1.4 充分条件与必要条件 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

§1.4 充分条件与必要条件 目录 题型1：充分条件、必要条件、充要条件的判断 3 题型2：充要条件的证明 5 题型3：命题成立的充分、必要、充要条件的探求 6 题型4：由充分、必要条件求参数的范围 8 【强化训练】 11 1. 充分条件与必要条件 一般地，“若，则”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件. 如果“若，则”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作p⇏q，此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件. (1)给定结论q，使得q成立的条件p是不唯一的. (2)给定条件p，由p可以推出的结论q是不唯一的. 2. 充要条件 (1) 充要条件的定义 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称为充要条件. 概括地说，如果p⇔q，那么与互为充要条件. (2) 充要条件的等价说法 是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价. (3) 充要条件的传递性 若是的充要条件，是的充要条件，即p⇔q，q⇔s,则有p⇔s,即p是s的充要条件. 3. 从集合角度看充分、必要条件 若把研究的范围看成集合，把研究的范围看成集合，则 关系 图示 结论 是的充分不必要条件 是的必要不充分条件 ，互为充要条件 是的既不充分也不必要条件 题型1：充分条件、必要条件、充要条件的判断 方法提炼 充分条件、必要条件、充要条件的判断方法： (1) 定义法：直接判断“若，则”与“若，则”的真假性，例如为真，则是的充分条件； (2) 集合法：若，则是的充分条件，是的必要条件；若，则是的充要条件；若、没有任何包含关系，则是的既不充分又不必要条件； (3) 逆否法：利用与，与，与的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用此法. (4) 特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件（结论）不能推出结论（条件）. 【例1.1.】 （多选）下列选项正确的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充要条件 【答案】BD 【详解】选项A，当时，，但是，故必要性不成立，所以A错误； 选项B，当时，一定成立，故充分性成立，当时，，故必要性不成立，所以B正确； 选项C，当时，，所以充分性不成立，所以C错误； 选项D，当时，， 即，所以，充分性成立， 当时，，必要性成立，所以D正确． 故选：BD. 【例1.2.】 下列说法正确的是（   ） A．“三角形是等腰三角形”是“三角形是正三角形”的充分不必要条件 B．“方程有实数根”是“”的充要条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】对于A，易知“三角形是等腰三角形”是“三角形是正三角形”的必要不充分条件，即选项A错误； 对于B，当时，满足“”，但方程没有实数根，即选项B不正确； 对于C，若，则，所以选项C错误； 对于D，若，有，但不满足；若，则，但不满足，即选项D正确. 故选：D. 【例1.3.】 已知p是q成立的必要条件，q是r成立的充要条件，r是s成立的充分条件，s不是q成立的充分条件，则下列说法正确的是（    ） A．p是r成立的充要条件 B．s是r成立的必要不充分条件 C．p是s成立的充分不必要条件 D．q是s成立的必要不充分条件 【答案】B 【详解】依题意得. 由得，但p不一定能推出r，充分性不一定满足，故A错. 由得，又，所以s是r成立的必要不充分条件，故B对. 由得，又，无法建立p与s的确切关联，即p不一定能推出s，s不一定能推出p，故C错； 因为，所以，又，所以q是s成立的充分不必要条件，故D错. 故选：B. 【例1.4.】 是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】若，如，满足， 但不满足，充分性不成立； 若，如，满足，但不满足，必要性不成立． 所以是的既不充分也不必要条件． 故选：D. 题型2：充要条件的证明 方法提炼 在证明是的充要条件时， 一是要注意既要证明，又要证明，不能忽略任何一个; 二是在证明过程中要分清充分性与必要性的条件与结论，不要混淆; 三是说法要严谨，加强逻辑性. 【例2.1.】 证明： (1)“”是“”的充分不必要条件； (2)“”是“”的充要条件； (3)已知，求证：是的充要条件． 【详解】（1）充分性：当时，，充分性成立． 必要性：由，得，即，必要性不成立． 故“”是“”的充分不必要条件． （2）充分性：若，则，充分性成立． 必要性：若，则，必要性成立． 故“”是“”的充要条件． （3）充分性：若，则，. 必要性：若，则有或 解可得，无解， ∴， ∴是的充要条件． 【例2.2.】 设分别是的三条边，且，则为直角三角形的充要条件是.试用边长探究为锐角三角形的一个充要条件，并证明. 【答案】，证明见解析 【详解】为锐角三角形的充要条件为. 证明：充分性：若，则不是直角三角形. 若为钝角三角形，因为，则. 过点B作的延长线的垂线，垂足为D（如图（1））， 由勾股定理知 ，矛盾， 故为锐角三角形，充分性成立. 必要性：过点A作边的垂线，垂足为D(如图(2))， 由勾股定理知， ， 故必要性成立. 故为锐角三角形的充要条件为.    题型3：命题成立的充分、必要、充要条件的探求 方法提炼 (1) 若的充分条件为，则； (2) 若的必要条件为，则； 【例3.1.】 下列命题中，不是“四边形是正方形”的充分条件的有（    ） A．对角线相等的菱形 B．邻边相等的矩形 C．对角线相等的平行四边形 D．有一个角是直角的菱形 【答案】C 【详解】根据正方形的判定及菱形、矩形、平行四边形的性质，知A，B，D中描述的四边形均为正方形，是“四边形是正方形”的充分条件， 对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故C不是“四边形是正方形”的充分条件. 故选：C 【例3.2.】 不等式成立的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由不等式，可得，即不等式的解集为， 对于A中，集合是成立的充要条件，所以A不符合题意； 对于B中，集合 是的必要不充分条件，所以B符合题意； 对于C中，集合 是的充分不必要条件，所以C不符合题意； 对于D中，集合是的既不充分也不必要条件，所以D不符合题意. 故选：B. 【例3.3.】 若，则成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 故，解得：或， 又是的真子集，其他选项均不是的真子集， 则成立的一个充分不必要条件是. 