2.3 二次根式（题型专练）数学北师大版2024八年级上册

2.3 二次根式 题型一 二次根式及有意义的条件 1．下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）若代数式有意义，则a的取值范围应是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）成立的条件是（   ） A． B． C． D． 4．（2025九年级下·福建龙岩·学业考试）已知a，b，c为正整数且满足，则a，b，c的大小关系为 ． 题型二 最简二次根式 1．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）写出一个大于2的最简二次根式 ．（写出一个即可） 题型三 同类二次根式 1．（24-25八年级下·河南周口·期末）化成最简二次根式后不能与合并的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 3．（24-25八年级下·安徽六安·期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为 ． 4．已知，，，A，B为最简二次根式，且，求代数式的值． 题型四 二次根式的乘除 1．（24-25八年级下·福建福州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河南信阳·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广东江门·期末）若，，则的值是（ ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·天津·期末）如果，，那么下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·山东东营·期末）计算： ． 题型五 二次根式的变形与化简 1．（24-25八年级下·山东聊城·期末）如果，则（　　） A． B． C． D． 2．下列各式从左到右的变形正确的有（　　） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级下·广西河池·期末） ． 4．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）化简： ． 5．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）计算的结果是 ． 6．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）化简： 题型六 二次根式的加减 1．（2025·广东广州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型七 分母有理化 1．的倒数是（　　） A． B． C． D． 2．已知一个三角形和一个矩形面积相等，矩形的宽为，长是宽的2倍．若三角形的一条底边长为，则三角形这条底边上的高为 ． 题型八 实数的混合运算 1．（24-25八年级下·山东烟台·期末）计算的结果为 ． 2.计算： （1）；（2）；（3） ；（4）． （5）； （6）． 3．计算： （1）； （2）； （3） 4．已知，，求下列代数式的值． (1)； (2)． 题型九 根式为整数时求参数的最小值 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）若是一个整数，则正整数m的最小值是 ． 2．（24-25八年级下·天津西青·期末）已知是整数，则满足条件的最小正整数为 ． 题型十 二次根式的应用 1．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）某班级的四个数学小组在制作直角三角形模型，分别以下列各组数为边，其中不能组成直角三角形的是：（    ） A．3，4，5 B．，， C．6，8，10 D．1.5，2，2.5 2．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，是一块长为，宽为的长方形木板，能否按照图示方式，在这块木板上裁出一个面积为和两个面积均为的正方形木板？ 3．如图，现有两块同样大小的长方形木板，甲同学采用如图①所示的方式，在长方形木板上截出三块面积分别为4平方分米、8平方分米和18平方分米的正方形木板A、B、 (1)正方形木板A的边长为______分米， B的边长为______分米， C的边长为______分米； (2)乙同学想采用如图②所示的方式，在长方形木板上截出两块面积均为16平方分米的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 4．如图，甲和乙均是体积为且高为的长方体容器，甲盒子底面是边长为的正方形，乙盒子底面是长为，宽为的长方形． (1)若，，．求乙容器的体积； (2)若，，求甲盒子的侧面积 5．学校有一个面积为60平方米，长宽比为的长方形菜地．同学们准备在菜地四周安装围栏，已知每米围栏的材料费用为35元． (1)请计算菜地的长和宽分别是多少米； (2)同学们计划申请1000元的预算用于购买围栏材料，请通过估算判断预算是否足够，并说明理由． 题型一 分母有理化与实数的大小比较 1．（24-25八年级下·江西上饶·期中）已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 2．我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用． 如： (1)化简：______； (2)比较和的大小； (3)化简：． 3．在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴． 请你观察小明的解答过程后，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 4．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如、的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简：＝__________； (2)化简：； (3)当时，化简：． 5．利用尺规作图可以将一些带有根号的无理数在数轴上表示出来，如图①，以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，点表示的实数为，根据要求完成下列问题．      (1)的值为_____； (2)请利用尺规在图②中的数轴上找出表示实数对应的点（不写作法，保留作图痕迹）；      (3)我们知道，因此将的分子、分母同时乘以“”，分母就变成了4，利用这种方法对进行化简可得到，请仿照这种方法化简：． 6．老师在课上总结定理“对于任意两个正数a，b，如果，那么”，然后讲解了一道例题：比较和的大小． 解：，． ， ． 参考上面例题的解法，解答下列问题： (1)填空：________（填“”“”或“”）； (2)比较与的大小； (3)若，，试比较M，N的大小． 题型二 利用二次根式的性质化简 1．（24-25八年级下·云南昆明·期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A．0 B． C． D． 2．将化简后的结果正确的答案是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山东济南·期末）已知，则（   ） A．2025 B． C． D．5050 4．已知，则的值是（   ） A．13 B．15 C．17 D．19 5．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）已知，，则 ． 6．（24-25八年级下·山东烟台·期末）已知，，则代数式的值是 ． 7．实数，表示的数在数轴上如图所示，化简求值： ，其中， 题型三 无理数整数部分的有关计算 根据材料，解答下列问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的．因为的整数部分是1，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分． (1)已知，其中是整数，且，求的值； (2)已知的小数部分为，的小数部分为，求的立方根． 题型四 新定义下的二次根式的运算 1．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图是一个程序框图，若输入，则输出的值为（   ） A． B． C． D． 2．规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则a的值是（   ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25七年级下·广东广州·期中）有一个数值转换器，设定的输入值为0到100的整数，流程如图；当输出值为时，输入的x值是 ． 4．任何正实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如对一个正实数先取算术平方根，再将结果取不超过算术平方根的最大整数，叫做一次操作．如对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，对81只需进行3次操作后变为1．那么只需进行3次操作变为1的所有正数中，最大的是（    ） A．256 B．255 C．225 D．224 5．