函数的概念(8大题型）讲义-2026届高三数学一轮复习

[在此处键入] 函数的概念 题型一：函数的概念 【解题方法总结】 利用函数的概念综合题目条件进行判断. 例1．（2024·山东潍坊·统考一模）下列对应中： （1）x→y，其中y＝2x+1，x∈{1，2，3，4}，y∈{x|x＜10，x∈N}； （2）x→y，其中y2＝x，x∈[0，+∞），y∈R； （3）x→y，其中y为不大于x的最大整数，x∈R，y∈Z； （4）x→y，其中y＝x﹣1，x∈N*，y∈N*． 其中，是函数的是（　　） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（3）（4） 例2．（2025·重庆·二模）下列集合A、B及其对应法则不能构成函数的是（　　） A．A＝B＝R，f（x）＝|x+1| B．A＝B＝R， C．A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6，7}，f（x）＝x+3 D．A＝{x|x＞0}，B＝{1}，f（x）＝x0 例3．（2024秋·湖北襄阳·高三襄阳四中校考阶段练习）若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型二：同一函数的判断 【解题方法总结】 当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数． 例4．（2024·高三课时练习）下列函数与f（x）＝x+1是同一个函数的是（　　） A． B． C． D．g（x）＝elnx+1 例5．（2024·全国·高三专题练习）下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（    ） A． B． C． D． 例6．（2024·全国·高三专题练习）下列各组函数表示相同函数的是（  ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型三：给出函数解析式求解定义域 【解题方法总结】 对求函数定义域问题的思路是： （1）先列出使式子有意义的不等式或不等式组； （2）解不等式组； （3）将解集写成集合或区间的形式． 例7．（2025春·江西新余·高三新余市第一中学校考阶段练习）已知函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例8．（2024·全国·高三专题练习）函数的定义域为______． 例9．（2024·高三课时练习）函数的定义域为______． 题型四：抽象函数定义域 【解题方法总结】 1、抽象函数的定义域求法：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若的定义域为，求中的解的范围，即为的定义域，口诀：定义域指的是的范围，括号范围相同．已知的定义域，求四则运算型函数的定义域 2、若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集． 例10．（2024·全国·高三专题练习）若函数f（x+1）的定义域为[﹣1，15]，则函数的定义域为（　　） A．[1，4] B．（1，4] C．[1，14] D．（1，14] 例11．（2024·高三课时练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______． 例12．（2025·江西九江·校考模拟预测）若的定义域为，求的定义域． 题型五：函数定义域的应用 【解题方法总结】 对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论． 例13．（2025·山东·校联考二模）若函数的定义域为R，则a的范围是（　　） A．[0，4] B．[0，4） C．（0，4] D．（0，4） 例14．（2024·全国·高三专题练习）已知的定义域为，那么a的取值范围为_________． 例15．（2024·全国·高三专题练习）函数的定义域为，则实数a的取值范围是___________. 题型六：函数解析式的求法 【解题方法总结】 求函数解析式的常用方法如下： （1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解． （2）当已知表达式为时，可考虑配凑法或换元法，若易将含的式子配成，用配凑法．若易换元后求出，用换元法． （3）若已知成对出现，或，，类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出． 例16．（2024·全国·高三专题练习）定义在上的函数满足，并且对任意实数，都有，求的解析式. 例17．（2024·全国·高三专题练习）已知，则（    ） A．6 B．3 C．11 D．10 例18．（2024·全国·高三专题练习）根据下列条件，求的解析式 (1)已知满足 (2)已知是一次函数，且满足； (3)已知满足 题型七：函数值域的求解 【解题方法总结】 函数值域的求法主要有以下几种 （1）观察法：根据最基本函数值域（如≥0，及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域． （2）配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域． （3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型． （4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等． （5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数． （6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析． （7）判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如，或的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）． （8）单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域．