精品解析：2025年陕西省咸阳市永寿县豆家中学中考第六次模拟考试数学试题

2025年陕西省初中学业水平考试模拟试题数学 注意事项： 1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5.考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算：（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是某个几何体的表面展开图，则该几何体是（ ） A. 三棱柱 B. 圆柱 C. 四棱柱 D. 圆锥 3. 如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知一次函数与正比例函数的图象交于点，则的值为（ ） A. 1 B. C. 4 D. 6 6. 如图，在中，，将直角边绕点C逆时针旋转至，连接，且A、B、D三点共线，若，则的长为（ ） A. B. C. 6 D. 2 7. 如图，内接于，连接、，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数（a、b为常数，且）的图象经过点，其顶点在第三象限，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 因式分解：______． 10. 某工厂加工一批八角螺帽，其轮廓是一个正八边形，如图所示，则的度数是______． 11. 九连环作为一种中国传统民间玩具，是由九个完全一样的圆环和中间的直杆连接而成，其俯视图可以看成九个水平摆放且间距一样的圆环，如图所示，若相邻两个圆环之间重叠部分的宽度均为a，一个圆环的直径为b，则整个九连环的宽度可以表示为_______．（用含a，b的代数式表示） 12. 已知点与点关于y轴对称，若某一反比例函数的图象经过点B，则这一反比例函数的表达式为______． 13. 如图，在矩形中，，，点E在边上，且，F是边上一动点，将沿直线折叠得到，若点B的对应点恰好落在矩形的对角线上，则的长为______． 三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程） 14. 计算；， 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 解方程：． 17. 如图，已知，点P在射线上．请用尺规作图法，在射线上求作一点Q，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在和中，，，．求证：． 19. 中国基础建设快速发展，各地修建了许多高速公路，带动了当地的经济发展，提高了人们的生活水平．某市招标建设一段长为14千米的无桥梁高速公路路基，现有A，B两家公司竞标了这项工程，已知A公司每天能修建路基0.5千米，B公司每天能修建路基1千米，若由A，B两家公司合作完成任务，且B公司的工作时间比A公司工作时间的2倍多4天，则A公司的工作时间为多少天？ 20. 现有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋中装有2个小球，它们分别写有英文字母A、C，乙袋中装有3个小球，它们分别写有英文字母E、G、H，这些球除所写字母不同外其余完全相同． （1）将乙袋摇匀，然后从乙袋中随机取出一个小球，则所写字母恰好是元音字母的概率是____； （2）小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的甲、乙两袋中各随机取出一个小球，取出的这两个小球，若所写字母一个是元音字母，另一个是辅音字母，则小华获胜；若所写字母都是辅音字母，则小林获胜，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平． 21. 一个阳光明媚的午后，小明游玩期间，想测量一座信号塔的高度，出于安全考虑，小明不能到达信号塔的正下方，于是他有了以下测量方案：如图，他在地面上的点D处竖立一根高为米的标杆，在点C处用测角仪测得信号塔顶端A处的仰角为，某一时刻在太阳光的照射下，信号塔顶端A的影子落在地面上的点E处，标杆顶端C的影子落在地面上的点F处，并测得米，米，已知，，点B、D、E、F在同一条直线上，求这座信号塔的高度． 22. 某校在一年一届的“科技文化艺术节”活动的筹备过程中，需制作一些“国风团扇”，要求制作的“国风团扇”的数量y（把）与每个班的学生人数x（人）之间满足一次函数关系，已知当班级人数为42人时，团扇数为44把；当班级人数为53人时，团扇数为66把． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若该校八（2）班有48名学生，求该班学生需制作的“国风团扇”的数量． 23. 为提升学生的文化认同感，弘扬中华民族优秀传统文化，某校举办了以“赏中华诗词，寻文化基因，品文学之美”为主题的古诗词知识竞赛，现从八、九年级的参赛学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（分数用x表示，总分为100分，共分成四组：A.；B.；C.；D.），下面给出部分信息： 八年级10名学生的竞赛成绩为：69，72，72，79，85，88，91，91，91，97． 九年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：83，88，88，88，89． 