2025-2026学年高二上学期物理竞赛课件：第五章 角动量及角动量守恒定律

上次课主要内容回顾 元功定义 对于一个系统，总功等于系统中所有（内，外）力所做的功的代数和。 变力的功 一对力的功 两个物体间一对力所做的功之和与参考系选择无关，等于一个物体所受到的另一个物体的作用力与该物体对另一个物体的相对元位移的点积 (1) 重力势能: (2) 弹性势能： 弹簧原长处为零势能位置。 (3) 万有引力势能： 选无穷远处为势能零点。 势能及其零点的选取 势能零点b的位置 保守力的功等于势能的减少 保守力与势能的积分关系 保守力与势能的微分关系 功能原理 动能定理 机械能守恒定律 重点 角动量 力矩 质点/质点系 角动量定理 质点/质点系 角动量守恒定律及应用 难 点 1.熟练掌握运用角动量守恒定律 2.正确判断角动量守恒定律的条件 本次课的重点与难点 定义 质点对定点0点的角动量： （一） 质点的角动量 方向：满足右手关系 r 0 m kg·m2·s-1 质点直线运动时对定点0的角动量 方向： m O d 大小： mv = d 特点：矢量性 瞬时性 状态量 角动量方向: 角动量大小 右手螺旋 质点对Z轴的角动量 β  Z m 0 注意：区分质点对Z轴的角动量还是对某一点O的角动量 解： 例：质量为 m 的质点某时刻的位置如图，速度为 受力为 （SI） (Z轴正方向) （4，3） 0 x y 矢量性 瞬时性 状态量 m r v L O 例 质点匀速率圆周运动 （对圆心的）角动量： 大小 Sun r r v v 例 行星匀速率绕太阳公转时的椭圆轨道运动对定点（太阳）的角动量： 大小： 方向： 0 方向： 角动量的大小和方向都不变 角动量的大小变化和方向不变 例：半径为R的光滑圆环铅直放置，质量为m的小球穿在圆环上，开始小球静止于A点并下滑 求：小球滑至B点时对O点的角动量和角速度 O A B R v N G r 解： 由机械能守恒 质点系 对定点O点 连续分布物体 （二） 质点系的角动量 例质量为m长为l的均匀直棒在粗糙桌面上绕中心轴旋转 求当直棒旋转的角速度为ω时角动量? 解: 取Oxz坐标系 转动为z轴方向 x z ω 问：若在棒的某一端固定上一质量为M 的质点后其它条件不变时系统的角动量？ ò = 0 2 2 l d m 2 x L z w L z 角动量为z轴方向 1) 对O点 m Z X Y o 方向  力矩的大小： 对Z轴的力矩: θ 右手螺旋 （三）力矩 特点：矢量性 瞬时性 状态量 作用在一个质点上的力矩 作用在质点系的力矩 2）对O点 作用在连续分布物体的“弥散力”的力矩 3）对O点 解： 例：质量为 m 的质点某时刻的位置如图，速度为 受力为 （SI） (Z轴正方向) （4，3） 0 x y 矢量性 瞬时性 状态量 P 0 b x y 例 t=0时，质量为m的质点由 P点自由下落. 问：1. 在任意t时刻，质点所受的对原点0的力矩? 2.在任意t时刻，质点对原点0的角动量. 在t时刻 方向垂直于纸面向里 解: 方向垂直于纸面向里 例　质量为m,长为l的均匀直棒在粗糙桌面上绕中心轴旋转,棒与桌面间的摩擦系数为.求摩擦力矩 x 解: z 元段dx所受摩擦力: 摩擦力矩沿z轴的负方向 一个质点角动量定理 （四）角动量定理 对相同的空间O点 对某一个质点 质点系的角动量定理 质点系 0 i j 质点系的内力矩之合恒为零 质点系的角动量定理 证明： 对相同的空间O点 质点系内的一对力的力矩 角动量定理在直角坐标系中分量式 对o点 例:质量为m,长为l的均匀直棒在粗糙桌面上绕中心轴旋转,棒与桌面间的摩擦系数为.求棒的角速度的变化率. x z 解: 棒作匀减角速度转动. 借用前面例题结果 例:质量为m,长为l的均匀直棒在粗糙桌面上绕中心轴旋转,棒与桌面间的摩擦系数为.求棒的角速度的变化率. x z 解: 摩擦力矩沿z轴的负方向 角动量为z轴方向 棒作匀减角速度转动. 借用前面例题结果 合外力矩为零，质点或质点系总角动量守恒 (五) 角动量守恒定律 对同一定点 守恒指过程中任意时刻 3 对某轴外力矩的和为零，则对该轴的角动量守恒 角动量守恒的应用 1 孤立系（质点或质点系不受任何外力作用） 2 有心力场 对力心角动量守恒 角动量守恒条件 开普勒第二定律的证明： m  行星受有心力作用，角动量守恒 在研究质点受有心力作用的运动时,角动量将代替动量起着重要的作用. 行星的动量时刻在变,但其角动量不变. 动量守恒 角动量守恒 能量守恒 特点和优点：不追究过程细节而能对系统的状态下结论。 意义：守恒定律的发现、推广和修正能推动人们深入认识自然界。 守恒定律 时空对称性 动量守恒定律 角动量守恒定律 能量守恒定律 空间平移对称性 空间转动对称性 时间平移对称性 守恒定律的意义 判断下列情况角动量是否守恒： 圆锥摆运动中，做水平匀速圆周运动的小球m, T mg  C C' O （1）对C点的角动量 （2）对O点的角动量 （3）对竖直轴CC’的角动量 否 是 是 例: 半径为r 的轻滑轮的中心轴O水平地固定在高处,其上穿过一条轻绳,质量相同的两人A、B 以不同的爬绳速率vA、vB从同一高度同时向上爬,试问谁先到达O处. 解:对象: 滑轮+绳+A+B 可见,不论A、B对绳的速率vA、vB如何 则 对z 轴的合力矩为0 对z轴,系统角动量守恒 z轴正向:O点向外 . 结论：同时到达O点 A 、 B对O点速率v'A,v'B 二人对O（即地面参考系）的速率相同 例: 质量为m的小球系在绳的一端，另一端通过圆孔向下，水平面光滑，开始小球作圆周运动（r1,v1)然后向下拉绳，使小球的运动轨迹为r2的圆周 求：（1）v2=？ （2）由r1r2时，F作的功 v 1 r1 r2 F O v 2 解： 由质点角动量守恒： 1 作用在小球的力始终通过O点 （有心力） ２由r1r2时，F作的功 由动能定理 思考：该题为什么强调始末时质点轨迹为圆？ 解：以小球与绳为系统 对O点角动量守恒 l v r 机械能守恒： O 1 v r l 1 已知: 光滑水平桌面 小球m 和初始运动方向;弹性绳（k)自然长度 问：当小球与O点的距离为最大时小球的速度及它的初速率． 当小球与O点的距离为最大时小球的速度方向与弹性绳的辐射线方向垂直 已知: 地球的质量和半径分别为M和R．　一质量为 m的小球以速度　　沿地球表面向右飞行．当OC的长度为３R时，不计地球自转和空气阻力． 求：小球在C点的速度与OO’连线的夹角 3 R R v0 v o o' A C 解：力：万有引力 力心：O 对o点角动量守恒： 万有引力是保守力，以m,M为系统，机械能守恒： 3 R R v0 v o o' A C  作业: 5.5; 5.6; 5.10; 5.12 下次课： 习题课 质点力学 《大学物理能力训练与知识拓展》 $$