（24-25八年级下·四川泸州·期末）用表示不超过的最大整数，例如：．已知，，则（　　） A．4 B．2 C．-4 D．2 6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算，例如，若是有理数，则x的最小正整数值为 ． 题型五 勾股定理与二次根式运算 1．（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．的面积为10 D．点到直线的距离是2 2．（2025·河北邯郸·二模）如图，在等腰三角形中，，，D是边上靠近点C的三等分点，且满足，点是点B关于直线的对称点，则线段的长为 ． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，中，，Q为直线上一动点，连，当，时， ． 4．海伦－秦九韶公式，如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，米，米，米，请你用海伦－秦九韶公式求的面积． 5．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小格的顶点叫做格点，已知格点的三边，，的长分别为，，．请解答： (1)在网格中画出一个； (2)求边上的高． 题型六 二次根式的实际应用 1．阳光中学有一块矩形活动区域．为积极响应国家政策，确保学生每天获得不少于2小时的体育锻炼时间．学校计划每天组织多样化的体育活动，并将原本的活动区域扩大，在原来矩形的基础上，按如图的方式扩大成一个面积为的正方形活动区域．已知将边增加得到边，边增加得到边，求学校需扩大的活动区域（阴影部分）的面积． 2．团结社区辖区内现有一块四边形的空地，如图所示，为提升小区绿植率和环境优美需求，社区决定把该空地改建成花圃．经勘测，四边形中，，．（参考数据：） (1)求两点之间的距离； (2)按安全要求，要在花圃周围即四边形的四条边上安装栅栏，社区预计改建花圃和安装栅栏的总费用不超过10万元，若改建花圃每平方米的费用为500元，而购买和安装栅栏的费用是每米80元，请问社区预计的总费用是否充足？请通过计算说明． 3．某室内展区有一块长方形闲置区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形闲置区域的周长； (2)除去放置展台的地方，其余区域全部需要铺上红毯，若所铺红毯的售价为10元/平方米，则购买红毯大约需要花费多少元？（参考数据：，结果精确到0.1） 4．海啸是一种破坏力极强的海浪，在广阔的海面上，海啸的行进速度可近似的地按公式计算，其中v表示海啸的行进速度，d表示海水的深度，g表示重力加速度，g取． 海水深度 500 1000 1500 2000 2500 海啸行进速度 ____ 140 (1)根据海啸的行进速度公式，完成上表： (2)如果测得海啸在海面两处的行进速度分别为和，那么这两处的海水深度差值是多少？ (3)下列关于海啸行进速度的描述： ①随着海水深度的增加，海啸行进速度逐渐增大； ②当海水的深度是的k倍时，海啸的行进速度是； ③随着海水深度的增加，海啸行进速度的增加幅度会越来越小． 其中，描述正确的序号是______（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）． 5．综合与实践． 主题：制作无盖长方体形纸盒． 素材：一张正方形纸板． 步骤1：如图1，在正方形纸板的四角各剪去一个大小相同的小正方形； 步骤2：把纸板四周沿虚线折起，就折成如图2所示的无盖长方体形纸盒，其长：宽：高＝2：2：1，底面积为20cm2 计算与应用： (1)求这个无盖长方体纸盒的长、宽、高； (2)求这个无盖长方体纸盒的体积和表面积． 6．如图1，土楼是中国传统的大型夯土民居建筑．图2是其水平切面示意图，它是由两个同心圆构成的圆环已知大圆和小圆的面积分别为和，求圆环的宽度（取3.14、结果保留根号） 7．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间（s）和高度（）近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间； (2)小明说物体从的高空洛到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，他的说法正确吗？请说明理由； (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量高度，某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 题型七 与二次根式有关的数字规律探索问题 1．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，该数列相邻前后两数，后一项与前一项的比值逐渐接近于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东聊城·期末）观察数表： 第1行：，2，，； 第2行：，，，4； …… 根据数表排列的规律，第13行从左向右第2个数是 ． 3．观察下列各等式，其中反映了某种规律： 第1个等式； 第2个等式：； 第3个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式： ； (2)按照以上各等式反映的规律，猜想第个（n为正整数，且等式，并证明． 题型一 在几何问题中求两点间的距离 （24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在等腰中，，平分，平分，M，N分别为射线上的动点，若，则的最小值为 ． 题型二 新定义下的实数运算 1．（24-25八年级下·重庆·期末）一个各数位数字均不为零的四位正整数M，若千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，且千位数字大于百位数字，则称M为“凹数”．将M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调产生新四位数N，例如：若，则．记，，则 ；若M为“凹数”，且能被7整除，能被6整除，则满足条件的最大“凹数”M为 ． 2．（24-25八年级下·重庆丰都·期末）对于一个正实数m，我们规定：用符号表示不大于的最大整数（表示不大于m的最大整数），称为m的根整数，如：，．如果我们对m连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1．现有如下四种说法：①；②；③若方程，则满足条件的x的整数值有4个；④只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数m中，最大值与最小值之差为239．其中正确说法的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．对于两个正数， ，定义一种新的运算，记作，即：如果： ，那么 例如： 则 (1)根据上述运算填空： ； ； (2)先观察，与的结果之间的关系， 再观察（1）中的三个数4，8，32之间的关系，试着归纳： (3)如图①，正方形的边长为，小正方形的边长为，若 ，求图中阴影部分的面积． (4)如图②，四边形，是长方形纸条，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分长方形，沿着翻折得到长方形．若，长方形的面积是， 求的值． 题型三 与二次根式运算有关的数字规律探究 如图，细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题． ，； ，； ，． (1)推算出__________；__________． (2)请用含（是正整数）的式子填空：__________，__________． (3)求出的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 二次根式 题型一 二次根式及有意义的条件 1．下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】二次根式的识别 【分析】根据二次根式的定义，形如（）的式子称为二次根式，若被开方数为负数，则不属于二次根式，据此依次判断即可. 【详解】解：选项A：，被开方数，不符合题意； 选项B：，无论取何值，，故， 不符合题意； 选项C：，被开方数为（，故），符合题意； 选项D：，被开方数， 不符合题意. 故选：C. 2．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）若代数式有意义，则a的取值范围应是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数必须是非负数求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴a是非负数，即． 故选：D． 3．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）成立的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质，被开方数必须非负，且等式两边相等需满足各自根号下的表达式均非负，据此求解. 【详解】由题意，得 ， 解得：， 故选：B. 4．（2025九年级下·福建龙岩·学业考试）已知a，b，c为正整数且满足，则a，b，c的大小关系为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，实数的大小比较，熟练掌握其有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件即可求得答案． 