1.3 集合的基本运算 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

§1.3 集合的基本运算 目录 题型1：交集、并集、补集的混合运算 2 题型2：根据集合运算求参数 4 题型3：集合运算中的元素个数问题 4 题型4：与集合运算相关的创新题 5 【强化训练】 6 1. 并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集，记作（读作“并”），即． 2. 交集 一般地，由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，称为集合与的交集，记作（读作“交”），即． 3. 全集和补集 (1) 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作. (2) 对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作.即. 题型1：交集、并集、补集的混合运算 方法提炼 解集合运算问题的三个注意点： ①解决集合的混合运算问题时，一般先运算括号内的部分. ②灵活利用交集与并集以及补集的运算性质，如， ，从而简化运算，减少运算量. ③在进行集合的运算时要尽可能地用图示法使抽象问题直观化. 【例1.1.】 已知全集. (1)求； (2)求. 【例1.2.】 已知全集，集合，，则（   ） A．或 B． C．或 D． 【例1.3.】 已知全集，集合A，B是U的子集，若，，，则集合（ ） A． B． C． D． 【例1.4.】 已知集合，，，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（ ） A． B． C． D． 【例1.5.】 已知全集，集合，，则正确的关系是（    ） A． B． C． D． 题型2：根据集合运算求参数 方法提炼 (1) 将集合间的运算关系转化为两集合之间的关系.若集合中的元素能一一列举，可用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若是与不等式有关的集合，则可利用数轴得到不同集合之间的关系. (2) ；；. 【例2.1.】 已知集合，，，则实数 ． 【例2.2.】 已知集合，，若，则的取值集合是 ． 【例2.3.】 已知或，，若，则m的取值范围是 . 【例2.4.】 设全集，集合． (1)若时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【例2.5.】 已知集合，或，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 题型3：集合运算中的元素个数问题 方法提炼 如果用表示有限集合元素的个数，即表示有限集的元素个数.对任意两个有限集合有. 【例3.1.】 已知全集，，则集合B的元素个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．不确定 【例3.2.】 某班有46名学生，有围棋爱好者22人，足球爱好者27人，同时爱好这两项的最多人数为，最少人数为，则 . 【例3.3.】 某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了音乐讲座，记是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了音乐讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若 ,，则（    ） A． B． C． D．   【例3.4.】 (多选)某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数可能是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8   题型4：与集合运算相关的创新题 【例4.1.】 对于任意两集合A，B，定义且，记，则 ． 【例4.2.】 已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 【例4.3.】 我们知道，如果集合A⊆S，那么把S看成全集时，S的子集A的补集为 ，且. 类似的，对于集合A，B，我们把集合，且叫作集合A与B的差集，记作.据此回答下列问题: (1)在图中用阴影表示出集合(其中U是全集，A，B为U的子集); (2)若A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，求; (3)若集合，集合，且A-B=⌀，求实数a的取值范围. 【强化训练】 1. 已知集合．若，且，则满足条件的C的个数为（    ） A．479 B．480 C．511 D．512 2. 若全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 3. 设全集，集合，，（   ） A． B． C． D． 4. （多选）图中阴影部分用集合符号可以表示为（   ） A． B． C． D． 5. （多选）设全集，集合，若，则（    ） A． B． C．的真子集个数为32 D． 6. （多选）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 7. 某学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同时参加田径和球类比赛的人数为 8. 已知集合，，且，则实数所取到的值构成的集合 ，则 ． 9. 已知全集，，，. (1)若，且，求的值及集合； (2)若，求的值及. 10. 设全集，集合或，． (1)当时，求图中阴影部分表示的集合； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ §1.3 集合的基本运算 目录 题型1：交集、并集、补集的混合运算 2 题型2：根据集合运算求参数 5 题型3：集合运算中的元素个数问题 8 题型4：与集合运算相关的创新题 10 【强化训练】 13 1. 