表格可知：共有12种等可能出现的结果，所标元素能组成“CO”（一氧化碳）的有2种，从而根据概率公式求解即可. 5．【答案】C 【解析】【解答】解：由表格可知，估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是0.78； 故选C． 【分析】根据频率稳定性定理：用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．据此进行求解即可． 6．【答案】A 【解析】【解答】解：假设不规则图案面积为， 由已知得：长方形面积为， 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：， 当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，故由折线图可知， 综上有：， 解得． 故答案为：A． 【分析】假设不规则图案面积为，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程，解方程即可求出答案. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：当齐王随机出马时，双方对阵情况如下： 齐王的马 上中下 上下中 中上下 中下上 下上中 下中上 田忌的马 下中上 下中上 下中上 下中上 下中上 下中上 输赢情况 平局 田忌胜 齐王胜 平局 平局 平局 由上表可知，齐王出战顺序共有6种等可能的情况，只有顺序为上、下、中时，田忌获胜，因此田忌获胜（三局两胜则为胜）的可能性是． 故答案为：D． 【分析】先利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。 8．【答案】B 【解析】【解答】解：由图可知，随着试验次数的增加，频率稳定在左右， ∴， ∴不规则图案的面积为； 故答案为：B． 【分析】首先观察折线图，可以看出随着试验次数的增加，频率稳定在左右， 利用频率估算出概率可得出小球落在不规则图案上的概率为0.65，再根据 长方形卡纸 的面积为24cm2，利用几何概率的计算公式，即可求解 ． 9．【答案】 【解析】【解答】解： ， 三位数有6个，是5的倍数的三位数是：465，645； 三位数是5的倍数的概率为：； 故答案为：． 【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出是5的倍数的结果，再根据概率公式即可求出答案. 10．【答案】 【解析】【解答】解：∵ 该图形为被分成八个面积相等的三角形的正八边形，其中有三个阴影三角形， ∴阴影部分的面积占比为， ∴指针落在阴影区域的概率为， 故答案为：． 【分析】求出阴影区域的面积和整个图形的面积，然后求出阴影面积的占比即可得出指针落在阴影部分的概率。 11．【答案】 【解析】【解答】解：设三张风景图片分别剪成相同的两片为：A1，A2，B1，B2，C1，C2； 如图所示： ， 所有的情况有36种，符合题意的有6种，故这两张图片恰好能组成一张原风景图片的概率是： ． 故答案为： 【分析】将三张风景图剪完后的情况，用树状图列出，找到两张图片可恰好组成一张原风景图的情况，求出概率。 12．【答案】 【解析】【解答】解：用、、、分别表示刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊， 画树状图如下， ∴共有种等可能的结果，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为， ∴他们两人恰好选修同一门课程的概率为：． 【分析】先画树状图，再求出共有种等可能的结果，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为，最后根据概率公式计算求解即可. 13．【答案】240 【解析】【解答】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在黑色阴影的概率为， ∴黑色阴影的面积占整个面积的， ∴黑色阴影的面积为， 故答案为：240 【分析】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，用400乘以0.6，即可求出阴影部分面积。 14．【答案】． 【解析】【解答】解：由图得：白色扇形的圆心角为120°， 故转动一次，指针落在白色区域的概率为． 故答案为． 【分析】 简单事件的概率，可直接计算白色区域在圆中的占比即可． 15．【答案】2 【解析】【解答】解：设袋中白球有个， 根据题意得：＝0.25， 解得：＝2， 故袋中白球有2个， 故答案为：2. 【分析】根据概率的公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝，结合题意计算即可求解。 16．【答案】0.95 【解析】【解答】解：由表格得出： 所以该品种的玉米种子发芽的频率接近于0.95，则该种子发芽的概率为0.95。 