【详解】解：∵a，b，c为正整数且满足， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型二 最简二次根式 1．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式．满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此即可判断． 【详解】解：A、，被开方数，其中是完全平方数，可化简为，故不是最简二次根式； B、，该式是二次根式与整式的和，整体不属于二次根式，因此不符合题意； C、，被开方数是质数，无法分解为平方数的乘积，且不含分母，满足最简二次根式的条件； D、，被开方数，可化简为，故不是最简二次根式； 故选：C． 2．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）写出一个大于2的最简二次根式 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.94 【知识点】实数的大小比较、最简二次根式的判断 【分析】本题考查实数的大小比较，根据最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母、被开方数不含能开得尽方的因数或因式进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴大于2的最简二次根式可以为， 故答案为：（答案不唯一） 题型三 同类二次根式 1．（24-25八年级下·河南周口·期末）化成最简二次根式后不能与合并的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，化简二次根式，先化简四个选项中的二次根式，再根据被开方数相同的两个最简二次根式叫做同类二次根式进行求解即可． 【详解】解：A、，其二次根式部分与是同类二次根式，不符合题意； B、，其二次根式部分与是同类二次根式，不符合题意； C、，其二次根式部分与是同类二次根式，不符合题意； D、与不是同类二次根式，符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】同类二次根式 【分析】此题考查了同类二次根式，被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式．据此列方程进行解答即可． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 移项、合并同类项，得， 解得：． 故答案为：1． 3．（24-25八年级下·安徽六安·期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为 ． 【答案】2 【难度】0.94 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，同类二次根式的被开方数相等，据此列出方程求解． 【详解】解：与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得， 故答案为：2． 4．已知，，，A，B为最简二次根式，且，求代数式的值． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、最简二次根式的判断、化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题考查最简二次根式，一元一次方程，二次根式的混合运算，结合已知条件得到是解题的关键． 根据最简二次根式及同类二次根式的定义可得，解得x的值后根据求得y的值，然后将其代入原式计算即可． 【详解】解：已知，，，A，B为最简二次根式，且， 则， 解得：， 那么，， 则， 那么， 即， 解得：， 原式． 题型四 二次根式的乘除 1．（24-25八年级下·福建福州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则进行计算，逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A．中，3为有理数，为无理数，二者无法合并，故结果应为，而非，计算错误，不符合题意； B．中，系数相减得，而非3，计算错误，不符合题意； C．，根据二次根式乘法法则，得，计算正确，符合题意；． D．，根据除法法则，得，而非6，计算错误，不符合题意；． 综上，正确答案为C． 故选：C． 2．（24-25八年级下·河南信阳·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的运算， 根据二次根式的运算法则逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】解：选项A： 成立的条件是 且 ．题目未限定 的范围，若 为负数时等式不成立，故 A错误，不符合题意； 选项B：对分母有理化：，故 B计算错误，不符合题意； 选项C：，故 C计算错误，不符合题意； 选项D：，故 D计算正确，符合题意． 故选D． 3．（24-25八年级下·广东江门·期末）若，，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用平方差公式进行运算、二次根式的乘法 【分析】本题考查了因式分解的应用，二次根式的计算，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 利用平方差公式将分解为，直接代入已知条件计算即可． 【详解】，， ∴ 因此，的值为． 故选：D． 4．（24-25八年级下·天津·期末）如果，，那么下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法、二次根式的除法 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的乘除．先判断出，，然后根据二次根式的意义，二次根式的性质化简，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，无意义， ∴选项A的结论不正确，不符合题意； ∵， ∴选项B的结论不正确，不符合题意； ∵， ∴选项C的结论正确，符合题意； ∵， ∴选项D的结论不正确，不符合题意， 故选：C． 5．（24-25八年级下·山东东营·期末）计算： ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键． 根据二次根式的乘除法法则计算，得到答案． 【详解】解： 故答案为：2． 题型五 二次根式的变形与化简 1．（24-25八年级下·山东聊城·期末）如果，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】此题考查二次根式的性质，根据二次根式与绝对值的性质，分析等式成立的条件． 【详解】由题意，， ∴， 解得 故选B． 2．下列各式从左到右的变形正确的有（　　） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的除法 【分析】根据二次根式的性质，逐一分析各式的成立条件解答即可． 本题考查了二次根式的公式计算的使用条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：① ：当且时成立， 故①错误； ② ：当且时成立， 故②错误； ③ ：当左边有意义时（即，），右边必然有意义且等式成立；故③正确； ④ ：当左边有意义时（即，），右边必然有意义且等式成立， 故④正确． 综上，正确的有③和④，共2个． 故选：B． 3．（24-25八年级下·广西河池·期末） ． 【答案】2 【难度】0.94 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质．根据二次根式的性质计算即可． 【详解】解：． 故答案为：2． 4．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）化简： ． 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的性质，直接根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）计算的结果是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的化简，直接利用二次根式的性质化简求出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）化简： 【答案】 【难度】0.94 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．直接利用二次根式的性质化简即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 题型六 二次根式的加减 1．（2025·广东广州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】同底数幂相乘、积的乘方运算、二次根式的加减运算 【分析】本题考查幂的运算、积的乘方、二次根式的加减法则．需逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：A． 