八、九年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 83.5 86.5 a 九年级 83.5 b 88 九年级所抽学生的竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____，_____； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的古诗词竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校八年级的参赛学生有300人，九年级的参赛学生有240人，请估计该校八、九年级参赛学生的竞赛成绩达到“优秀”（）的共有多少人？ 24. 如图，为的外接圆，点C在上，为的直径，是的切线，且交的延长线于点E． （1）求证：； （2）连接，若，，求的长． 25. 春夏之交，正适合去山野间漫游，蓝天白云下，青山绿水间，择一处草地，支一顶帐篷，邀亲朋好友，闻清风，话家常，好不惬意.一款帐篷的支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用，它的形状可近似看作抛物线，该款帐篷在搭建时，张开的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，如图①是该款帐篷搭建完成的平面示意图，其张开的宽度，顶部高度，现以点A为坐标原点，所在直线为x轴，过点A且平行于的直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求该帐篷支架对应的抛物线的表达式； （2）如图②为一把椅子摆入该帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在该帐篷内沿方向摆放一排此款椅子，则最多可摆放多少把椅子？ 26. 问题提出 （1）如图①，内接于，边上的高经过圆心O，若，的半径为5，求的面积； 问题解决 （2）为培养学生的劳动实践能力，某校计划在学校东南角开辟出一块四边形劳动实践基地，将其分成三个三角形区域用于种植不同的果蔬，并将四边形的四周用栅栏保护，如图②，劳动实践基地为，，平分交对角线于点M，在点M处安装喷灌装置，且，为了尽可能地减少栅栏的使用，需使四边形的周长最小，你认为该学校的想法能否实现？若能，请求出四边形周长的最小值；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年陕西省初中学业水平考试模拟试题数学 注意事项： 1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5.考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数的加法，解题的关键是熟练掌握运算法则． 按照运算法则计算即可． 【详解】解： 故选： ． 2. 如图，是某个几何体的表面展开图，则该几何体是（ ） A. 三棱柱 B. 圆柱 C. 四棱柱 D. 圆锥 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体展开图的认识，根据这个展开图的上下底都是圆，侧面是长方形，得出这个几何体是圆柱，即可作答． 【详解】解：依题意，这个展开图的上下底都是圆，侧面是长方形， ∴得出这个几何体是圆柱， 故选：B． 3. 如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，先理解题意，结合两直线平行，同位角相等，得，得出即可． 【详解】解：如图所示； ∵直尺两边平行， ∴， ∴， 故选：B． 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的方法求解即可，掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 解得：， 故选：D． 5. 已知一次函数与正比例函数的图象交于点，则的值为（ ） A. 1 B. C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数的关系式， 将点的坐标代入可得点A的坐标，再将点的坐标代入一次函数可得答案. 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， ∴点. ∵一次函数的图象经过点， ∴， 解得. 故选：C. 6. 如图，在中，，将直角边绕点C逆时针旋转至，连接，且A、B、D三点共线，若，则的长为（ ） A. B. C. 6 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，解直角三角形，先结合将直角边绕点C逆时针旋转至，得，根据，把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵将直角边绕点C逆时针旋转至， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， 故选：D． 7. 如图，内接于，连接、，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质是解题的关键．根据圆周角定理求出，再根据圆内接四边形的性质求出． 【详解】解：由圆周角定理得：， 四边形为内接四边形， ， ， 故选：C． 8. 已知二次函数（a、b为常数，且）的图象经过点，其顶点在第三象限，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，根据图象过得出a，b的关系是解决问题的关键． 【详解】解：将点代入二次函数， 得， ， 二次函数的顶点坐标为，其中， 又二次函数的顶点在第三象限， ，， 代入，得，， 解得， 的取值范围是． 