1.4.2充要条件（培优教学课件）数学人教A版2019必修第一册

1.4.2 充要条件 第一章 集合与常用逻辑用语 人教A版2019必修第一册·高一 前情回顾 小范围 大范围 命题真假 “若p，则q”真 推理关系 条件关系 “若p，则q”假 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 ⇍ ⇒ 1. 充分条件与必要条件： 前情回顾 2. 充分、必要条件与集合的关系： B A (1)若p是q的充分条件：，则： 即A⊆B； A B (2)若p是q的必要条件：，则： 即B⊆A； 小范围 大范围 记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} (3)若p不是q的充分条件：，则A⊈B； (4)若p不是q的必要条件：，则B⊈A； 章节导读 1.1集合的概念 1.2 集合间的基本关系 1.3集合的 基本运算 1.4充分条件 与必要条件 集合的概念 集合的表示 空集 、 (真)子集个数 子集与真子集 并集及其性质 交集及其性质 补集与摩根定律 充分条件与必要条件 充要条件与集合的关系 集合 与元素 列举法描述法 1.5全称量词与存在量词 全称量词与存在量词 两类命题的否定 学 习 目 标 1 2 3 通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义. 能判断命题中条件与结论的充分性及必要性. 能根据集合关系与充分性、必要性解决简单的含参数问题. 读教材 阅读课本P20-P22，4分钟后完成下列问题： 1. 既考虑充分性也考虑必要性，p与q有哪些逻辑关系？ 我们一起来探究“充要条件”吧！ 2. p是q的四种条件与集合关系有什么联系？ 新课引入 老张邀请张三、李四、王五三个人吃饭，吃饭时：只有张三、李四准时赴约，王五因事不能到场，老张说:“该来的没有来。”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了；老张愣了片刻，又道了句:“不该走的又走了。”李四听了大怒，拂袖而去。 思考：张三为什么走了?李四为什么走了? 1.张三走的原因：“该来的没有来”的等价命题是“来了不该来的”， 张三觉得自己是不该来的. 2.李四走的原因：“不该走的又走了”的等价命题是“没走的应该走”， 李四觉得自己是应该走的. 学习过程 01 03 02 目录 1 充要条件 3 题型训练 2 四种条件与集合的关系 “同时考虑充分性和必要性时，p与q之间有哪些逻辑关系呢？ 新知探究1 探究1：已知整数是的倍数； 整数是的倍数，请判断 是的必要条件吗？是的充分条件吗？ ,所以是的充分条件； ,所以是的必要条件 是的充分必要条件（简称充要条件） 充分不必要条件，必要不充分条件， 充要条件，既不充分也不必要条件。 新知1 1. 充要条件： 充要条件 如果“若则”和它的逆命题“若则”均是真命题，即既有，又有，就记作此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们就说： 是的充分必要条件，简称为充要条件. 显然，如果是的充要条件，那么也是的充要条件。 ________________条件。 ，； ， 概念辨析 四种逻辑关系的概念辨析 条件p 结论q p能否推q q能否推p p与q的关系 x=1 x3=1 p是q的________________条件 x>2 x2>4 p是q的________________条件 ab=0 a=0 p是q的________________条件 |a|>|b| a>b p是q的_________________条件 充分必要(充要) 充分不必要 必要不充分 既不充分也不必要 小范围 大范围 ⇍ ⇒ 典例分析 例1 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； (2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； (3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac<0； (4)若A∪B是空集，则A与B均是空集. 解：不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题； 命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题； 命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题. 典例分析 例2 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件” “必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”). (3)p：A∩B＝∅，q：A与B之一为空集； (4)p：a能被6整除，q：a能被3整除； (1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等； (2)p：a是自然数；q：a是正数. 必要不充分条件 既不充分也不必要条件 充要条件 充分不必要条件 典例分析 例3 求证：二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 证明：充分性： 因为a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0， 得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0. 所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1. 必要性： 因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0， 所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0. 故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 典例分析 例4 求证：∆ABC是等边三角形的充要条件是a2+b2+c2=ab+ac+bc. (这里a,b,c是∆ABC的三边边长) 证明：必要性： ∵△ABC是等边三角形， ∴a=b=c， ∴ab+ac+bc=a2+b2+c2， ∴必要性成立； 充分性： 由a2+b2+c2=ab+ac+bc两边同时乘2， 得2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc， 即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0， ∴a=b=c，∴△ABC是等边三角形. ∴充分性成立. 