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，故，但选项结果为，错误． B． 积的乘方需将每个因式分别乘方，且负数的奇数次方为负数，故，但选项结果为，错误． C． 二次根式相减不能直接合并为被开方数相减．例如，时，，而，错误． D． 同类二次根式相加，系数相加，根式部分不变，故，正确． 综上，正确答案为D． 故选：D． 题型七 分母有理化 1．的倒数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】倒数、分母有理化 【分析】本题考查了分母有理化，以及倒数的定义． 根据倒数的定义，得到 的倒数为，再进行分母有理化即可． 【详解】解：的倒数是； 故选：D． 2．已知一个三角形和一个矩形面积相等，矩形的宽为，长是宽的2倍．若三角形的一条底边长为，则三角形这条底边上的高为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二次根式的乘法、分母有理化 【分析】本题主要考查了二次根式的应用．熟练掌握并能根据题意列出关系式是解题的关键． 依据题意，由矩形的宽为，长是宽的2倍，则长是，可得三角形的面积=矩形的面积，结合三角形的一条底边长为，从而可得三角形这条底边上的高，即可得解． 【详解】解：由题意，矩形的宽为，长是宽的2倍， 长是 三角形的面积=矩形的面积 又三角形的一条底边长为， 三角形这条底边上的高 故答案为： 题型八 实数的混合运算 1．（24-25八年级下·山东烟台·期末）计算的结果为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】积的乘方的逆用、运用平方差公式进行运算、二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，幂的运算，平方差公式，熟练掌握二次根式的乘法法则和幂的运算是解决问题的关键． 先根据积的乘方运算，然后利用平方差公式计算即可． 【详解】解：原式， ， ， ． 故答案为：． 2.计算： （1）；（2）；（3） ；（4）． （5）； （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）7；（4）-5；（5）4；（6） 【详解】（1）解： （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： . （6）解：原式 ． 3．计算： （1）； （2）； （3） 【答案】（1）；（2）；（3）28 【详解】（1）解： ． （2） ． （3）解： 4．已知，，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)18 【难度】0.85 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知字母的值，化简求值 【分析】此题考查了二次根式的化简求值及完全平方公式，掌握二次根式的加减法则和乘法法则是解题关键． （1）直接利用已知得出的值即可； （2）直接利用已知得出的值，再根据完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）， 则． 题型九 根式为整数时求参数的最小值 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）若是一个整数，则正整数m的最小值是 ． 【答案】3 【难度】0.94 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】本题考查二次根式的化简，化简二次根式后判断是个平方数是求解本题的关键．得出是一个平方数，进而求解即可． 【详解】解：∵是一个整数， ∴是一个平方数， ∴的最小值是3． 故答案为：3． 2．（24-25八年级下·天津西青·期末）已知是整数，则满足条件的最小正整数为 ． 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】求二次根式中的参数、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查二次根式的性质，灵活运用二次根式的性质化简二次根式成为解题的关键． 先将进行化简得到，再根据是整数即可解答． 【详解】解：根据题意，化简得：， 又∵是整数， ∴满足条件的最小正整数x为3． 故答案为3． 题型十 二次根式的应用 1．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）某班级的四个数学小组在制作直角三角形模型，分别以下列各组数为边，其中不能组成直角三角形的是：（    ） A．3，4，5 B．，， C．6，8，10 D．1.5，2，2.5 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】二次根式的乘法、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查勾股定理逆定理的运用：如果两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形．根据勾股定理逆定理逐项判定即可得到结论． 【详解】解：A、， 三个数作为三角形的边长可以构成直角三角形，该选项不符合题意； B、， ，，三个数作为三角形的边长不能构成直角三角形，该选项符合题意； C、， 三个数作为三角形的边长可以构成直角三角形，该选项不符合题意； D、， 1.5，2，2.5三个数作为三角形的边长可以构成直角三角形，该选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，是一块长为，宽为的长方形木板，能否按照图示方式，在这块木板上裁出一个面积为和两个面积均为的正方形木板？ 【答案】能 【难度】0.85 【知识点】二次根式的应用、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的应用，正确求得每个正方形的边长，并能够正确比较实数的大小是解题的关键．根据正方形的面积可以分别求得两个正方形的边长是和，然后进行比较相应的边长即可． 【详解】解：， 又，， 能够在这块木板上截出两个面积分别是和的正方形木板． 3．如图，现有两块同样大小的长方形木板，甲同学采用如图①所示的方式，在长方形木板上截出三块面积分别为4平方分米、8平方分米和18平方分米的正方形木板A、B、 (1)正方形木板A的边长为______分米， B的边长为______分米， C的边长为______分米； (2)乙同学想采用如图②所示的方式，在长方形木板上截出两块面积均为16平方分米的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【答案】(1)2，，； (2)不能截出，理由见解析 【难度】0.85 【知识点】二次根式的应用 【分析】（1）依据题意，根据正方形方面积公式求解； （2）依据题意，比较无理数的大小． 本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握无理数的大小比较是关键． 【详解】（1）由题意，在长方形木板①上截出三个面积分别为4平方分米、8平方分米和18平方分米的正方形木板A，B，C， 正方形木板A的边长为2分米，B的边长为分米，C的边长为分米． 故答案为：2，， （2）不能截出．理由如下， 由题意得，正方形木板的边长为4分米， 又，， 不能截出． 4．如图，甲和乙均是体积为且高为的长方体容器，甲盒子底面是边长为的正方形，乙盒子底面是长为，宽为的长方形． (1)若，，．求乙容器的体积； (2)若，，求甲盒子的侧面积 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式乘法运算的应用，掌握长方体的体积和侧面积公式是解题关键． （1）利用长方体的体积公式计算即可求解； （2）由题意得甲、乙底面积相同，可得，据此即可求解． 【详解】（1）解：由题意得乙容器的体积； （2）解：∵长方体体积相同，高相同， ∴甲、乙底面积相同． ∴， ∴， ∴甲盒子的侧面积为：． 5．学校有一个面积为60平方米，长宽比为的长方形菜地．同学们准备在菜地四周安装围栏，已知每米围栏的材料费用为35元． (1)请计算菜地的长和宽分别是多少米； (2)同学们计划申请1000元的预算用于购买围栏材料，请通过估算判断预算是否足够，并说明理由． 【答案】(1)菜地的长和宽分别是米，米 (2)预算不足，理由见解析 【难度】0.85 【知识点】算术平方根的实际应用、实数的混合运算 【分析】本题考查算术平方根的应用及实数的混合运算，关键是由题意得到关于x的方程． （1）设长方形菜地的长和宽分别是米，米，得到，求出（舍去负值），即可得到答案； （2）长方形菜地的周长米，求出围栏的材料总费用为（元），因此预算不足． 【详解】（1）解：设长方形菜地的长和宽分别是米，米， 由题意得到：， ∴（舍去负值）， 答：菜地的长和宽分别是米，米； （2）预算不足，理由如下： ∵长方形菜地的周长（米）， ∴围栏的材料总费用为（元）， ∵， ∴预算不足． 题型一 分母有理化与实数的大小比较 1．（24-25八年级下·江西上饶·期中）已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题主要考查了分母有理化的应用、二次根式的大小比较等知识点，灵活分母有理化成为解题的关键． 先对a、b、c进行分母有理数，然后根据分子相同、分母越大、该数越小求解即可． 【详解】解：； 同理，，． ∵， ∴． 故选：A． 2．我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用． 