故选：A． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的因式分解，解题的关键是识别多项式符合完全平方公式的形式，直接利用公式分解． 观察多项式，其符合完全平方公式的形式，其中，，直接代入公式分解． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 某工厂加工一批八角螺帽，其轮廓是一个正八边形，如图所示，则的度数是______． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角性质，解题的关键是利用正多边形内角和公式求出内角，再结合邻补角关系计算锐角． 先根据正八边形内角和公式求出每个内角的度数，再通过内角与相邻外角的互补关系得到的度数． 【详解】解：正八边形的内角和为， 每个内角的度数为． 是相邻两边所在直线形成的锐角，与正八边形的内角互补， 故的度数为． 故答案为：． 11. 九连环作为一种中国传统民间玩具，是由九个完全一样的圆环和中间的直杆连接而成，其俯视图可以看成九个水平摆放且间距一样的圆环，如图所示，若相邻两个圆环之间重叠部分的宽度均为a，一个圆环的直径为b，则整个九连环的宽度可以表示为_______．（用含a，b的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查图形规律类，熟练掌握重叠后长度，重叠部分长度，并排长度的关系是解题的关键． 用九个圆环的长度减去重叠的部分的长度即可． 【详解】解：整个九连环的宽度可以表示为． 故答案为：． 12. 已知点与点关于y轴对称，若某一反比例函数的图象经过点B，则这一反比例函数的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征以及反比例函数表达式的求解，解题的关键是利用关于轴对称的点的坐标规律求出点坐标． 先根据关于轴对称的点的坐标特征求出点坐标，再代入反比例函数（为常数，）求出，进而得到反比例函数表达式． 【详解】解：已知点与点关于轴对称，则可得 ∴B(−4,−2)． 设反比例函数表达式为， 因为反比例函数图象经过点，将点坐标代入可得： 解得． 所以反比例函数表达式为． 故答案为：． 13. 如图，在矩形中，，，点E在边上，且，F是边上一动点，将沿直线折叠得到，若点B的对应点恰好落在矩形的对角线上，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查矩形与折叠问题，解直角三角形；设交于点L，由矩形的性质得，由点E在边上，求得，由翻折得垂直平分，则 ，推导出，由，求出，即可求出结果． 【详解】解：设交于点L， ∵四边形是矩形，，， ∴， ∵点E在边上，且， ∴， ∵将沿直线折叠得到，点B的对应点落在上， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程） 14. 计算；， 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用算术平方根的定义，绝对值的性质，负整数指数幂计算后再算加减即可． 【详解】解：原式 ． 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，原式 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先利用平方差公式，多项式除以单项式的法则进行计算，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后要检验根的正确性． 先确定方程的最简公分母，然后方程两边同乘最简公分母去分母化为整式方程，求解整式方程后检验所得的根是否为增根，从而确定原分式方程的解． 【详解】解： ，即． ， 解得． 把代入原方程的分母， 所以是原分式方程的解． 综上，原分式方程的解为． 17. 如图，已知，点P在射线上．请用尺规作图法，在射线上求作一点Q，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 过点作于点即可． 【详解】解：如图， 18. 如图，在和中，，，．求证：． 【答案】证明见解答 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，推导出，进而证明是解题的关键． 由，推导出，而，即可根据“”证明，则． 【详解】证明：∵， ， ， 在和中 ， ， ． 19. 中国基础建设快速发展，各地修建了许多高速公路，带动了当地的经济发展，提高了人们的生活水平．某市招标建设一段长为14千米的无桥梁高速公路路基，现有A，B两家公司竞标了这项工程，已知A公司每天能修建路基0.5千米，B公司每天能修建路基1千米，若由A，B两家公司合作完成任务，且B公司的工作时间比A公司工作时间的2倍多4天，则A公司的工作时间为多少天？ 【答案】公司的工作时间为4天 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设公司的工作时间为天，则公司的工作时间为天，利用工作总量工作效率工作时间，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设公司的工作时间为天，则公司的工作时间为天， 根据题意得：， 解得：． 答：公司的工作时间为4天． 20. 