1.5 全称量词与存在量词 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

§1.5 全称量词与存在量词 目录 题型1：全称量词命题与存在量词命题的判断 2 题型2：全称量词命题与存在量词命题的真假判断 3 题型3：含量词命题的否定 4 题型4：含有量词的命题求参数问题 5 【强化训练】 7 1. 全称量词与全称量词命题 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题. 全称量词命题“对中任意一个，p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x). 2. 存在量词与存在量词命题 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题. 存在量词命题“存在中的元素，p(x)成立”可用符号简记为：∃x∈M，p(x). 3. 全称量词命题和存在量词命题的否定 对含有一个量词的全称量词命题进行否定，我们只需把“所有的”“任意一个”等全称量词，变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可.也就是说，假定全称量词命题为“∀x∈M，p(x)”，则它的否定为“并非∀x∈M，p(x)”，也就是“∃x∈M，p(x)不成立”.通常，用符号“p(x)”表示“p(x)不成立”. (1) 全称量词命题：∀x∈M，p(x)；它的否定：∃x∈M，p(x). (2) 存在量词命题：∃x∈M，p(x)；它的否定：. 题型1：全称量词命题与存在量词命题的判断 方法提炼 全称量词命题与存在量词命题的不同表述形式： 命题 全称量词命题：∀x∈M，p(x). 存在量词命题：∃x∈M，p(x). 表述形式 (1)对所有的x∈M，p(x)成立. (1)存在x∈M，使p(x)成立. (2)对一切的x∈M，p(x)成立. (2)至少有一个x∈M，使p(x)成立. (3)对每一个x∈M，p(x)成立. (3)对有些x∈M，p(x)成立. (4)任选一个x∈M，p(x)成立. (4)对某个x∈M，p(x)成立. (5)只要x∈M，都有p(x)成立. (5)有一个x∈M，使p(x)成立. 【例1.1.】 下列选项中，与其他命题不同的命题是（    ） A．存在一个平行四边形是矩形 B．任何一个平行四边形是矩形 C．有些平行四边形是矩形 D．有一个平行四边形是矩形 【例1.2.】 下列命题与“，”表述一致的（    ） A．只有一个实数x，使得 B．不存在实数x，使得 C．所有实数x，都有 D．至少有一个实数x，使得 【例1.3.】 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示下列命题： (1)自然数的平方大于或等于零； (2)有的一次函数图象经过原点； (3)所有的二次函数的图象的开口都向上； (4)任意一个实数乘以都等于它的相反数； (5)对任意实数，都有； (6)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (7)某个四边形不是平行四边形. 题型2：全称量词命题与存在量词命题的真假判断 方法提炼 含量词命题真假的判断方法 (1) 要判断全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定全称量词命题是假命题，只需举出一个反例即可. (2) 要判断存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．否则这一存在量词命题就是假命题. (3) 当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假，与真假相反． 【例2.1.】 下列命题中为真命题的是（    ） A． B．是整数 C． D． 【例2.2.】 已知命题，，命题，，则（   ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【例2.3.】 下列四个命题中，既是全称命题又是真命题的是（    ） A．斜三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数，使 C．任意无理数的平方必是无理数 D．存在一个负数，使 题型3：含量词命题的否定 方法提炼 含量词命题的否定方法： 第一步：改写量词：，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写. 第二步：否定结论：对原命题的结论进行否定. 常见词语的否定形式： 正面词语 是 都是 大于 小于 等于 至多有一个 否定词语 不是 不都是 不大于 不小于 不等于 至少有两个 正面词语 至少有一个 任意的 任意的 所有的 一定 否定词语 一个也没有 某个 某个 某些 不一定 或． 【例3.1.】 若命题:，则（    ） A．命题为真命题，且： B．命题为真命题，且： C．命题为假命题，且： D．命题为假命题，且： 【例3.2.】 命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【例3.3.】 已知命题：，总有，则命题的否定为（   ） A．，使得 B．，使得 C．，总有 D．，总有 【例3.4.】 （多选）下列命题的否定是全称量词命题且为真命题的有（    ） A． B．所有的正方形都是矩形 C． D．至少有一个实数，使 题型4：含有量词的命题求参数问题 方法提炼 (1) 此类题目首先要明确命题所属类型，若直接入手容易出错或比较困难，可从其否定形式入手，进而转化为不等式“恒成立”或“有解”问题，然后取其补集即可. (2) 全称量词命题求参的问题，一般在题目中会出现“恒成立”等词语.解决此类问题的方法有： 1　 构造函数法：对于式子的解是全体实数（或恒成立）的条件是当时，；当时， 2　 分离参数法：恒成立；恒成立. (3) 解决有关存在量词命题的参数的取值范围问题时，应尽量分离参数. 