故选：C 题型4：由充分、必要条件求参数的范围 方法提炼 根据条件关系求参数取值范围的解题策略 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解． (2)要注意区间端点值的检验． 【例4.1.】 “方程有实根”的充要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若方程有实根， 当时，， 当时，，即且， 综上，． 验证：当时，方程为一元一次方程，有一个实根， 当且时，，方程有实根成立. 故选：A. 【例4.2.】 已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】， 由于是的充要条件，， 所以，解得， 故整数. 故选：D 【例4.3.】 已知或，或．若是的充分条件，则实数的最大值为 ；若是的必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】或，或， 若是的充分条件，则，所以，解得， 即实数的最大值是； 若是的必要条件，则， ①当，即时，，此时成立； ②当，即时，， 若，则，解得，又，故无解， 综上，的取值范围是． 故答案为：-4， 【例4.4.】 已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由已知，P的充分条件为Q，则Q是P的子集， 当时，即时，，满足题意； 当，即时，由题意得，解得， 综上，m的取值范围是． 【例4.5.】 设集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的值为（   ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】由题意可得，令，解得，则，不符合题意； 令，则，解得或， 当时，，不符合题意，当时，. 综上可得：. 故选：D. 【例4.6.】 设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 若，则，BA， 若，则，BA， 若，则，BA， ∴BA的一个充分不必要条件是. 故选：B 【例4.7.】 已知非空集合，. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）当时，，所以或， 又，所以或. （2）因为是的充分不必要条件，所以A是B的真子集， 又A是非空集合，所以，解得， 所以实数a的取值范围为. 【强化训练】 1. 集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 【答案】B 【详解】因为“”是“”的充要条件，所以， 又，，所以. 故选：B. 2. 已知均为实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】取，，可得，但，故由不能推出． 由于，所以和均不为0，所以可以推断． 综上，“”是“”的必要不充分条件． 故选：C 3. 不等式成立的充分不必要条件可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，解得， 所以不等式的解集为， 对于A，因为，所以是不等式成立的既不充分也不必要条件，所以A错误， 对于B，因为，所以是不等式成立的充分不必要条件，所以B正确， 对于C，因为不等式的解集，所以是不等式成立的充要条件，所以C错误， 对于D，因为，所以是不等式成立的必要不充分条件，所以D错误， 故选：B 4. （多选）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的充要条件，是的必要条件，则（    ） A．是的充要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的充分不必要条件 D．是的充要条件 【答案】AB 【详解】因为是的充分不必要条件，是的充分条件，所以，，． 因为是的充要条件，所以．因为是的必要条件，所以． 综上可得，，，但， 即是的充要条件，是的充分不必要条件． 故选：AB 5. （多选）设全集为，集合，，是的子集，且，.则下列命题正确的是（    ） A．若，则“”是“”的必要条件 B．若，则“”是“”的充要条件 C．若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集 D．若（其中），则“”是“”的充分条件 【答案】CD 【详解】对于A，由，若，则且，但不一定属于，因此“”不是“”的必要条件，即选项A错误； 对于B，若，当时，则必须属于（否则）； 但时，也可能.因此“是的充分不必要条件，即选项B错误； 对于C：若“”是“”的充分不必要条件，则且， 即则是的真子集，即选项C正确； 对于D：由，若，则必有， 因此“”是“”的充分条件，故D正确； 故选：CD. 6. 已知或，若是的必要条件，则实数的范围是 ． 【答案】 【详解】因为是的必要条件，所以， ①当时，，满足； ②当时，， 由，得，解得，故； ③当时，， 由，得，解得，故； 综上所述，实数的范围是， 故答案为： 7. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】不等式，即，因此解集为， 若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 有（等号不同时成立），解得，经验证，符合题意. 故答案为：. 8. 下列命题中，判断条件是条件的什么条件. (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形. 【答案】(1)必要非充分条件；(2)既非充分又非必要条件；(3)必要非充分条件 【详解】（1）∵，但，∴是的必要非充分条件. （2）∵是直角三角形是等腰三角形； 是等腰三角形是直角三角形， ∴是的既非充分又非必要条件. （3）∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形； 四边形是矩形四边形的对角线互相平分， ∴是的必要非充分条件. 9. 已知集合，或 (1)当时，求； (2)若，或，且p的必要不充分条件是q，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）， 当时，或． ． （2）因为，或． 是的必要不充分条件，所以或， 所以或． 10. 已知集合，非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】(1)；(2)存在， 【详解】（1）非空集合．可得：，解得： 由是的必要条件，可得：, 所以，解得：，综上实数的取值范围； （2）存在，由是的充分条件，则, 所以，解得：，所以实数的取值范围 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ §1.4 充分条件与必要条件 目录 题型1：充分条件、必要条件、充要条件的判断 3 题型2：充要条件的证明 4 题型3：命题成立的充分、必要、充要条件的探求 5 题型4：由充分、必要条件求参数的范围 5 【强化训练】 7 1. 