现有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋中装有2个小球，它们分别写有英文字母A、C，乙袋中装有3个小球，它们分别写有英文字母E、G、H，这些球除所写字母不同外其余完全相同． （1）将乙袋摇匀，然后从乙袋中随机取出一个小球，则所写字母恰好是元音字母的概率是____； （2）小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的甲、乙两袋中各随机取出一个小球，取出的这两个小球，若所写字母一个是元音字母，另一个是辅音字母，则小华获胜；若所写字母都是辅音字母，则小林获胜，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平． 【答案】（1） （2）这个游戏规则对双方不公平 【解析】 【分析】本题考查了概率的简单计算，解题的关键是明确元音字母的判断以及概率公式是总情况数，是事件发生的情况数）的运用． （1）先确定乙袋中元音字母的个数，再根据概率公式计算从乙袋取到元音字母的概率． （2）先通过列表法列出所有可能的结果，再分别找出小华获胜、小林获胜对应的结果数，根据概率公式计算出各自获胜的概率，比较概率大小判断公平性． 【小问1详解】 解：从乙袋中随机地摸出1个小球，恰好写有元音字母的概率是， 故答案为： 【小问2详解】 解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，取出的2个小球上全是辅音字母的有2种情况， ∴取出的2个小球上全是辅音字母的概率是：， 取出的2个小球上一个是元音字母，另一个是辅音字母的概率是：， ， ∴这个游戏规则对双方不公平． 21. 一个阳光明媚的午后，小明游玩期间，想测量一座信号塔的高度，出于安全考虑，小明不能到达信号塔的正下方，于是他有了以下测量方案：如图，他在地面上的点D处竖立一根高为米的标杆，在点C处用测角仪测得信号塔顶端A处的仰角为，某一时刻在太阳光的照射下，信号塔顶端A的影子落在地面上的点E处，标杆顶端C的影子落在地面上的点F处，并测得米，米，已知，，点B、D、E、F在同一条直线上，求这座信号塔的高度． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用及仰角的几何意义，解题的关键是通过平行光线构建相似三角形，结合仰角的直角三角形性质建立等量关系． 利用得到，得出与的比例关系；过C作的垂线构造直角三角形，由仰角得到直角边相等的关系；结合线段长度的和差关系列方程求解． 【详解】解：设信号塔的高度为x米． ∵，，， ∴，， ∴， ，即，解得． 过点C作于点H，则，． ∵在点C处测得信号塔顶端A处的仰角为， ∴，又， ∴是等腰直角三角形，即，故． ∴． ∴ 解得． 答：这座信号塔的高度为米． 22. 某校在一年一届的“科技文化艺术节”活动的筹备过程中，需制作一些“国风团扇”，要求制作的“国风团扇”的数量y（把）与每个班的学生人数x（人）之间满足一次函数关系，已知当班级人数为42人时，团扇数为44把；当班级人数为53人时，团扇数为66把． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若该校八（2）班有48名学生，求该班学生需制作的“国风团扇”的数量． 【答案】（1） （2）该班学生需制作的“国风团扇”的数量为56把 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． （1）先设与之间的函数关系式为，然后根据当班级人数为42人时，团扇数为44把；当班级人数为53人时，团扇数为66把，即可求得该函数的解析式； （2）将代入（1）中的函数解析式求出相应的的值即可． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， ∵当班级人数为42人时，团扇数为44把；当班级人数为53人时，团扇数为66把， ∴， 解得， 即与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，， 即该班学生需制作的“国风团扇”的数量为56把． 23. 为提升学生的文化认同感，弘扬中华民族优秀传统文化，某校举办了以“赏中华诗词，寻文化基因，品文学之美”为主题的古诗词知识竞赛，现从八、九年级的参赛学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（分数用x表示，总分为100分，共分成四组：A.；B.；C.；D.），下面给出部分信息： 八年级10名学生的竞赛成绩为：69，72，72，79，85，88，91，91，91，97． 九年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：83，88，88，88，89． 八、九年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 83.5 86.5 a 九年级 83.5 b 88 九年级所抽学生的竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____，_____； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的古诗词竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校八年级的参赛学生有300人，九年级的参赛学生有240人，请估计该校八、九年级参赛学生的竞赛成绩达到“优秀”（）的共有多少人？ 【答案】（1）； （2）八年级， 理由：因为两个年级学生的古诗词竞赛成绩的平均数相同，但八年级学生的古诗词竞赛成绩的中位数比九年级的高， 所以八年级学生的古诗词竞赛成绩更好（答案不唯一）； （3）324人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和统计表，中位数、众数的求解，用样本估计总体等知识点，正确理解题意，读懂统计图是解题的关键． （1）根据中位数、众数的概念分析即可； （2）根据中位数做决策即可； （3）用样本估计总体的方法求解即可． 