如： (1)化简：______； (2)比较和的大小； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的加减运算、分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式比较大小，二次根式的加减计算，熟知分母有理化的方法是解题的关键． （1）仿照题意进行分母有理化即可； （2）分母有理化得到，，利用作差法可得，则； （3）分母有理化得到，再把所求式子的每一项按照此方法分母有理化，并计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ． ， ， ， ． ， ； （3）解： ， ∴原式 ． 3．在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴． 请你观察小明的解答过程后，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)1 【难度】0.65 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，平方差公式、完全平方公式，解题的关键是理解题意，理清分母有理化的过程． （1）把分子分母同乘，然后利用平方差公式计算； （2）先分母有理化得到，再移项平方得到，接着把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：． （2）解：， ， ， ， ． 4．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如、的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简：＝__________； (2)化简：； (3)当时，化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简、分母有理化 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算， 按照二次根式的混合运算法则求解即可 （1）根据分母有理化的步骤进行计算即可． （2）根据分母有理化的步骤进行计算即可． （3）把各分母先有理化再进行加减运算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：当时， 5．利用尺规作图可以将一些带有根号的无理数在数轴上表示出来，如图①，以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，点表示的实数为，根据要求完成下列问题．      (1)的值为_____； (2)请利用尺规在图②中的数轴上找出表示实数对应的点（不写作法，保留作图痕迹）；      (3)我们知道，因此将的分子、分母同时乘以“”，分母就变成了4，利用这种方法对进行化简可得到，请仿照这种方法化简：． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】实数与数轴、分母有理化、勾股定理与无理数 【分析】（1）根据勾股定理，得，根据同圆的半径相等，即可得到的值； （2）仿照（1）的作法，取一直角边长为2，另一直角边长为1，构造直角三角形，解答即可． （3）请仿照方法化简解答即可． 本题考查了勾股定理，分母有理化，无理数的作图，熟练掌握勾股定理，分母有理化是解题的关键． 【详解】（1）解：根据勾股定理，得，根据同圆的半径相等，即可得到； 故答案为：． （2）解：取一直角边长为2，另一直角边长为1，构造直角三角形， 以原点为圆心，以斜边长为半径画弧，于数轴交于点C， 如图：    则点C即为所求． （3）解：， 故 ． 6．老师在课上总结定理“对于任意两个正数a，b，如果，那么”，然后讲解了一道例题：比较和的大小． 解：，． ， ． 参考上面例题的解法，解答下列问题： (1)填空：________（填“”“”或“”）； (2)比较与的大小； (3)若，，试比较M，N的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】实数的大小比较、利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算 【分析】本题考查无理数比较大小，读懂题意，掌握平方运算及例题解法是解决问题的关键． （1）参考例题解法，再由负数比较大小的原则即可得到答案； （2）参考例题解法，再由完全平方公式化简即可得到答案； （3）综合（1）（2）的解法即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，（， ，（，即， ， ， ； （3）解：， ， ，， ，， 又，即， ，即， ∴， ∴， ，即． 即 题型二 利用二次根式的性质化简 1．（24-25八年级下·云南昆明·期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A．0 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、实数与数轴、整式的加减运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 由数轴得，继而得出，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴ ， 故选：B． 2．将化简后的结果正确的答案是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简， 根据二次根式的性质，被开方数必须非负，确定a的取值范围，再对原式进行化简． 【详解】解：∵有意义， ∴，故． ∴ 故选A． 3．（24-25八年级下·山东济南·期末）已知，则（   ） A．2025 B． C． D．5050 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的意义和性质，正确掌握二次根式的意义和性质是解题的关键．根据二次根式的被开方数非负性，确定x的值，进而求出y的值，代入所求表达式即可求解． 【详解】解：由和的被开方数非负性，得， 解得：， 将代入原方程，得， ， 将和代入，得， 故选：B． 4．已知，则的值是（   ） A．13 B．15 C．17 D．19 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用、二次根式的性质、代数式求值等知识点，灵活运用完全平方公式成为解题的关键． 由完全平方公式可得，再对变形后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴． 故选：C． 5．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）已知，，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键． 先利用有理数的性质得到，，则利用二次根式的性质化简得到原式，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， ． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·山东烟台·期末）已知，，则代数式的值是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】运用平方差公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式，二次根式的化简求值，学会灵活变形是解题的关键．根据题意可先求的和，将代数式利用完全平方公式进行变形可得，代入和，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 7．实数，表示的数在数轴上如图所示，化简求值： ，其中， 【答案】， 【难度】0.65 【知识点】实数与数轴、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查实数与数轴，二次根式的化简求值，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，根据二次根式的性质和绝对值的意义，化简后，再代值计算即可． 【详解】解：由数轴可知：，， ∴， ∵，， ∴， ∴ ； ∴，时，原式． 题型三 无理数整数部分的有关计算 根据材料，解答下列问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的．因为的整数部分是1，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分． (1)已知，其中是整数，且，求的值； (2)已知的小数部分为，的小数部分为，求的立方根． 【答案】(1) (2)1 【难度】0.65 【知识点】求一个数的立方根、无理数整数部分的有关计算、已知字母的值 ，求代数式的值、二次根式的混合运算 【分析】本题考查估算无理数的大小，二次根式的运算，立方根，代数式求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先通过估算的大小，从而估算出的大小，进而求出x、y值，再代入，然后根据二次根式的运算法则计算即可； （2）先通过估算的大小，从而估算出和的大小，进而求出a、b值，再代入，然后根据二次根式的运算法则计算，最后再求其立方根即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴的整数部分是11，小数部分为， ∵，其中是整数，且， ∴，， ∴ ； （2）解：∵， ∴，， ∴，， ∴． ∴的立方根． 