22.1.1 二次函数 导学案　　2025－2026学年人教版数学九年级上册

22.1.1 二次函数 导学案 重点难点突破 ★知识点1：一般地，形如y=ax²+ bx +c(其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中，x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。 ★知识点2： 二次函数的特殊形式： 1)当b＝0时， y＝ax2＋c（a） 2)当c＝0时， y＝ax2＋bx （a） 3)当b＝0，c＝0时， y＝ax2 （a） ★知识点3：根据实际问题列二次函数关系式的方法： 一般方法：1）先找出题目中有关两个变量之间的等量关系； 2）然后用题设的变量或数值表示这个等量关系； 3）列出相应二次函数的关系式。 典例分析 例1 判断下列函数是否为二次函数，并说明原因？ （1）y＝3x （2）y= x （3）y＝-x-5 （4）y＝(x+2)(x﹣4) （5）y＝ (x+1)2 -x2 例2 二次函数y=4x﹣7x2+1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为________． 例3 一个边长为3厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为________________． [针对训练] 1．下列函数中，y是x的二次函数的是（　　） A．y=2x-1 B． C． D． 2．若函数是关于x的二次函数，则m的值是（ ） A．2 B．或3 C．3 D． 3．对于y＝ax2+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是（　　） A．当b＝0时，y＝ax2+c是二次函数 B．当c＝0时，y＝ax2+bx是二次函数 C．当a＝0时，y＝bx+c是一次函数 D．以上说法都不对 当堂巩固 1.下列函数属于二次函数的是 （   ） A． B． C． D． 2.若函数是二次函数，则的值是（　　） A． B．或3 C．2 D．3 3．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 3.函数y=ax²+bx+c（其中a、b、c是常数）当a、b、c满足什么条件时： （1）它是二次函数； （2）它是一次函数； （3）它是正比例函数。 4.已知y关于 x的函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1. （1）当m为何值时，此函数是一次函数？ （2）当m为何值时，此函数是二次函数？ 22.1.1 二次函数 导学案答案 重点难点突破 ★知识点1：一般地，形如y=ax²+ bx +c(其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中，x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。 ★知识点2： 二次函数的特殊形式： 1)当b＝0时， y＝ax2＋c（a） 2)当c＝0时， y＝ax2＋bx （a） 3)当b＝0，c＝0时， y＝ax2 （a） ★知识点3：根据实际问题列二次函数关系式的方法： 一般方法：1）先找出题目中有关两个变量之间的等量关系； 2）然后用题设的变量或数值表示这个等量关系； 3）列出相应二次函数的关系式。 典例分析 例1 判断下列函数是否为二次函数，并说明原因？ （1）y＝3x （2）y= x （3）y＝-x-5 （4）y＝(x+2)(x﹣4) （5）y＝ (x+1)2 -x2 正比例函数 不是整式方程 一次函数 二次函数 化简后为一次函数 例2 二次函数y=4x﹣7x2+1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为__-7，4，1______． 例3 一个边长为3厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为___y＝x2＋6x_____________． 【详解】 解：原边长为3厘米的正方形面积为：3×3＝9（平方厘米）， 边长增加x厘米后边长变为：（x＋3）厘米， 则面积为：（x＋3）2 平方厘米， ∴y＝（x＋3）2−9＝x2＋6x． 故答案为：y＝x2＋6x． [针对训练] 1．下列函数中，y是x的二次函数的是（　　） A．y=2x-1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可得答案． 【详解】解：A、不是二次函数，故此选项不合题意； B、不是二次函数，故此选项不合题意； C、不是二次函数，故此选项不合题意； D、是二次函数，故此选项符合题意； 故选：D． 2．若函数是关于x的二次函数，则m的值是（ ） A．2 B．或3 C．3 D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义条件列出方程与不等式即可得解． 【详解】∵函数是关于x的二次函数， ∴，且， 由得，或， 由得，， ∴m的值是3， 故选：C． 3．对于y＝ax2+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是（　　） A．当b＝0时，y＝ax2+c是二次函数 B．当c＝0时，y＝ax2+bx是二次函数 C．当a＝0时，y＝bx+c是一次函数 D．以上说法都不对 【答案】D 【分析】根据二次函数和一次函数的定义解答即可． 【详解】解：A、当b＝0，a≠0时，y＝ax2+c是二次函数，故A选项错误； B、当c＝0，a≠0时，y＝ax2+bx是二次函数，故B选项错误； C、当a＝0，b≠0时，y＝bx+c是一次函数，故C选项错误； D、以上说法都不对，故此选项正确； 故选：D． 当堂巩固 1.下列函数属于二次函数的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义“形如的函数”，据此逐项判断即可． 解：A、是一次函数，故不符合题意； B、不是二次函数，故不符合题意； C、是二次函数，故符合题意； D、不是二次函数，故不符合题意． 故选C． 2.若函数是二次函数，则的值是（　　） A． B．或3 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义条件列出方程与不等式即可得解． 【详解】∵函数是关于x的二次函数， ∴，且， 由得，或， 由得，， ∴n的值是3， 故选：C． 3．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（　C　） A． B． C． D． 3.函数y=ax²+bx+c（其中a、b、c是常数）当a、b、c满足什么条件时： （1）它是二次函数； a≠0 （2）它是一次函数； a=0、b≠0 （3）它是正比例函数。 a=0、b≠0、c=0 4.已知y关于 x的函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1. （1）当m为何值时，此函数是一次函数？ （2）当m为何值时，此函数是二次函数？ 【详解】 1）∵函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1是一次函数， ∴m2+2m=0，m≠0， 解得：m=﹣2； 2）∵函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1是二次函数， ∴m2+2m≠0， 解得：m≠﹣2且m≠0． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$