【小问1详解】 解：在八年级10名学生的竞赛成绩中91出现的次数最多，故众数； 九年级A、B两组的人数均为：（人）， 把九年级10名学生的竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是83，88， 故中位数， 故答案为：91，85.5； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校八、九年级参赛学生的竞赛成绩达到“优秀”（）的共有324人． 24. 如图，为的外接圆，点C在上，为的直径，是的切线，且交的延长线于点E． （1）求证：； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵是的切线， ， ， ， ， ， ， ． （2）4 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质和判定、切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质得到，得到，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到； （2）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵为的直径， ， ， ， ， ， 由圆周角定理得：， ， ， ， ，即， 解得：（负值舍去）， 答：的长为 4 ． 25. 春夏之交，正适合去山野间漫游，蓝天白云下，青山绿水间，择一处草地，支一顶帐篷，邀亲朋好友，闻清风，话家常，好不惬意.一款帐篷的支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用，它的形状可近似看作抛物线，该款帐篷在搭建时，张开的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，如图①是该款帐篷搭建完成的平面示意图，其张开的宽度，顶部高度，现以点A为坐标原点，所在直线为x轴，过点A且平行于的直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求该帐篷支架对应的抛物线的表达式； （2）如图②为一把椅子摆入该帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在该帐篷内沿方向摆放一排此款椅子，则最多可摆放多少把椅子？ 【答案】（1） （2）3把 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出函数解析式是解题的关键． （1）先求出顶点M的坐标，设出顶点式，利用待定系数法求解； （2）先求出函数值为时对应的x的值，再结合椅子宽度即可求解． 【小问1详解】 解：，， 结合所建直角坐标系，可得，， 顶点M的坐标为， 设抛物线函数关系式为：， 将代入解析式，得：， 解得， 抛物线函数关系式为； 【小问2详解】 解：，， 令， 解得，， ，， ∵椅子数量为正整数， ∴最多可摆放的椅子数量为3把． 26. 问题提出 （1）如图①，内接于，边上的高经过圆心O，若，的半径为5，求的面积； 问题解决 （2）为培养学生的劳动实践能力，某校计划在学校东南角开辟出一块四边形劳动实践基地，将其分成三个三角形区域用于种植不同的果蔬，并将四边形的四周用栅栏保护，如图②，劳动实践基地为，，平分交对角线于点M，在点M处安装喷灌装置，且，为了尽可能地减少栅栏的使用，需使四边形的周长最小，你认为该学校的想法能否实现？若能，请求出四边形周长的最小值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）32 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的垂径定理、勾股定理、三角形面积计算以及角平分线性质、全等三角形、圆的性质在最值问题中的应用，解题的关键是：利用垂径定理和勾股定理求出三角形的高；通过构造辅助线转化周长表达式，结合几何性质求最小值． （1）连接由垂径定理得的长度，用勾股定理求出进而得到的长度，代入三角形面积公式计算； （2）过作、的垂线，利用角平分线性质得垂线相等，构造全等三角形转化线段，将周长表示为含的式子，结合外接圆和垂线段最短求最小值，进而得周长最小值． 【详解】（1）解：连接． ∵是边上的高且经过圆心O， ∴，由垂径定理得． ∵的半径为5，即， 在中，由勾股定理得． ∴（当圆心在内部时）． ∴的面积为． （2）能． 过点M作于E，于F，在上截取，连接，如图所示： ∵，平分， ∴， 在中，，， ∴， 由勾股定理得：， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长， ∴要使平行四边形的周长为最小，只需为最小即可， ∵，， ∴， ∴在和中， ∴ ， ∴， 在四边形中，，，， ∴， ∴， ∴， 即， 作的外接圆，圆心为O，连接，，，过点O作于H，如图2所示： ∴，， ∴，， ∴， 设，则， ∴， 由勾股定理得：， ， 故得要使为最小，只需x为最小即可， ∵， ∴， 解得：， 即当点M，O，H在同一条直线上时，x为最小，最小值为， 此时的最小值为：， 平行四边形的周长的最小值为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $