第二十二章 二次函数章末综合题-2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数 一、选择题 1．一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致为（　　） A． B． C． D． 2．抛物线通过变换可以得到抛物线，以下变换过程正确的是（　　） A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 D．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 3．下列各式中，y是x的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 4．已知二次函数满足以下三个条件：①，②，③，则它的图象可能是（　　） A． B． C． D． 5．已知二次函数下列结论正确的是（　　） ①已知点，点在二次函数的图象上，则；②该图象一定过定点和；③直线与抛物线一定存在两个交点；④当时，的最小值是，则． A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 6．已知二次函数，当时，函数有最小值，则b的值为（　　） A．或 B．或 C． D．或 7．已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程的两个实数根是（　　） A．， B．， C．， D．， 8．如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于x的不等式的解集是（　　） A．或 B．或 C． D． 9．在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（　　） A．y的最小值为1 B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x=2 C．当时，y的值随x值的增大而增大，当时，y的值随x值的增大而减小 D．它的图象可由的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 10．已知抛物线与轴的两个交点在两旁，则关于的方程的根的情况是（　　） A．有两个正数根 B．有两个负数根 C．有一个正根和一个负根 D．无实数根 二、填空题 11． 已知二次函数的图象与轴只有一个交点，则　 　 ． 12．已知二次函数，当时，的取值范围是　 　． 13．已知抛物线经过，两点，若，分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是　 　． 14．已知抛物线与轴交于点，点是抛物线上的动点，，若是以为底的等腰三角形，则点的坐标为　 　 ． 15．若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是　 　. 16．如图，抛物线y=ax2-2ax+3 (a>0)与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M，P为抛物线的顶点，若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则线段PB的长为　 　. 17．将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到抛物线的表达式为　 　． 18．如图，王叔叔想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈，已知房屋外墙足够长，当矩形的边　 　时，羊圈的面积最大． 三、解答题 19．已知y=（m﹣1）x 是关于x的二次函数，求m的值． 20．在画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下 x …… ﹣1 0 1 2 3 …… y甲 …… 6 3 2 3 6 …… 乙写错了常数项，列表如下： x …… ﹣1 0 1 2 3 …… y乙 …… ﹣2 ﹣1 2 7 14 …… 通过上述信息，解决以下问题： （1）求原二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式； （2）对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当x　 　时，y的值随x的值增大而增大； 21．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣mx+n. （1）当m＝2时， ①求抛物线的对称轴，并用含n的式子表示顶点的纵坐标； ②若点A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，求x2的取值范围； （2）已知点P（﹣1，2），将点P向右平移4个单位长度，得到点Q.当n＝3时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围. 22．已知：二次函数 (a为常数). （1）请写出该二次函数图象的三条性质； （2）在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在 的部分与一次函数 的图象有两个交点，求 的取值范围. 23．某网点销售一种儿童玩具，每件进价30元，规定单件销售利润不低于10元，且不高于31元，试销售期间发现，当销售单价定为40元时，每天可售出500件，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10件，该网点决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售利润为y元. （1）求y与x之间的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （2）销售单价是多少元时，网店每天可获得最大利润？最大利润是多少？ （3）销售单价是多少元时，网店每天的利润是8000元？根据以上结论，请直接写出销售单价在什么范围时，网店每天的利润不低于8000元. 24．