有解；恒有解. 【例4.1.】 已知命题为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4.2.】 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 . 【例4.3.】 已知“，使得不等式”不成立，则的取值范围是 . 【例4.4.】 命题，为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【例4.5.】 已知集合，且使命题“”为假命题的所构成的集合为，则 ． 【例4.6.】 已知命题，若命题为假命题，则实数的取值范围为 . 【例4.7.】 已知集合，命题 p：：若命题 p 为真命题，则实数 k 的取值范围是 . 【例4.8.】 已知命题；命题． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若和都为真命题，求实数的取值范围． 【强化训练】 1. 命题“，”不可以表述为（    ） A．有一个，使得 B．对有些，使得 C．任选一个，使得 D．至少有一个，使得 2. 若命题：“，”.使命题为假命题的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 3. 下列命题正确的个数是（   ） ①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题； ②命题“”是全称量词命题； ③命题“”的否定形式是“” A．0 B．1 C．2 D．3 4. 若命题“，使得成立”是假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5. ［多选］下列说法正确的是（   ） A．“对任意一个无理数x，也是无理数”是真命题 B．命题“，”的否定是“，” C．设x，，则“”是“且”的充分不必要条件 D．设a，，则“”是“”的必要不充分条件 6. （多选）已知命题，命题：所有能被4整除的数都是偶数，则（   ） A．是存在量词命题，是真命题 B．是存在量词命题，是假命题 C．是全称量词命题，是真命题 D．是全称量词命题，是假命题 7. (多选)下列命题中为真命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 8. 已知命题“存在实数，使得不等式成立”为真命题，则的取值范围是 ． 9. 已知，； (1)写出的否定，并求当的否定为真命题时，实数的取值范围 (2)若，中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ §1.5 全称量词与存在量词 目录 题型1：全称量词命题与存在量词命题的判断 2 题型2：全称量词命题与存在量词命题的真假判断 4 题型3：含量词命题的否定 5 题型4：含有量词的命题求参数问题 7 【强化训练】 11 1. 全称量词与全称量词命题 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题. 全称量词命题“对中任意一个，p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x). 2. 存在量词与存在量词命题 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题. 存在量词命题“存在中的元素，p(x)成立”可用符号简记为：∃x∈M，p(x). 3. 全称量词命题和存在量词命题的否定 对含有一个量词的全称量词命题进行否定，我们只需把“所有的”“任意一个”等全称量词，变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可.也就是说，假定全称量词命题为“∀x∈M，p(x)”，则它的否定为“并非∀x∈M，p(x)”，也就是“∃x∈M，p(x)不成立”.通常，用符号“p(x)”表示“p(x)不成立”. (1) 全称量词命题：∀x∈M，p(x)；它的否定：∃x∈M，p(x). (2) 存在量词命题：∃x∈M，p(x)；它的否定：. 题型1：全称量词命题与存在量词命题的判断 方法提炼 全称量词命题与存在量词命题的不同表述形式： 命题 全称量词命题：∀x∈M，p(x). 存在量词命题：∃x∈M，p(x). 表述形式 (1)对所有的x∈M，p(x)成立. (1)存在x∈M，使p(x)成立. (2)对一切的x∈M，p(x)成立. (2)至少有一个x∈M，使p(x)成立. (3)对每一个x∈M，p(x)成立. (3)对有些x∈M，p(x)成立. (4)任选一个x∈M，p(x)成立. (4)对某个x∈M，p(x)成立. (5)只要x∈M，都有p(x)成立. (5)有一个x∈M，使p(x)成立. 【例1.1.】 下列选项中，与其他命题不同的命题是（    ） A．存在一个平行四边形是矩形 B．任何一个平行四边形是矩形 C．有些平行四边形是矩形 D．有一个平行四边形是矩形 【答案】B 【详解】选项A，C，D都是含有存在量词的存在量词命题，选项B是含有全称量词的全称量词命题. 故选：B. 【例1.2.】 下列命题与“，”表述一致的（    ） A．只有一个实数x，使得 B．不存在实数x，使得 C．所有实数x，都有 D．至少有一个实数x，使得 【答案】D 【详解】与“，”表述一致的为至少有一个实数x，使得. 故选：D. 【例1.3.】 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示下列命题： (1)自然数的平方大于或等于零； (2)有的一次函数图象经过原点； (3)所有的二次函数的图象的开口都向上； (4)任意一个实数乘以都等于它的相反数； (5)对任意实数，都有； (6)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (7)某个四边形不是平行四边形. 