对于形如或的函数，当ac>0时可利用单调性法． （9）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域．因为常出现反解出y的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法． （10）导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域． 例19．（2024·全国·高三专题练习）求下列函数的值域 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8） （9）； （10）. 例20．（2024·全国·高三专题练习）若函数在区间[a，b]上的值域为[a，b]（b＞a≥2），则实数m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 例21．（2024·全国·高三专题练习）函数的值域是___________. 题型八：分段函数的应用 【解题方法总结】 1、分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析式代入求值. 2、函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内． 例22．（2025·四川成都·成都七中统考模拟预测）已知函数，则 （    ） A．-6 B．0 C．4 D．6 例23．（2025·河南·统考模拟预测）已知,则使成立的的取值范围是（　  ） A． B． C． D． 例24．（2024·全国·高三专题练习）已知函数. (1)求的最小值； (2)若对任意恒成立，求k的取值范围. [在此处键入] 学科网（北京）股份有限公司 $$[在此处键入] 函数的概念 题型一：函数的概念 【解题方法总结】 利用函数的概念综合题目条件进行判断. 例1．（2024·山东潍坊·统考一模）下列对应中： （1）x→y，其中y＝2x+1，x∈{1，2，3，4}，y∈{x|x＜10，x∈N}； （2）x→y，其中y2＝x，x∈[0，+∞），y∈R； （3）x→y，其中y为不大于x的最大整数，x∈R，y∈Z； （4）x→y，其中y＝x﹣1，x∈N*，y∈N*． 其中，是函数的是（　　） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（3）（4） 【解题思路】利用函数的定义，判断即可． 【解答过程】解：（1）x→y，其中y＝2x+1，x∈{1，2，3，4}，y∈{x|x＜10，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，满足函数的定义，（1）正确； （2）x→y，其中y2＝x，x∈[0，+∞），x∈R；当x＝1时，对应的y＝±1，不满足函数的定义，（2）不正确； （3）x→y，其中y为不大于x的最大整数，x∈R，y∈Z，满足函数的定义，（3）正确； （4）x→y，其中y＝x﹣1，x∈N*，y∈N*．当x＝1时，y需等于0，而y∈N*中没有0与之相对应，（4）不正确． 故选：B． 例2．（2025·重庆·二模）下列集合A、B及其对应法则不能构成函数的是（　　） A．A＝B＝R，f（x）＝|x+1| B．A＝B＝R， C．A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6，7}，f（x）＝x+3 D．A＝{x|x＞0}，B＝{1}，f（x）＝x0 【解题思路】根据函数的定义判断即可． 【解答过程】解：对于A，C，D，集合A中的任意一个元素，按照对应法则f（x），在集合B中都有唯一个元素与之对应，符合函数的定义，所以A，C，D正确， 对于B，对于集合A中元素0在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义，故B错误， 故选：B． 例3．（2024秋·湖北襄阳·高三襄阳四中校考阶段练习）若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A中，当时，，不符合题意，排除A；选项C中，存在一个x对应多个y值，不是函数的图象，排除C；选项D中，x取不到0，不符合题意，排除D. 故选：B. 题型二：同一函数的判断 【解题方法总结】 当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数． 例4．（2024·高三课时练习）下列函数与f（x）＝x+1是同一个函数的是（　　） A． B． C． D．g（x）＝elnx+1 【解题思路】根据同一函数的定义判断． 【解答过程】解：f（x）＝x+1的定义域为R， A． ，且定义域为R，故正确； B． ，故错误； C． ，故错误； D．g（x）＝elnx+1＝x+1（x＞0），故错误； 故选：A． 例5．（2024·全国·高三专题练习）下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于，和的定义域都是，对应关系也相同，是同一个函数，故选项正确； 对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误； 对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误； 对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误， 故选：. 