并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集，记作（读作“并”），即． 2. 交集 一般地，由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，称为集合与的交集，记作（读作“交”），即． 3. 全集和补集 (1) 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作. (2) 对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作.即. 题型1：交集、并集、补集的混合运算 方法提炼 解集合运算问题的三个注意点： ①解决集合的混合运算问题时，一般先运算括号内的部分. ②灵活利用交集与并集以及补集的运算性质，如， ，从而简化运算，减少运算量. ③在进行集合的运算时要尽可能地用图示法使抽象问题直观化. 【例1.1.】 已知全集. (1)求； (2)求. 【答案】(1)或或 (2)或 【详解】（1）由于 所以或或. （2）方法一  ，所以或. 方法二  利用德摩根定律结合（1）得或. 【例1.2.】 已知全集，集合，，则（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【详解】由题意得，又，则， 所以或． 故选：C. 【例1.3.】 已知全集，集合A，B是U的子集，若，，，则集合（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 又，，所以， 又， 所以， 故选：D. 【例1.4.】 已知集合，，，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图可知，阴影部分表示的集合为集合中的元素去掉集合的元素构成，即， 而，，则，， 故阴影部分表示的集合为. 故选：C. 【例1.5.】 已知全集，集合，，则正确的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，当，，所以， 当，，所以，所以，故A错误； ，故B正确；由，所以，故C错误； 因为，所以，故D错误. 故选：B. 题型2：根据集合运算求参数 方法提炼 (1) 将集合间的运算关系转化为两集合之间的关系.若集合中的元素能一一列举，可用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若是与不等式有关的集合，则可利用数轴得到不同集合之间的关系. (2) ；；. 【例2.1.】 已知集合，，，则实数 ． 【答案】 【详解】，. ，，即. 当时，得， 分别代入集合与集合中得：，，此时不符合题意，舍去； 当，得或， 将分别代入集合与集合中得：，，不符合题意，舍去； 将分别代入集合与集合中得：，，符合题意. 综上所述：. 故答案为：. 【例2.2.】 已知集合，，若，则的取值集合是 ． 【答案】 【详解】因为，则， 若，可得或， 当，则集合，，符合题意； 当，则集合，，符合题意； 若，可得，不满足互异性，不符合题意； 综上所述：的取值集合是. 故答案为：. 【例2.3.】 已知或，，若，则m的取值范围是 . 【答案】 【详解】由或，可得， 因为，， 所以且， 解得， 故答案为： 【例2.4.】 设全集，集合． (1)若时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) (3)． 【详解】（1）因为，所以，又， 所以． 方法一  因为或，或， 所以或． 方法二  或． （2）因为，所以， 又，所以解得， 所以的取值范围是． （3）因为，所以（，分为与两种情况讨论）． 若，则，可得，满足； 若，要使，则不等式组无解． 综上，的取值范围是． 【例2.5.】 已知集合，或，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2)或. 【详解】（1）解：由集合，或， 可得或，则或. （2）解：由（1）知，，或， 所以或，可得， 当时，即时，，此时满足； 当时，即时，要使得， 则满足或，解得或， 综上可得，实数的取值范围为或. 题型3：集合运算中的元素个数问题 方法提炼 如果用表示有限集合元素的个数，即表示有限集的元素个数.对任意两个有限集合有. 【例3.1.】 已知全集，，则集合B的元素个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．不确定 【答案】B 【详解】因为全集，， 所以中肯定有1，3，5，7，中肯定没有1，3，5，7，和中都有可能有0，2，4，6，8，9，10， 且除了1，3，5，7，中有的其他数字，中也一定会有，中没有的数字，中也一定会有， 所以， 故选：B 【例3.2.】 某班有46名学生，有围棋爱好者22人，足球爱好者27人，同时爱好这两项的最多人数为，最少人数为，则 . 【答案】19 【详解】设集合分别表示围棋爱好者，足球爱好者，全班学生组成全集， 就是两者都爱好的，要使中人数最多，则， 要使中人数最少，则，即，解得， . 故答案为：19 【例3.3.】 某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了音乐讲座，记是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了音乐讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若 ,，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将已知条件用Venn图表示出来如下图， 对A：，故A错误； 对B：，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，故D错误； 故选：B.    