故答案为：0.95. 【分析】分别计算出发芽率，根据种子的粒数从100粒增加到5000粒时，种子发芽的频率接近于0.95，所以估计种子发芽的概率为0.95。 17．【答案】（1）解：∵一个不透明口袋里装有4个大小完全相同的球，其中红球2个，白球2个， ∴从中任取一个球，求摸到红球的概率是 （2）解： （列表亦可） 共有 12 种等可能的结果，同时摸两个球恰好是两个红球的有 2 种情况， 两次摸到的球都是红球的概率为 【解析】【分析】(1)直接根据概率公式求解即可； (2)根据概率公式画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案. 18．【答案】（1） （2）解：从这四本书籍中随机抽取两本的情况列表如下（记四本书籍依次为 ， - - - - 共有 12 种等可能结果，其中《水汻传》和《三国演义》被选中的结果有 2 种， 抽到的两本恰好是 《水汻传》和《三国演义》的概率为 . 【解析】【解答】解：(1)从这四大名著中随机抽取一套，恰好抽到《西游记》的概率是 故答案为： 【分析】(1)直接利用概率公式求解即可； (2)由表格得到所有的12种等可能的结果数，找出抽到的两套恰好是《水汻传》和《三国演义》的结果数，然后根据概率公式求解. 19．【答案】（1）； （2）解：画树状图如下： ∴共有6种（和为4的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4的结果数有3种， ∴小明获胜的概率为，小红获胜的概率为， ∴小明和小红获胜的概率相同， ∴该游戏对双方公平． 【解析】【解答】解：（1）∵一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同， ∴小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是， 故答案为：. 【分析】（1）直接利用概率公式进行求解； （2）先画出树状图得到所有符合题意的等可能结果数，从而得其中两次摸到的数字之和大于4的结果数以及两次摸到的数字之和小于4的结果数，进而利用概率公式计算出两人获胜的概率即可得到结论. （1）解：∵一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同， ∴小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有6种（和为4的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种， ∴小明获胜的概率为，小红获胜的概率为， ∴小明和小红获胜的概率相同， ∴该游戏对双方公平． 20．【答案】（1） （2）根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有25种等可能的结果，其中先发出“角”音，再发出“徵”音的结果只有1种， 先发出“角”音，再发出“徵”音的概率为． 【解析】【解答】解：（1）总共有“宫、商、角、徵、羽”五个音， ∴第一次发出“羽”音的概率为， 故答案为：． 【分析】（1）利用概率公式即可求得第一次发出“羽”音的概率； （2）先画出树状图进行分析，得到所有机会均等的结果总共有25种，再找出先发出“角”音，再发出“徵”音的结果又1种，即可得出答案． （1）解：（1）总共有“宫、商、角、徵、羽”五个音， ∴第一次发出“羽”音的概率为， 故答案为：． （2）根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有25种等可能的结果，其中先发出“角”音，再发出“徵”音的结果只有1种， 先发出“角”音，再发出“徵”音的概率为． 21．【答案】（1） （2）解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，小刚抽取的所有等可能的结果共有9种，其中，小刚抽到物理实验和化学实验的结果有1种， 所以小刚抽到物理实验和化学实验的概率是， 答：小刚抽到物理实验和化学实验的概率是。 【解析】【解答】（1）解：因为每位考生必须在三个物理实验中抽取一个进行考试， 所以小刚抽到物理实验的概率是， 故答案为：。 【分析】（1）根据简单事件的概率公式：，代入数据即可求解。 （2）根据题干信息，画出树状图，然后再找出小刚抽取的所有等可能结果，再找出小刚抽到物理实验和化学实验的所有结果，最后再根据概率公式，进行运算即可。 （1）解：因为每位考生必须在三个物理实验中抽取一个进行考试， 所以小刚抽到物理实验的概率是， 故答案为：． （2）解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，小刚抽取的所有等可能的结果共有9种，其中，小刚抽到物理实验和化学实验的结果有1种， 所以小刚抽到物理实验和化学实验的概率是， 答：小刚抽到物理实验和化学实验的概率是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$