例6．（2024·全国·高三专题练习）下列各组函数表示相同函数的是（  ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【详解】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数； 对于B中，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数； 对于C中，函数与的定义域和对应法则都相同，所以表示相同的函数； 对于D中，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数. 故选：C 题型三：给出函数解析式求解定义域 【解题方法总结】 对求函数定义域问题的思路是： （1）先列出使式子有意义的不等式或不等式组； （2）解不等式组； （3）将解集写成集合或区间的形式． 例7．（2025春·江西新余·高三新余市第一中学校考阶段练习）已知函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，解得，故定义域为. 故选：B 例8．（2024·全国·高三专题练习）函数的定义域为______． 【答案】 【详解】由，得， 故函数的定义域为：． 故答案为： 例9．（2024·高三课时练习）函数的定义域为______． 【答案】 【解析】要使函数有意义，则 ，解得. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 题型四：抽象函数定义域 【解题方法总结】 1、抽象函数的定义域求法：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若的定义域为，求中的解的范围，即为的定义域，口诀：定义域指的是的范围，括号范围相同．已知的定义域，求四则运算型函数的定义域 2、若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集． 例10．（2024·全国·高三专题练习）若函数f（x+1）的定义域为[﹣1，15]，则函数的定义域为（　　） A．[1，4] B．（1，4] C．[1，14] D．（1，14] 【解题思路】根据函数的解析式及函数的定义，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 【解答过程】解：因为f（x+1）的定义域为[﹣1，15]， 所以0≤x+1≤16， 所以， 解得1＜x≤4． 故选：B． 例11．（2024·高三课时练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______． 【答案】 【解析】因为函数的定义域为， 所以在函数中，，解得或， 故函数的定义域为. 故答案为：. 例12．（2025·江西九江·校考模拟预测）若的定义域为，求的定义域． 【答案】. 【详解】由函数的定义域为，则要使函数有意义， 则， 解得, ∴函数的定义域为. 题型五：函数定义域的应用 【解题方法总结】 对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论． 例13．（2025·山东·校联考二模）若函数的定义域为R，则a的范围是（　　） A．[0，4] B．[0，4） C．（0，4] D．（0，4） 【解题思路】由题意，ax2+ax+1≥0恒成立．再利用二次函数的性质，分类讨论，求出a的范围． 【解答过程】解：∵函数的定义域为R，∴ax2+ax+1≥0恒成立． 当a＝0时，显然满足ax2+ax+1≥0恒成立． 当a＜0时，ax2+ax+1≥0不可能恒成立， 当a＞0时，应有Δ＝a2﹣4a≤0，求得0＜a≤4． 综上可得，a∈[0，4]， 故选：A． 例14．（2024·全国·高三专题练习）已知的定义域为，那么a的取值范围为_________． 【答案】 【解析】依题可知，的解集为，所以，解得． 故答案为：． 例15．（2024·全国·高三专题练习）函数的定义域为，则实数a的取值范围是___________. 【答案】 【解析】因为函数的定义域为 R，所以的解为R， 即函数的图象与x轴没有交点， （1）当时，函数与x轴没有交点，故成立； （2）当时，要使函数的图象与x轴没有交点，则，解得. 综上：实数的取值范围是. 题型六：函数解析式的求法 【解题方法总结】 求函数解析式的常用方法如下： （1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解． （2）当已知表达式为时，可考虑配凑法或换元法，若易将含的式子配成，用配凑法．若易换元后求出，用换元法． （3）若已知成对出现，或，，类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出． 例16．（2024·全国·高三专题练习）定义在上的函数满足，并且对任意实数，都有，求的解析式. 【答案】 【详解】对任意实数，，， 令，得，即， 又，所以. 例17．（2024·全国·高三专题练习）已知，则（    ） A．6 B．3 C．11 D．10 【答案】C 【详解】， ， . 故选：C. 例18．（2024·全国·高三专题练习）根据下列条件，求的解析式 (1)已知满足 (2)已知是一次函数，且满足； (3)已知满足 【解析】（1）令，则， 故， 所以； （2）设， 因为， 所以， 即， 所以，解得， 所以； （3）因为①， 所以②， ②①得， 所以. 