综上所述，∆ABC是等边三角形的充要条件是a2+b2+c2=ab+ac+bc. 方法总结 定义法:________________条件。 ①若pq,但qp,则p是q 的充分不必要条件; ②若qp,但pq,则p是q的必要不充分条件; ③若pq,且qp,则p是q的充要条件; ④若pq,且qp,则p是q的既不充分也不必要条件. 判断充分、必要条件的方法 ， ； ， 充要条件的证明： 有关充要条件的证明，要分清哪个是条件，哪个是结论； 证明要分两个环节，一是证明充分性，二是证明必要性； 证明充分性就是证明“条件结论”，证明必要性就是证明“结论条件. 学习过程 01 03 02 目录 1 充要条件 3 题型训练 2 四种条件与集合的关系 新知探究2 探究2 记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， (1)若p是q的充分条件，则集合A，B的关系是什么？ (2)若p是q的必要条件,则集合A，B的关系是什么？ (3)若p是q的充分不必要条件，则集合A，B的关系是什么？ (4)若p是q的必要不充分条件，则集合A，B的关系是什么？ (5)若p是q的充分必要条件，则集合A，B的关系是什么？ (6)若p是q的即不充分也不必要条件，则集合A，B的关系是什么？ 小范围 大范围 新知2 四种条件与集合的关系 2. 四种条件与集合的关系： B A (1)若p是q的充分条件：，则： 即A⊆B； A B (2)若p是q的必要条件：，则： 即B⊆A； 记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} B A (3)若p是q的充分不必要条件：，则： 即A B； A B (4)若p是q的必要不充分条件：，则： 即B A； B(A) A(B) B A (5)若p是q的充分必要条件： ，则： 即A=B； A B (6)若p是q的必要不充分条件：，则： 即A⊈B； 典例分析 例1 已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|1－a≤x≤1＋a}(a>0)， 是否存在实数a，使得x∈A是x∈B成立的充分不必要条件？ 解：由题意知A＝{x|0≤x≤4}，则A是B的真子集， 所以1－a≤0且1＋a≥4(两等号不能同时取得)， 又因为a>0，解得a≥3， 所以a存在，且a的取值集合M＝{a|a≥3}. 典例分析 例2 已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|1－a≤x≤1＋a}(a>0)， 是否存在实数a，使得x∈A是x∈B成立的必要不充分条件？ 解：由题意知A＝{x|0≤x≤4}，则B是A的真子集， 所以1－a≥0且1＋a≤4(两等号不能同时取得)， 又因为a>0，解得0<a≤1， 所以a存在，且a的取值集合M＝{a|0<a≤1}. 典例分析 例3 已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|1－a≤x≤1＋a}(a>0)， 是否存在实数a，使得x∈A是x∈B成立的充要条件？ 解：由题意知A＝{x|0≤x≤4}，则A＝B， 所以1－a＝0且1＋a＝4，又a>0，方程组无解， 所以不存在满足条件的a. 学习过程 01 03 02 目录 1 充要条件 3 题型训练 2 四种条件与集合的关系 判断命题中的逻辑关系 题型1 题型探究 例1 设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解：由2－x≥0，得x≤2，由|x－1|≤1，得0≤x≤2. 当x≤2时不一定有0≤x≤2，而当0≤x≤2时一定有x≤2， ∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要不充分条件. B 判断命题中的逻辑关系 题型1 题型探究 例2 a，b是实数，则“a<0，且b<0”是“ab(a－b)>0”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解：已知a，b是实数，则若a<0，且b<0，则不一定有ab(a－b)>0， 比如当a<b<0时，ab(a－b)<0；反之，若ab(a－b)>0，则a－b和ab同号， 当a>b>0时满足ab(a－b)>0，当b<a<0时也满足ab(a－b)>0， 故不能确定a和b的正负.故是既不充分也不必要条件. D 判断命题中的逻辑关系 题型1 题型探究 例3 (多选)使“x∈{x|x≤0或x>2}”成立的一个充分不必要条件是（ ） A.x≥0 B.x<0或x>2 C.x∈{－1,3,5} D.x≤0或x>2 解：从集合的角度出发，在选项中判断哪个是题干的真子集， 只有B，C满足题意. BC 求参数(范围)问题 题型2 题型探究 例4 已知 (1)当为何值时，是的充要条件？ 解：(1)∵是的充要条件， ∴，此时 ∴当时，是的充要条件. 方法技巧 先转化为集合关系，再求参数范围。 求参数(范围)问题 题型2 题型探究 例4 已知 (2)当为何值时，是的充分不必要条件？ 解：(2)∵是的充分不必要条件， ∴， ∴. ∴当时，∴是的充分不必要条件. 方法技巧 先转化为集合关系，再求参数范围。 • • • 求参数(范围)问题 题型2 题型探究 例4 已知 (3)当为何值时，是的充分不必要条件？ 解：(3)若是的充分不必要条件， 即但，亦即是的必要不充分条件， ∴，∴. ∴当时，是的必要不充分条件，即是的充分不必要条件. 方法技巧 先转化为集合关系，再求参数范围。 • • • 课堂小结 1. 充要条件： 如果“若则”和它的逆命题“若则”均是真命题，即既有，又有，就记作此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们就说： 是的充分必要条件，简称为充要条件. 显然，如果是的充要条件，那么也是的充要条件。 ________________条件。 ，； ， 2. 四种条件与集合的关系： B A (1)若p是q的充分条件：，则： 即A⊆B； A B (2)若p是q的必要条件：，则： 即B⊆A； 记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} B A (3)若p是q的充分不必要条件：，则： 即A B； A B (4)若p是q的必要不充分条件：，则： 即B A； B(A) A(B) B A (5)若p是q的充分必要条件： ，则： 即A=B； A B (6)若p是q的必要不充分条件：，则： 即A⊈B； 课堂小结 感谢聆听! $$