充分条件与必要条件 一般地，“若，则”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件. 如果“若，则”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作p⇏q，此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件. (1)给定结论q，使得q成立的条件p是不唯一的. (2)给定条件p，由p可以推出的结论q是不唯一的. 2. 充要条件 (1) 充要条件的定义 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称为充要条件. 概括地说，如果p⇔q，那么与互为充要条件. (2) 充要条件的等价说法 是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价. (3) 充要条件的传递性 若是的充要条件，是的充要条件，即p⇔q，q⇔s,则有p⇔s,即p是s的充要条件. 3. 从集合角度看充分、必要条件 若把研究的范围看成集合，把研究的范围看成集合，则 关系 图示 结论 是的充分不必要条件 是的必要不充分条件 ，互为充要条件 是的既不充分也不必要条件 题型1：充分条件、必要条件、充要条件的判断 方法提炼 充分条件、必要条件、充要条件的判断方法： (1) 定义法：直接判断“若，则”与“若，则”的真假性，例如为真，则是的充分条件； (2) 集合法：若，则是的充分条件，是的必要条件；若，则是的充要条件；若、没有任何包含关系，则是的既不充分又不必要条件； (3) 逆否法：利用与，与，与的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用此法. (4) 特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件（结论）不能推出结论（条件）. 【例1.1.】 （多选）下列选项正确的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充要条件 【例1.2.】 下列说法正确的是（   ） A．“三角形是等腰三角形”是“三角形是正三角形”的充分不必要条件 B．“方程有实数根”是“”的充要条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 【例1.3.】 已知p是q成立的必要条件，q是r成立的充要条件，r是s成立的充分条件，s不是q成立的充分条件，则下列说法正确的是（    ） A．p是r成立的充要条件 B．s是r成立的必要不充分条件 C．p是s成立的充分不必要条件 D．q是s成立的必要不充分条件 【例1.4.】 是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型2：充要条件的证明 方法提炼 在证明是的充要条件时， 一是要注意既要证明，又要证明，不能忽略任何一个; 二是在证明过程中要分清充分性与必要性的条件与结论，不要混淆; 三是说法要严谨，加强逻辑性. 【例2.1.】 证明： (1)“”是“”的充分不必要条件； (2)“”是“”的充要条件； (3)已知，求证：是的充要条件． 【例2.2.】 设分别是的三条边，且，则为直角三角形的充要条件是.试用边长探究为锐角三角形的一个充要条件，并证明.   题型3：命题成立的充分、必要、充要条件的探求 方法提炼 (1) 若的充分条件为，则； (2) 若的必要条件为，则； 【例3.1.】 下列命题中，不是“四边形是正方形”的充分条件的有（    ） A．对角线相等的菱形 B．邻边相等的矩形 C．对角线相等的平行四边形 D．有一个角是直角的菱形 【例3.2.】 不等式成立的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【例3.3.】 若，则成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 题型4：由充分、必要条件求参数的范围 方法提炼 根据条件关系求参数取值范围的解题策略 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解． (2)要注意区间端点值的检验． 【例4.1.】 “方程有实根”的充要条件为（   ） A． B． C． D． 【例4.2.】 已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【例4.3.】 已知或，或．若是的充分条件，则实数的最大值为 ；若是的必要条件，则实数的取值范围是 ． 【例4.4.】 已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ． 【例4.5.】 设集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的值为（   ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【例4.6.】 设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【例4.7.】 已知非空集合，. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【强化训练】 1. 集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 2. 已知均为实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3. 不等式成立的充分不必要条件可以是（ ） A． B． C． D． 4. （多选）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的充要条件，是的必要条件，则（    ） A．是的充要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的充分不必要条件 D．是的充要条件 5. （多选）设全集为，集合，，是的子集，且，.则下列命题正确的是（    ） A．若，则“”是“”的必要条件 B．若，则“”是“”的充要条件 C．若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集 D．若（其中），则“”是“”的充分条件 6. 已知或，若是的必要条件，则实数的范围是 ． 7. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 . 8. 下列命题中，判断条件是条件的什么条件. (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形. 9. 已知集合，或 (1)当时，求； (2)若，或，且p的必要不充分条件是q，求实数m的取值范围. 10. 已知集合，非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$