【答案】（1）全称量词命题．表示为，． （2）存在量词命题．表示为一次函数，它的图象过原点． （3）全称量词命题．表示为二次函数，它的图象的开口都向上． (4)全称量词命题． (5)全称量词命题． (6)存在量词命题．且. (7)存在量词命题．｛四边形｝，｛平行四边形｝ 题型2：全称量词命题与存在量词命题的真假判断 方法提炼 含量词命题真假的判断方法 (1) 要判断全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定全称量词命题是假命题，只需举出一个反例即可. (2) 要判断存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．否则这一存在量词命题就是假命题. (3) 当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假，与真假相反． 【例2.1.】 下列命题中为真命题的是（    ） A． B．是整数 C． D． 【答案】B 【详解】对于A 选项，对于命题，因为对于任意实数，，所以，恒大于，A选项错误. 对于B 选项，对于任意的整数，一定是整数，也一定是整数，所以是整数，B选项正确. 对于C 选项，对于命题，当时，，不满足，C选项错误. 对于D 选项，对于命题，例如，则，D选项错误. 故选：B. 【例2.2.】 已知命题，，命题，，则（   ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【详解】命题，当得，，故为假命题，为真命题， 命题，时，，故满足，为真命题. 故选：B 【例2.3.】 下列四个命题中，既是全称命题又是真命题的是（    ） A．斜三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数，使 C．任意无理数的平方必是无理数 D．存在一个负数，使 【答案】A 【详解】“有一个”和“存在一个”为存在量词， 根据全称命题的概念可知：至少有一个实数，使， 存在一个负数，使都不是全称命题，排除选项BD； 因为是无理数，而不是无理数， 所以命题：任意无理数的平方必是无理数为假命题，故选项C不合题意； 对于选项A，斜三角形的内角是锐角或钝角为全称命题且为真命题，符合题意． 故选：A 题型3：含量词命题的否定 方法提炼 含量词命题的否定方法： 第一步：改写量词：，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写. 第二步：否定结论：对原命题的结论进行否定. 常见词语的否定形式： 正面词语 是 都是 大于 小于 等于 至多有一个 否定词语 不是 不都是 不大于 不小于 不等于 至少有两个 正面词语 至少有一个 任意的 任意的 所有的 一定 否定词语 一个也没有 某个 某个 某些 不一定 或． 【例3.1.】 若命题:，则（    ） A．命题为真命题，且： B．命题为真命题，且： C．命题为假命题，且： D．命题为假命题，且： 【答案】B 【详解】因为，所以命题:为真命题；排除选项；又因为存在量词的否定要将“”改为“”，结论否定， 所以：，排除选项， 故选：. 【例3.2.】 命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可得原命题的否定为“”. 故选：C 【例3.3.】 已知命题：，总有，则命题的否定为（   ） A．，使得 B．，使得 C．，总有 D．，总有 【答案】B 【详解】全称命题的否定规则为：全称命题：，它的否定. 所以对于命题：，总有，根据全称命题的否定规则， 它的否定是：，使得. 故选：B. 【例3.4.】 （多选）下列命题的否定是全称量词命题且为真命题的有（    ） A． B．所有的正方形都是矩形 C． D．至少有一个实数，使 【答案】AD 【详解】解法一：对于A，是存在量词命题， 其否定为：，即，是全称量词命题，且为真命题； 对于B，所有的正方形都是矩形是全称量词命题，其否定为存在量词命题； 对于C，是存在量词命题， 其否定为：，，即，因为恒成立，故其是假命题； 对于D，至少有一个实数，使是存在量词命题， 其否定为：任意实数，都有，因为，所以不存在使得，故其为真命题． 解法二：存在量词与全称量词命题一真一假，只需找选项中是存在量词命题，且为假命题的即可． 只有ACD是存在量词命题，且A中，所以A为假命题， C中恒成立，所以C为真命题， D中任意实数，都有，所以D为假命题． 故选：AD． 题型4：含有量词的命题求参数问题 方法提炼 (1) 此类题目首先要明确命题所属类型，若直接入手容易出错或比较困难，可从其否定形式入手，进而转化为不等式“恒成立”或“有解”问题，然后取其补集即可. (2) 全称量词命题求参的问题，一般在题目中会出现“恒成立”等词语.解决此类问题的方法有： 1　 构造函数法：对于式子的解是全体实数（或恒成立）的条件是当时，；当时， 2　 分离参数法：恒成立；恒成立. (3) 解决有关存在量词命题的参数的取值范围问题时，应尽量分离参数. 有解；恒有解. 【例4.1.】 已知命题为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，恒成立，符合题意 当时，需满足 解得：， 综上， 故选：D 【例4.2.】 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为命题“”是假命题， 所以“” 是真命题， 因此 即实数的取值范围是 . 【例4.3.】 已知“，使得不等式”不成立，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为“，使得不等式”不成立， 则不等式对恒成立， 所以，解得， 即的取值范围是． 【例4.4.】 