题型四 新定义下的二次根式的运算 1．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图是一个程序框图，若输入，则输出的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】程序流程图与代数式求值、二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据程序写出代数式，再代入计算解答即可． 【详解】解：根据题意可知， ． 故选：B． 2．规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则a的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、新定义下的实数运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查算术平方根及立方根，根据“最美实数”的定义，可知或，求出a的值即可． 【详解】解：若是“最美实数”， 则有或， 若，解得， 若，解得， 综上，a的值为或， 故选：D． 3．（24-25七年级下·广东广州·期中）有一个数值转换器，设定的输入值为0到100的整数，流程如图；当输出值为时，输入的x值是 ． 【答案】2或64 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、无理数、实数的混合运算 【分析】本题主要考查了求立方根，求算术平方根，无理数的定义，根据题意可得只有取算术平方根的结果是无理数时，输出的结果才会是；当第一次取算术平方根后的结果为无理数时，则；当第一次取算术平方根后的结果为有理数时，那么取立方根的结果为有理数，若第二次取算术平方根的结果为时，则取立方根的结果为，则可推出x的值；若第三次取算术平方根的结果为时，可推出第一次取立方根的结果为，符合题意，据此可得答案． 【详解】解： 若取立方根后所得的结果为无理数，那么输出的结果不可能为， ∴只有取算术平方根的结果是无理数时，输出的结果才会是； 当第一次取算术平方根后的结果为无理数时，则； 当第一次取算术平方根后的结果为有理数时，那么取立方根的结果为有理数， 若第二次取算术平方根的结果为时，则取立方根的结果为， ∴第一次取算术平方根的结果为， ∴； 若第三次取算术平方根的结果为时，则第二次取立方根的结果为， ∴第二次取算术平方根的结果为，则第一次取立方根的结果为，不符合题意； 综上所述，或， 故答案为：2或64． 4．任何正实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如对一个正实数先取算术平方根，再将结果取不超过算术平方根的最大整数，叫做一次操作．如对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，对81只需进行3次操作后变为1．那么只需进行3次操作变为1的所有正数中，最大的是（    ） A．256 B．255 C．225 D．224 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了算术平方根、估算无理数的大小的应用，根据表示不超过a的最大整数，对各选项进行操作，找出只需进行3次操作变为1的最大正数即可解答． 【详解】解：A、256第一次操作，第二次操作，第三次操作，第四次操作， ∴256需要进行4次操作才变为1，不符合题意； B、255第一次操作，第二次操作，第三次操作 ∴255需要进行3次操作才变为1； C、225第一次操作，第二次操作，第三次操作， ∴225需要进行3次操作才变为1； D、224第一次操作，第二次操作，第三次操作， ∴224需要进行3次操作才变为1； ∵， ∴只需进行3次操作变为1的所有正数中，最大的是255． 故选：B． 5．（24-25八年级下·四川泸州·期末）用表示不超过的最大整数，例如：．已知，，则（　　） A．4 B．2 C．-4 D．2 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】无理数的大小估算、新定义下的实数运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查新定义、无理数的估算，二次根式的混合运算，先估算出，根据题中新定义规定可求得和，进而求出的值，然后代入计算可得答案． 【详解】解：∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算，例如，若是有理数，则x的最小正整数值为 ． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】新定义下的实数运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查实数的运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键．根据题意列得算式为，再结合已知条件确定x的最小正整数值即可． 【详解】解：由题意得， 要使该式为有理数，则要为平方数， 当取最小正整数时，，在此范围内的最小平方数为， ∴， 解得：． 故答案为： ． 题型五 勾股定理与二次根式运算 1．（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．的面积为10 D．点到直线的距离是2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用二次根式的性质化简、勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，化简二次根式，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 利用勾股定理二次根式的化简及其逆定理、网格求三角形面积，三角形等面积法依次计算判断即可． 【详解】解：A、，本选项结论正确，不符合题意； B、，，， ， ， 本选项结论正确，不符合题意； C、，本选项结论错误，符合题意； D、设点到直线的距离为h ∴， ∴ ∴ ∴点A到的距离为2，本选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 2．（2025·河北邯郸·二模）如图，在等腰三角形中，，，D是边上靠近点C的三等分点，且满足，点是点B关于直线的对称点，则线段的长为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用二次根式的性质化简、等边对等角、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键． 连接．根据轴对称的性质得到点三点共线，则，，，由三角形内角和定理证明，由对称性可得，最后在中，由勾股定理求解． 【详解】解：如图，连接． 点是点关于直线的对称点， ． ， 点在上，即点三点共线， ． 又， ， ，． ， ，即． ，是边上靠近点的三等分点， ， ， ． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，中，，Q为直线上一动点，连，当，时， ． 【答案】5或 【难度】0.4 【知识点】利用二次根式的性质化简、三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、分类讨论等知识，过点A作于点D，设，当点Q在线段上时，点Q在之间时，先求出，再由勾股定理求出，然后由勾股定理即可得出答案；点Q在之间时，同理可得；当点Q在线段的延长线上时，先求出，再由勾股定理求出，然后由勾股定理即可得出答案；当点Q在线段的延长线上时，同理可得． 【详解】解：过点A作于点D， ∵， ∴， 设 如图1，当点Q在线段上时， 点Q在之间时， ∵， ∴， 即， 在中，由勾股定理得：， 即， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：（负值已舍去）； 点Q在之间时，同理可得：； 如图2，当点Q在线段的延长线上时， ∵， ∴， 即， 在中，由勾股定理得：， 即， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：（负值已舍去）； 当点Q在线段的延长线上时，同理可得：； 综上所述，或， 故答案为：5或． 4．海伦－秦九韶公式，如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，米，米，米，请你用海伦－秦九韶公式求的面积． 【答案】平方米 【难度】0.85 【知识点】二次根式的应用、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的运算，直接根据海伦－秦九韶公式求解，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵米，米，米， ∴， ∴（平方米）． 答：的面积是平方米． 5．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小格的顶点叫做格点，已知格点的三边，，的长分别为，，．请解答： (1)在网格中画出一个； (2)求边上的高． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的乘除混合运算、勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，二次根式的乘除混合运算； （1）根据网格的特点以及勾股定理，即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，，进而根据等面积法即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； 根据勾股定理可得：； （2）解：∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∵， ∴； 题型六 二次根式的实际应用 1．阳光中学有一块矩形活动区域．为积极响应国家政策，确保学生每天获得不少于2小时的体育锻炼时间．学校计划每天组织多样化的体育活动，并将原本的活动区域扩大，在原来矩形的基础上，按如图的方式扩大成一个面积为的正方形活动区域．已知将边增加得到边，边增加得到边，求学校需扩大的活动区域（阴影部分）的面积． 【答案】学校需扩大的活动区域（阴影部分）的面积为 【难度】0.65 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题主要考查了二次根式的实际应用，求得长方形的面积是解题的关键． 先根据正方形面积计算公式求出正方形的边长，即可得到，据此可求出的长，则可求出长方形的面积，再用正方形面积减去长方形的面积即可解答． 【详解】解：∵正方形活动区域面积为， ∴， ，． ∴原活动区域的面积为． ． 答：学校需扩大的活动区域（阴影部分）的面积为． 2．团结社区辖区内现有一块四边形的空地，如图所示，为提升小区绿植率和环境优美需求，社区决定把该空地改建成花圃．经勘测，四边形中，，．（参考数据：） (1)求两点之间的距离； (2)按安全要求，要在花圃周围即四边形的四条边上安装栅栏，社区预计改建花圃和安装栅栏的总费用不超过10万元，若改建花圃每平方米的费用为500元，而购买和安装栅栏的费用是每米80元，请问社区预计的总费用是否充足？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)社区预计的总费用不充足，理由见解析 【难度】0.85 【知识点】二次根式的除法、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键： （1）连接，利用勾股定理求出的长即可； （2）勾股定理求出的长，进而求出四边形的周长和面积，进而求出所需要的总费用进行判断即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵，，， ∴； 答：A，C两点之间的距离为； （2）解：费用不充足，理由如下： ∵， ∴， ∴ ∴； ， ∴总费用为：； 故费用不充足． 3．某室内展区有一块长方形闲置区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形闲置区域的周长； (2)除去放置展台的地方，其余区域全部需要铺上红毯，若所铺红毯的售价为10元/平方米，则购买红毯大约需要花费多少元？（参考数据：，结果精确到0.1） 【答案】(1)米 (2)1350.7元 【难度】0.65 【知识点】二次根式的应用、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据长方形的周长进行列式计算，即可作答． （2）先算出其余区域的面积为平方米，再结合所铺红毯的售价为10元/平方米，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（米）． 答：该长方形闲置区域的周长为米 （2）解： （平方米）． ∴其余的面积为平方米， （元）． 答：购买红毯大约需要花费1350.7元． 4．海啸是一种破坏力极强的海浪，在广阔的海面上，海啸的行进速度可近似的地按公式计算，其中v表示海啸的行进速度，d表示海水的深度，g表示重力加速度，g取． 海水深度 500 1000 1500 2000 2500 海啸行进速度 ____ 140 (1)根据海啸的行进速度公式，完成上表： (2)如果测得海啸在海面两处的行进速度分别为和，那么这两处的海水深度差值是多少？ (3)下列关于海啸行进速度的描述： ①随着海水深度的增加，海啸行进速度逐渐增大； ②当海水的深度是的k倍时，海啸的行进速度是； ③随着海水深度的增加，海啸行进速度的增加幅度会越来越小． 其中，描述正确的序号是______（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）． 【答案】(1)填表见解析 (2)60米 (3)①③ 【难度】0.65 【知识点】算术平方根的实际应用、二次根式的应用 【分析】本题主要考查二次根式的计算，解题的关键是根据题中的公式列式求解． （1）直接将代入速度公式，计算，完成表格填空． （2）设两处深度为、，根据公式，分别将和代入，通过列方程，解得、，作差得深度差值． （2）①分析速度公式是算术平方根函数，因被开方数增大时递增，故随增大而增大，判断正确；②设深度，代入公式化简得，与题目表述对比，发现计算和单位错误，判断错误；③将公式变形为，利用算术平方根函数“增速变缓”的性质，结合具体数值验证（越大，相同增量下增量越小），判断正确． 【详解】（1）解：当时： ， 海水深度 500 1000 1500 2000 2500 海啸行进速度 70 140 （2）解：设两处海水深度为、，由得： 当时，， ， ； 当时，， ， ； 深度差值为米， （3）①：“随着海水深度的增加，海啸行进速度逐渐增大” 海啸速度公式为（，是常数）． 从函数角度看，是关于的算术平方根函数，形式为（，是正数）． 根据算术平方根函数的性质：当被开方数增大时，递增，因此也递增．． ∴随着海水深度增加，海啸速度必然逐渐增大，描述①正确． ②：“当海水的深度是的倍时，海啸的行进速度是” 设海水深度，代入速度公式： 化简： 而题目中表述为“”，描述②错误； ③：速度公式可变形为，其中是常数（记为），即． 从“函数的变化率”角度理解：算术平方根函数的增速趋势是逐渐变缓的．当较小时，增加，的增量较大；当很大时，同样增加，的增量会变小， 当时，； 当时，，增量； 当时，； 当时，，增量； 可见，越大，相同增量下的增量越小）． ∴描述③正确． 故答案为①③． 5．综合与实践． 主题：制作无盖长方体形纸盒． 素材：一张正方形纸板． 步骤1：如图1，在正方形纸板的四角各剪去一个大小相同的小正方形； 步骤2：把纸板四周沿虚线折起，就折成如图2所示的无盖长方体形纸盒，其长：宽：高＝2：2：1，底面积为20cm2 计算与应用： (1)求这个无盖长方体纸盒的长、宽、高； (2)求这个无盖长方体纸盒的体积和表面积． 【答案】(1)，， (2)， 【难度】0.65 【知识点】算术平方根的实际应用、实数的混合运算 【分析】本题考查了求长方体的相关计算，涉及长方体的长、宽、高、底面积、体积和表面积的求解，解题的关键是设这个长方体的长、宽、高分别为，，，结合底面积列方程求解，再利用公式计算体积和表面积． （1）设这个长方体的长、宽、高分别为，，，结合底面积列方程求出长、宽、高； （2）利用长方体体积公式和无盖长方体表面积公式分别计算体积和表面积． 【详解】（1）解：设这个长方体的长、宽、高分别为，，， 根据题意，得，解得（负值舍去），则． 故这个无盖长方体纸盒的长、宽、高分别为，，； （2）， 故这个无盖长方体纸盒的体积为； 无盖长方体表面积底面积+侧面积， 已知底面积为，长、宽、高，则侧面积为： ， 故无盖长方体表面积． 6．如图1，土楼是中国传统的大型夯土民居建筑．图2是其水平切面示意图，它是由两个同心圆构成的圆环已知大圆和小圆的面积分别为和，求圆环的宽度（取3.14、结果保留根号） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式的实际应用，正确化简计算是解题的关键． 根据圆的面积公式分别表示两个圆的半径，再由大圆半径减去小圆半径即为圆环宽度． 【详解】解：由题意得， 答：圆环的宽度为． 7．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间（s）和高度（）近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间； (2)小明说物体从的高空洛到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，他的说法正确吗？请说明理由； (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量高度，某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 【答案】(1) (2)不正确，见解析 (3)，启示见解析 【难度】0.65 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查二次根式的应用，通过具体情境考查二次根式，理解公式，正确运算代入求值是解决本题的关键． （1）把代入公式即可， （2）把代入公式求出时间，与（1）中时间相比较即可得到结论． （3）求出，代入动能计算公式即可求出． 【详解】（1）解：把代入公式可得： ； （2）解：不正确． 理由：当时，． ， 不正确； （3）解：当时，， 解得． 鸡蛋产生的动能． 启示：严禁高空抛物，一个鸡蛋都能砸伤人． 题型七 与二次根式有关的数字规律探索问题 1．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，该数列相邻前后两数，后一项与前一项的比值逐渐接近于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】数字类规律探索、二次根式的应用 【分析】本题考查数字类规律探究，计算相邻两项的比值，发现斐波那契数列相邻两项的比值逐渐趋近于黄金分割比例．