题型七：函数值域的求解 【解题方法总结】 函数值域的求法主要有以下几种 （1）观察法：根据最基本函数值域（如≥0，及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域． （2）配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域． （3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型． （4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等． （5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数． （6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析． （7）判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如，或的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）． （8）单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域．对于形如或的函数，当ac>0时可利用单调性法． （9）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域．因为常出现反解出y的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法． （10）导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域． 例19．（2024·全国·高三专题练习）求下列函数的值域 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8） （9）； （10）. 【解析】（1）分式函数， 定义域为，故，所有， 故值域为； （2）函数中，分母， 则，故值域为； （3）函数中，令得， 易见函数和都是减函数， 故函数在时是递减的，故时， 故值域为； （4）， 故值域为且； （5）， 而，， ，， 即，故值域为； （6）函数，定义域为，令， 所以，所以，对称轴方程为， 所以时，函数，故值域为； （7）由题意得，解得， 则， 故，，， 由y的非负性知，，故函数的值域为； （8）函数，定义域为，，故，即值域为； （9）函数，定义域为， 故，所有，故值域为； （10）函数， 令，则由知，，， 根据对勾函数在递减，在递增, 可知时，，故值域为. 例20．（2024·全国·高三专题练习）若函数在区间[a，b]上的值域为[a，b]（b＞a≥2），则实数m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【解题思路】由已知结合函数单调性及已知函数值域对问题进行转化得m＝a，m＝b，问题转化为m＝x在[2，+∞）上有两个不同零点，然后利用换元法，结合二次函数性质可求． 【解答过程】解：因为在区间[a，b]上单调递增且函数的值域为[a，b]（b＞a≥2）， 所以， 即m＝a，m＝b， 问题转化为m＝x在[2，+∞）上有两个不同零点， 令t，x＝2+t2且t≥0， 所以xt2﹣t+2，t≥0， 令g（t）＝t2﹣t+2，t≥0， 所以y＝m与g（t）＝t2﹣t+2＝（t）2在t≥0时有两个交点， 因为g（），g（2）＝2， 结合二次函数的性质可知，． 故选：C． 例21．（2024·全国·高三专题练习）函数的值域是___________. 【答案】 【详解】解：， 因为 所以函数的定义域为 令，整理得方程： 当时，方程无解； 当时， 不等式整理得： 解得： 所以函数的值域为. 故答案为： 题型八：分段函数的应用 【解题方法总结】 1、分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析式代入求值. 2、函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内． 例22．（2025·四川成都·成都七中统考模拟预测）已知函数，则 （    ） A．-6 B．0 C．4 D．6 【答案】A 【解析】由分段函数知：当时，周期， 所以， 所以． 故选：A 例23．（2025·河南·统考模拟预测）已知,则使成立的的取值范围是（　  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】（方法1）当时，不等式可化为，解得，又，所以； 当时，，不等式可化为，解得， 又，所以. 综上，使不等式成立的的取值范围是. 故选: A. （方法2）函数的图象如图所示，虚线表示，函数图象在虚线及以上的部分中的取值范围即不等式的解集. 由图可知，的取值范围就是点的横坐标与点的横坐标之间的范围. 在中，令，得，所以点的横坐标为. 在中，令，得（舍去）或， 所以点的横坐标为，所以使不等式成立的的取值范围是. 故选：A. 例24．（2024·全国·高三专题练习）已知函数. (1)求的最小值； (2)若对任意恒成立，求k的取值范围. 【答案】(1)0 (2) 【详解】（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数，，的图象，如图1所示， 由，解得或； 由，解得或. 由图象易得， 结合图象可知，当时，取得最小值， 即. （2）设，则恒过点， 因为，所以记， 由（1）知，的图象如图2所示， 当时，≤-1，即， 所以，不等式恒成立. 当时，易知直线AM的斜率， 由图象可知，根据恒成立， 可得，解得，所以， 综上所述，k的取值范围是. [在此处键入] 学科网（北京）股份有限公司 $$