命题，为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，：，真命题， 所以在上有解， 当时，原不等式，解得，满足题意； 当时，一元二次函数开口向下，此时原不等式在上一定有解，故满足题意； 当时，若在上有解，则，解得， 综上所述，， 所以命题p：，为假命题的一个充分不必要条件可以是. 故选：A. 【例4.5.】 已知集合，且使命题“”为假命题的所构成的集合为，则 ． 【答案】 【详解】由题得，且命题，0是真命题， 所以，即，则， 所以. 故答案为： 【例4.6.】 已知命题，若命题为假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】若命题为假命题，则命题为真命题， 即对恒成立，所以， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 【例4.7.】 已知集合，命题 p：：若命题 p 为真命题，则实数 k 的取值范围是 . 【答案】 【详解】命题 p表示“恒成立”. 当且仅当同时满足以下三个不等式： 当时：，解得； 当时：恒成立； 当时：解得； 综合条件得. ∴最终k的范围为. 故答案为：. 【例4.8.】 已知命题；命题． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若和都为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）若命题为真，则， 即，解得：， 而是真命题，所以命题为假命题， 所以或. （2）由（1）知，命题为真时，； 若为真命题， 则，解得或. 故命题和命题都为真命题，则， 解得或， 即实数的取值范围为或 【强化训练】 1. 命题“，”不可以表述为（    ） A．有一个，使得 B．对有些，使得 C．任选一个，使得 D．至少有一个，使得 【答案】C 【详解】“”是存在量词符号，与“有一个”、“有些”、“至少有一个”表示的含义相同， 但是“任选一个”是全称量词，所以C的表述不正确， 故选：C. 2. 若命题：“，”.使命题为假命题的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，而，当且仅当时取等号，则， 因此命题，命题为假命题时，， 由给定的选项知，集合真包含于集合， 所以使命题为假命题的一个必要不充分条件是. 故选：A 3. 下列命题正确的个数是（   ） ①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题； ②命题“”是全称量词命题； ③命题“”的否定形式是“” A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】对①：因为命题中含有“所有的”这个全称量词，故命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，所以①错误； 对②：因为命题含有“任意”这个全称量词，故命题“”是全称量词命题，所以②正确； 对③：命题“”的否定形式是“”，所以③错误. 正确的命题个数是1. 故选：B 4. 若命题“，使得成立”是假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知”"为真命题， 当时，，符合题意； 当时，则，解得； 综上可得，的取值范围是； 故选：C. 5. ［多选］下列说法正确的是（   ） A．“对任意一个无理数x，也是无理数”是真命题 B．命题“，”的否定是“，” C．设x，，则“”是“且”的充分不必要条件 D．设a，，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】BD 【详解】对于A，是无理数，是有理数，故A错误；对于B，由全称量词命题与存在量词命题的定义知其正确；对于C，，可取，，不符合且，而且可以推出，所以“”是“且”的必要不充分条件，故C错误；对于D，若，但时，有，而可推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确． 6. （多选）已知命题，命题：所有能被4整除的数都是偶数，则（   ） A．是存在量词命题，是真命题 B．是存在量词命题，是假命题 C．是全称量词命题，是真命题 D．是全称量词命题，是假命题 【答案】AC 【详解】，又，故当时，等式成立，故命题是存在量词命题，是真命题； 能被4整除的数均能被2整除，故所有能被4整除的数都是偶数，命题是全称量词命题，是真命题． 故选：AC 7. (多选)下列命题中为真命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABC 【详解】对于A，因为，则有解， 所以，为真命题，故A正确， 对于B，因为有理数的四则运算（除数不为）结果仍为有理数， 所以，为真命题，故B正确， 对于C，取，满足，且有，所以，为真命题，故C正确， 对于D，当时，不小于，所以，为假命题，故D错误， 故选：ABC. 8. 已知命题“存在实数，使得不等式成立”为真命题，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意得，解得， 所以的取值范围是． 故答案为：． 9. 已知，； (1)写出的否定，并求当的否定为真命题时，实数的取值范围 (2)若，中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意，的否定为， 若的否定为真命题，则对任意恒成立， 所以只需，解得； （2）由（1）可得，当的否定为真命题时，，所以当为真命题时，. 若为真命题，则对于任意的，恒成立， 因此只需，解得. 因为，中有且只有一个为真命题，所以可分为两种情况： 若为真命题，为假命题，则有或，解得； 若为假命题，为真命题，则有，解得. 综上可知，实数的取值范围是或. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$