【例3.4.】 (多选)某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数可能是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】AB 【详解】设周一，周二，周三开车上班的职工组成的集合分别为， 集合中元素个数分别为， 则， 因为， 且， 所以， 则，所以AB选项正确，CD选项错误. 故选：AB    题型4：与集合运算相关的创新题 【例4.1.】 对于任意两集合A，B，定义且，记，则 ． 【答案】或 【详解】，，． 故答案为：或 【例4.2.】 已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 【答案】(1)证明见解析 (2)不一定，举例见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）且为闭集知：，成立， 故而，从而命题成立. （2）取， 知不一定是闭集合. （3）若或，且均是的真子集，命题显然成立， 故不妨设存在满足，且存在满足, 取知，否则 或者而得出矛盾，故命题成立. 【例4.3.】 我们知道，如果集合A⊆S，那么把S看成全集时，S的子集A的补集为 ，且. 类似的，对于集合A，B，我们把集合，且叫作集合A与B的差集，记作.据此回答下列问题: (1)在图中用阴影表示出集合(其中U是全集，A，B为U的子集); (2)若A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，求; (3)若集合，集合，且A-B=⌀，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3). 【详解】（1）将集合A中B的部分去掉涂色即可；阴影部分如下所示： （2），，根据差集概念，， 令，再根据差集概念得： （3）因为，所以. 由可得. 当时，，不等式不成立，此时，满足. 当时，. 因为，所以. 解，因为，此不等式恒成立. 解，两边同乘得，即. 结合，则. 当时，. 因为，所以. 解，两边同乘（不等号变向）得，即. 解，两边同乘（不等号变向）得，即， 结合，取. 综上，的取值范围是 【强化训练】 1. 已知集合．若，且，则满足条件的C的个数为（    ） A．479 B．480 C．511 D．512 【答案】B 【详解】因为，所以， 因为，，， 所以此条件的集合C有， 因为A中含有，B中不含有的元素为5，6，7，8，9，而的非空子集有， 所以满足，且的集合的个数有, 故选：B 2. 若全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交并补集的运算结果，结合选项依次验证即可判断. 【详解】A：若，则，所以， 与矛盾，故A错误； B：若，则，所以， 与矛盾，故B错误； C：若，则， 由，得，所以， 与矛盾，故C错误； D：若，则， 由，得， 所以，故D正确. 故选：D 3. 设全集，集合，，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得，，故， 故选：B 4. （多选）图中阴影部分用集合符号可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为， 所以选项AD正确，选项BC不正确. 故选：AD. 5. （多选）设全集，集合，若，则（    ） A． B． C．的真子集个数为32 D． 【答案】AD 【详解】由题意知，作出Venn图，如图． 由图可知，故A正确，B错误； 集合的真子集个数为，C错误； ，故，D正确. 故选：AD 6. （多选）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】集合，集合， 对于A选项：，故A正确； 对于B选项：，故B错误； 对于C、D选项：，，故C正确； ，故D正确． 故选：ACD． 7. 某学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同时参加田径和球类比赛的人数为 【答案】 9 3 【详解】因为参加趣味益智类比赛的总人数为15， 且：同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人； 同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人． 又因为没有人同时参加三项比赛， 所以只参加趣味益智类一项比赛的人数为：人． 设同时参加田径和球类比赛的人数为，由题意得： ， 解得：， 故同时参加田径和球类比赛的人数为， 故答案为：9；3． 8. 已知集合，，且，则实数所取到的值构成的集合 ，则 ． 【答案】 【详解】， ， ， 当时，，满足条件，， 当时，，若满足条件，， 则或，即或， 综上实数的值构成的集合； ， 则． 故答案为：；． 9. 已知全集，，，. (1)若，且，求的值及集合； (2)若，求的值及. 【答案】(1)，； (2)，. 【详解】（1）依题意，，由，且，，得， 即，因此，解得，经验证符合题意， 解方程，得或，， 所以，. （2）依题意，，由，得， 由（1）知，因此，有，解得，经验证符合题意， ，则， 所以，. 10. 设全集，集合或，． (1)当时，求图中阴影部分表示的集合； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)条件选择见解析，或 【详解】（1）因为全集，集合或， 当时，， 所以或. 所以图中阴影部分表示的集合或． （2）①；②；③， 选择①②③中任选一个作为已知条件，均得到， 当时，，解得； 当时，或， 解得或，所以. 综上可知，实数的取值范围是或． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$