黄金分割比例的具体值为，即可得出结果． 【详解】解：计算相邻两项的比值：，，，，，，，，． 观察可知，比值逐渐趋近于一个固定值， ∵， ∴相邻两数的比值趋近于， 故选：D． 2．（24-25八年级下·山东聊城·期末）观察数表： 第1行：，2，，； 第2行：，，，4； …… 根据数表排列的规律，第13行从左向右第2个数是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】数字类规律探索、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查数字规律探究，解题的关键是通过观察前面两行的数值，得到数字的规律．根据数表推断出每行的数的个数为4个，每个数分别是的算术平方根，据此得到第n行从左向右第二个数为即可求解． 【详解】解：由数表可知： 第1行：，，，； 第2行：，，，； 第3行：，，，； …… 因此，第1行从左向右第二个数为， 第2行从左向右第二个数为， 第3行从左向右第二个数为， …… 第n行从左向右第二个数为， 所以第13行从左向右第二个数为， 故答案为：． 3．观察下列各等式，其中反映了某种规律： 第1个等式； 第2个等式：； 第3个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式： ； (2)按照以上各等式反映的规律，猜想第个（n为正整数，且等式，并证明． 【答案】(1) (2),，证明见解析 【难度】0.65 【知识点】数字类规律探索、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的应用，旨在考查学生的抽象概括能力． （1）根据题目给出的例子求出相应的值； （2）由（1）探求的结果可以写出用含n（n为正整数，且）的等式表示表述上面的规律，再根据二次根式的性质化简证明． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …； 第4个等式：； 故答案为：； （2）解：第个式子是： ， 证明：． 题型一 在几何问题中求两点间的距离 （24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在等腰中，，平分，平分，M，N分别为射线上的动点，若，则的最小值为 ． 【答案】4 【难度】0.4 【知识点】二次根式的混合运算、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，轴对称的性质，角平分线的性质，勾股定理，作出辅助线是解题的关键． 如图，作关于的对称点，则，当三点共线时最短即，当时最短，过点作，交的延长线于点，即与点重合时最短，过点作于点，根据等面积法求得，即可求解． 【详解】解：如图，作关于的对称点，过点作，交的延长线于点，过点作于点， ∴，当三点共线时最小即， ∵当时，最短， ∴即为所求， ∵， 是等腰直角三角形， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵平分， ∴ ∵， 设，则 在中， ∵ ∴ 解得 ∴ ∵ ∴ 故答案为：4． 题型二 新定义下的实数运算 1．（24-25八年级下·重庆·期末）一个各数位数字均不为零的四位正整数M，若千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，且千位数字大于百位数字，则称M为“凹数”．将M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调产生新四位数N，例如：若，则．记，，则 ；若M为“凹数”，且能被7整除，能被6整除，则满足条件的最大“凹数”M为 ． 【答案】 303 9559 【难度】0.4 【知识点】新定义下的实数运算、整式加减的应用 【分析】本题考查了数字问题，新定义，四位数的表示，整式的加减，整数被某数整除时求字母的值，难度较大，能够理解新定义并熟练掌握所学知识是解题的关键． 根据定义直接求的值，设M的千位，百位，十位，个位数字分别为，，，，根据题意表示出M的和，再表示出N和， 根据和均为整数来推出能被2整除，，求出满足条件的解，最后得出满足条件的最大“凹数”M的数． 【详解】当时，，； 若M为“凹数”，可设M的千位，百位，十位，个位数字分别为，，，， ， N的千位，百位，十位，个位数字分别为，，，， ， ，， ， ， 能被7整除，又与7互为质数， 能被整除， 或， 能被6整除，又与6有一公因数3， 能被2整除， ， 同时满足且能被2整除的正整数解为： ，，，，， 当时，M有最大值为9559， 满足条件的最大“凹数”M为9559， 故答案为：9559． 2．（24-25八年级下·重庆丰都·期末）对于一个正实数m，我们规定：用符号表示不大于的最大整数（表示不大于m的最大整数），称为m的根整数，如：，．如果我们对m连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1．现有如下四种说法：①；②；③若方程，则满足条件的x的整数值有4个；④只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数m中，最大值与最小值之差为239．其中正确说法的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】无理数整数部分的有关计算、新定义下的实数运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查新定义“根整数”的理解与应用，涉及无理数的估算、二次根式及最值分析．根据新定义再结合无理数的估算、二次根式及最值逐一验证各说法的正确性即可． 【详解】解：①：计算左边，，和为；右边，等式成立．故①正确． ②：，取反例，左边，右边，显然．故②错误． ③：方程，x为整数且． 逐一验证： 当时，左边分别为，满足条件； 其他x值均不满足．故满足条件的x有3个，而非4个．故③错误． ④：设正整数m进行3次连续求根整数运算后结果为1，即， 第三次操作时：，则； 第二次操作时：，则，其中； 第一次操作时：，则． 排除提前终止的情况： 若，则，对应，但这些m在2次操作内即可终止，需排除； 若，则，对应； 若，则，对应； ∴需进行3次根整数运算结果为1的正整数m的范围为， ∴m的最大值为255，最小值为16，差值为．故④正确． 综上，正确说法为①④，共2个． 故选：B． 3．对于两个正数， ，定义一种新的运算，记作，即：如果： ，那么 例如： 则 (1)根据上述运算填空： ； ； (2)先观察，与的结果之间的关系， 再观察（1）中的三个数4，8，32之间的关系，试着归纳： (3)如图①，正方形的边长为，小正方形的边长为，若 ，求图中阴影部分的面积． (4)如图②，四边形，是长方形纸条，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分长方形，沿着翻折得到长方形．若，长方形的面积是， 求的值． 【答案】(1)2，3，5 (2) (3)120 (4)1 【难度】0.4 【知识点】新定义下的实数运算、数字类规律探索、幂的乘方运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查定义新运算，完全平方公式的变形求值，幂的乘方计算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据如果，那么，据此计算即可； （2）由得； （3）由得到，由得到，由得到，最后根据图中阴影部分的面积为计算即可； （4）由得到，，由图可得：矩形的面积是，，解得，即可得到，，再根据，得到，，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，，，，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ∴由（2）可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，∴， ∵正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴图中阴影部分的面积为； （4）解：∵， ∴，， 由图可得：矩形的面积是，， ∴，解得， ∴，， ∴，， ， ∴，， ∴． 题型三 与二次根式运算有关的数字规律探究 如图，细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题． ，； ，； ，． (1)推算出__________；__________． (2)请用含（是正整数）的式子填空：__________，__________． (3)求出的值． 【答案】(1)10； (2)； (3)18 【难度】0.4 【知识点】数字类规律探索、二次根式的混合运算、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，数式变换规律，二次根式的化简，关键是归纳总结出数式变换规律，有关二次根式的运算． （1）认真阅读题目，根据勾股定理写出答案即可； （2）认真分析数式，总结归纳出规律即可； （3）化简整理后求值即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，， 故答案为：10，； （2）解：由题意可得，， 故答案为：，； （3）解： .. ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$