随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米． （1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式； （2）求出水柱的最大高度的多少？ 25．如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 26．已知二次函数y＝﹣x2+（m﹣2）x+3（m+1）与x轴交于AB两点（A在B左侧），与y轴正半轴交于点C． （1）当m≠﹣4时，说明这个二次函数的图象与x轴必有两个交点； （2）若OA•OB＝6，求点C的坐标； （3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上找一点P，使S△PAC的面积为15，求P点的坐标． 答案解析部分 1．A 2．D 3．C 4．D 5．A 6．A 7．D 8．A 9．C 10．B 11．±2 12． 13． 14．或 15． 16． 17． 18．15 19．解：∵y=（m﹣1）x 是关于x的二次函数， ∴m2+2m﹣1=2， 解得m=1或﹣3， ∵m﹣1≠0， ∴m≠1， ∴m=﹣3 20．（1）解：由甲同学的错误可知c＝3， 由乙同学提供的数据选x＝﹣1，y＝﹣2；x＝1，y＝2， 有 ， ∴ ， ∴y＝﹣3x2+2x+3 （2）≤ 21．（1）解：①∵m＝2， ∴抛物线为y＝x2﹣2x+n. ∵x 1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1. ∵当线x＝1时，y＝1﹣2+n＝n﹣1， ∴顶点的纵坐标为：n﹣1. ②∵抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向上， x＝﹣2到x＝1的距离为3， ∴点A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，则x2的取值范围是x2＜﹣2或x2＞4， （2）解：∵点P（﹣1，2），向右平移4个单位长度，得到点Q. ∴点Q的坐标为（3，2）， ∵n＝3， 抛物线为y＝x2﹣mx+3. 当抛物线经过点Q（3，2）时，2＝32﹣3m+3，解得 ； 当抛物线经过点P（﹣1，2）时，2＝（﹣1）2+m+3，解得m＝﹣2； 当抛物线的顶点在线段PQ上时， 2，解得m＝±2. 结合图象可知，m的取值范围是m≤﹣2或m＝2或 . 故答案为：m≤﹣2或m＝2或 . 22．（1）解：①图象开口向上；②图象的对称轴为直线 ；③当 时， 随 的增大而增大；④当 时， 随 的增大而减小；⑤当 时，函数有最小值 （2）解：∵二次函数的图象与一次函数 的图象有两个交点， ∴ ，即 ， ，解得 ， ∵二次函数的图象在 的部分与一次函数 的图象有两个交点， ∴二次函数 的图象与 轴 的部分有两个交点， 画出二次函数 的图象，结合图象， 可知当 时， ， ∴当 时， ，得 ， ∴当二次函数的图象在 的部分与一次函数 的图象有两个交点时， 的取值范围为 23．（1）解： ； （2）解：∵ ∴当 时， 有最大值9000 即销售单价是60元时，网店每天可获得最大利润9000元 （3）解：根据题意得， ， 解得： ， ， ∵ ，∴ ， 答：当销售单价是50元时，网店每天获利8000元；销售单价范围在50-61元时，网店每天的利润不低于8000元. 24．（1）解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.由题意可设抛物线的函数解析式为y=a(x-1)2+h(0≤x≤3)抛物线过点（0，2）和（3，0），代入抛物线解析式得：解得： 所以，抛物线的解析式为：y=- (x-1)2+ (0≤x≤3)， 化为一般形式为：y=-﹣ x2+ x+2（0≤x≤3） （2）解：由（1）知抛物线的解析式为y=- (x-1)2+ (0≤x≤3)， 当x=1时，y= ， 所以，抛物线水柱的最大高度为 m. 25．（1）解：∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1且经过点A（﹣3，0） 由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（1，0） 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0） 即：y＝a（x﹣1）（x+3） 把B（0，3）代入得：3＝﹣3a ∴a＝﹣1 ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3 （2）解：设直线AB的解析式为y＝kx+b， ∵A（﹣3，0），B（0，3）， ∴ ， ∴直线AB为y＝x+3， 作PQ⊥x轴于Q，交直线AB于M， 设P（x，﹣x2﹣2x+3），则M（x，x+3）， ∴PM＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x， ∴ ， 当 时， ， ， ∴△PAB的面积的最大值为 ，此时点P的坐标为（ ， ）. 26．（1）解：∵m≠﹣4， ∴△＝（m﹣2）2﹣4×（﹣1）×3（m+1）＝（m+4）2＞0， ∴当m≠﹣4时，二次函数y＝﹣x2+（m﹣2）x+3（m+1）的图象与x轴必有两个交点； （2）解：令y＝﹣x2+（m﹣2）x+3（m+1）＝0， 解得x1＝m+1，x2＝﹣3， ∵二次函数y＝﹣x2+（m﹣2）x+3（m+1）与x轴交于AB两点（A在B左侧），与y轴正半轴交于点C， ∴A（﹣3，0），B（m+1，0），m+1＞0， ∵OA•OB＝6， ∴3（m+1）＝6， 解得m＝1， ∴二次函数y＝﹣x2﹣x+6， 当x＝0时，y＝6， ∴点C的坐标为（0，6）； （3）解：设P点的坐标为（a，﹣a2﹣a+6）， 如图一所示， 当P在y轴左边时， ，并且有： 则有： 即： ， 解得a＝﹣5，a＝2（不合题意，舍去）， ∴P点的坐标为（﹣5，﹣14）； 如图二所示， 当P在y轴右边， ，并且有： 则有： 即： ， 解得a＝﹣5（不合题意，舍去），a＝2， ∴P点的坐标为（2，0）； 故P点的坐标为（﹣5，﹣14）或（2，0）． 学科网（北京）股份有限公司 $$